不等式易錯點剖析

陳愛強

[摘要]理解和掌握不等式的基礎知識，對易錯題型加以歸納總結，可以避免解題錯誤，提高學生的解題能力.

[關鍵詞]不等式;易錯點：剖析

[中圖分類號]G633.6

[文獻標識碼]A

[文章編號]1674-6058（2020）14-0010-02

高考中常常直接或間接考查不等式的知識，題型既有選擇題也有填空題，客觀題突出對不等式性質應用的考查，主觀題常與其他知識如函數、導數、數列、三角等進行交匯，學生在利用不等式性質解題時常會出現各種錯誤，因此，有必要將各種易錯點進行歸納、分析，以引起警惕，現將不等式中常見易錯點列舉如下，

一、不等式變形導致的錯誤

[例1]已知-2

錯解：∵-2

分析：本題的錯誤是直接去求-2n的范圍，忽視已知中的條件m

正解：∵-2

[例2]已知f（x）=ax^{2+bx，且1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（-2）的取值范圍.}

錯解：∵1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，∴l≤a-b≤2①，2≤a+b≤4 ②，又∵f（-2）=4a-2b，∴①+②得3/2≤a≤3，∴6≤4a≤12③，∵①+②x（-1）得-3≤-2b≤0 ④，∴③+④得3≤4a-2b≤12，∴3≤f（-2）≤12.

分析：這種解法錯誤在于多次運用不等式性質時，沒有充分考慮到限制條件，即等號不能同時成立，這樣就導致所求的范圍擴大了.要認識到a與b不是相互獨立的，而是兩個相互聯系的整體，當a取等號時b未必會取到等號，因此本題在解答過程中應把a-b和a+b當作一個整體來處理，只有這樣才能得到正確的答案，

正解：令f（-2）=mf（-1）+nf（1），∴4a-2b=m（a-b）+n（a+b）=（m+n）a+（n-m）b，∴m+n=4，n-m=-2，∴m=3，n=l，∴f（-2）=3f（-1）+f（1），∴3≤3f（-1）≤b，2≤f（1）≤4，∴5≤3f（-l）+f （1）≤10，∴5≤f（-2）≤10.

二、忽視隱含條件導致的錯誤

[例3]若a>b，a，b

R，比較a³-a²b+ab²與a²b-ab²+b³的大小.

三、忽視均值不等式成立的條件

[例4]求函數y=1-x-（9/x）的最值.

錯解：∵y=1-〔x+（9/x）〕，而由均值不等式知x+9/x≥2（√9）=6，∴y≤1-6=-5，∴y_max=-5.

分析：上述解法忽視均值不等式成立的前提條件，即各項均為正數，實際上，由于已知沒有給出x的取值范圍，所以應對x的取值進行分類，即分為x>0和x<0.因此在應用均值不等式時應先考慮是否滿足各項均為正數這個前提條件.

[例5]若O

分析：這種解法忽視“和”或“積”為定值的條件，當湊出的和為定值時，對應各個量積有最大值;當湊出的積為定值時，對應各個量和有最小值，而〔（3-x）/2〕²？：不是定值，應通過配湊法使和為定值.

[例5]求函數y=（x²+3）/√（x^{2+2）（x∈R）的最小值.}

綜合上述不等式求最值的例子，在應用均值不等式求最值時，需注意均值不等式的條件：“一正，二定，三相等”.

四、不等式放縮不當導致的錯誤

五、命題的不等價轉化導致的錯誤

[例8]已知關于X的方程X^{2+（k-2）x+5-k=0的兩根都大于2，試求實數k的取值范圍.}

六、思維定式導致的錯誤

[例9]求不等式x^{2+ax+1>0在-2≤a≤2恒成立的條件.}

綜上，不等式中有很多易錯點.在解答有關不等式問題時，應注意不等式中的隱含條件，應用均值不等式時要注意公式成立的條件，在不等式變形過程中要注意等價變形，不能讓范圍人為變大，對一些不等式恒成立問題，不能根據式子的表面特點用固定思維去分析解決，應結合已知條件從各個方面去分析，找出題目的實質.另外，在證明不等式時，有時需要根據所要證的式子特點將式子適當放大或縮小，放得過大或過小都會導致證明失敗，因此，當我們在熟練掌握不等式性質后，又能知曉并避免不等式中這些易錯點，通過一定的練習，那么在碰到有關不等式問題時，就能從容應對，就不會再出現類似錯誤.

（責任編輯 黃桂堅）