基于伴隨方法的沖壓發動機進氣道反設計研究

王仁杰，蘇緯儀

(南京航空航天大學 能源與動力學院，江蘇 南京 210016)

0 引言

對超/高超聲速進氣道，傳統設計方法為正向設計，根據等強度配波理論與Busemann等熵壓縮進氣道等方法[1]并結合經驗設計初始進氣道，然后不斷改進直至得到滿足性能要求的進氣道。然而傳統正設計方法難以滿足日益嚴苛的工程需求，探求新型進氣道設計方法十分必要。

張堃元教授[2]提出全新的彎曲激波壓縮進氣道反設計方法。通過合理給定進氣道壁面參數分布規律，反求進氣道壓縮型面。反設計方法得出的彎曲激波壓縮進氣道，其壓縮波可逐漸匯聚，成為彎曲激波。這種設計理念給進氣道設計帶來很大的靈活性，具有很強的應用潛力。

經過大量深入研究，基于特征線理論的彎曲激波壓縮進氣道反設計方法已發展成熟，然而其局限性不可忽視。首先，特征線理論只適用于超聲速流動，對于跨聲速與亞聲速流動均無法應用；其次，特征線理論基于理想氣體假定，經反設計程序計算后需粘性修正才能得到最終型面，而粘性修正的經驗公式很多情況下并不準確，以致型面無法達到預期要求；同時，若給定反設計參數分布不合理，則幾乎無法得出反設計結果。因此，解決這些局限性顯得尤為重要。

將反設計問題轉化為優化問題，結合流場計算與優化算法，可解決上述局限性。在諸多優化方法中，基于梯度的局部優化算法計算效率高，獲得了廣泛應用，在此過程中，梯度求解十分關鍵。

20世紀80年代，JAMESON創造性地提出伴隨方法的概念[3]，其計算多參量梯度問題時具有非常高的效率，得到廣泛關注。國內外在飛行器外流氣動優化方面對伴隨方法進行了大量研究，取得了豐富的成果。

對于參數化困難、設計變量眾多的彎曲激波壓縮進氣道反設計，伴隨方法尤其適合，然而，在進氣道內流道氣動型面反設計領域，公開發表的文獻尚不多見。為此，本文構建了基于RANS(雷諾時均N-S方程)及其伴隨方程的進氣道反設計系統，開展了基于壓力分布規律的進氣道壓縮型面反設計研究，為進氣道反設計提供參考。

1 進氣道反設計系統

1.1 控制方程與伴隨方程

將反設計問題轉化為優化問題后，須分別求解控制方程與伴隨方程，得到目標函數值及其梯度分布，進行敏感性分析，確定優化搜索路徑。

流場計算的控制方程為Navier-Stokes方程，其守恒形式[4]為

(1)

對于伴隨方程求解，由針對氣動優化的伴隨方法[5-6]可知，形狀優化的目標函數J為設計變量α與流動參數U的函數， 同時U與α必須滿足流動方程R(U,α)=0。因此流動優化問題的數學模型為

(2)

通過引入伴隨變量λ，可推得

(3)

最終目標函數對于設計變量梯度可表示為

(4)

1.2 幾何變形與網格變形方法

優化過程涉及幾何變形與網格變形。對于幾何變形方法，本文采用自由變形方法(FFD方法)，其最早由SEDERBERG與PARRY提出[9]，廣泛應用于計算機圖形學中。此方法將研究對象置于由控制節點組成的控制框架中，建立控制框架的節點與控制框架內每一位置的對應函數關系，通過改變控制框架節點的位置，進而改變幾何型面中每一個點的坐標[10]。

(5)

為Bernstein基函數。FFD方法使用Bernstein基函數建立了控制框架節點與控制框架內幾何對象任意一點的函數關系:

(6)

本文所使用的網格變形方法為彈性體方法[12]，最早由TEZDUYAR[13]為解決不可壓縮圓柱流動時提出，后眾多研究者對其進行了改進與發展，目前廣泛應用于氣動優化設計與計算流體力學等領域[14]。該方法將網格看作彈性體，當幾何改變時，其網格按照求解線性彈性方程進行變形[15]，因而彈性體方法是一種基于物理模型的通用網格變形方法。

1.3 目標函數及反設計過程

基于伴隨方程的反設計方法基本思想是，將目標參數分布與初始型線參數分布的差異作為目標函數，通過求解控制方程與伴隨方程，計算目標函數對設計變量梯度以指導變形，最終得到與目標參數分布最為接近的幾何型面。

對于基于壓力分布的反設計，定義目標函數

(7)

其中Cp,target、Cp分別為目標壓力系數與實際壓力系數。

優化過程中，優化算法選擇同樣重要。本文所使用的優化算法為序列最小二乘規劃方法(SLSQP方法)，是一種基于梯度的約束優化算法[16]，由于計算量小，此方法在工程中獲得了廣泛的應用。

伴隨方法計算過程如圖1所示，對初始的網格進行流場計算后，通過求解伴隨方程獲得目標函數對于設計變量的梯度，由梯度結果進行幾何與網格變形，并對新的網格進行下一次迭代計算。如此循環，直到目標函數達到局部最小值停止計算，并輸出優化后的幾何構型與對應目標函數值。

圖1 優化過程

2 結果分析與討論

對于線性分布的壓升規律，壁面無量綱壓力與橫坐標之間的關系為

(8)

控制壓升規律k=6.0為定值，選取8組不同的來流馬赫數進行計算，分別使用羅馬數字Ⅰ-Ⅷ來表示不同的馬赫數，具體如表 1所示。同時在計算結果中，選取具有明顯差異的3組典型馬赫數進行對比，兩種方法的壓力分布及型線如圖2所示。

表1 不同馬赫數下線性壓力分布的系數

圖2 不同馬赫數下壓力分布與幾何型線對比

由不同馬赫數下的壓力分布對比可知，在較低馬赫數時，如Ma=3.5與Ma=6.0時，兩種方法結果相當；而在較高馬赫數時，如當Ma=9.0時，基于伴隨方程的反設計方法與目標壓力分布十分接近，而基于特征線理論的反設計方法，其壓力分布整體高于目標壓力分布。這是由于基于特征線理論的反設計方法，其粘性修正并不準確。這充分體現了伴隨方法直接基于RANS方法的優越性。

由圖2還可看出，基于特征線理論的反設計方法結果均較目標壓力偏高，而基于伴隨方程的反設計結果在目標壓力附近上下波動，這也是兩種反設計方法的特點。

兩種方法的馬赫數分布對比如圖3所示(本刊為黑白印刷，如有疑問請咨詢作者)。由圖3可看出，兩種方法所得的反設計進氣道構型相差不大，二者馬赫數分布有較小區別，基于伴隨方法的反設計其馬赫數分布更為均勻。因此，基于伴隨方程的反設計方法相比于基于特征線理論的方法更為優異。

3 結語

本文采用基于伴隨方程的反設計方法對彎曲激波壓縮進氣道反設計工作進行了研究，得出如下結論：

1) 基于伴隨方程的反設計方法能夠得出與目標壁面壓力分布吻合的外壓縮段型線，說明了該方法的可行性。

2) 對于線性壓力分布，在不同來流馬赫數下，相較于基于特征線理論的反設計方法，基于伴隨方程的反設計方法可得到與目標壓力分布更為接近的幾何構型。

3) 基于伴隨方程的反設計方法直接基于RANS計算流場，相比于特征線理論的無粘計算加上有粘修正的方式更為精細，因此反設計過程具有更高的準確性。

綜上所述，對于二維彎曲激波壓縮進氣道外壓縮段型線反設計而言，基于伴隨方程的反設計方法具有很大優越性，是進行復雜參數分布可控進氣道反設計極具潛力的一種方法。

圖3 基于特征線理論與伴隨方法的馬赫數分布對比