基于PCE法的某渦輪泵轉子動力學特性不確定性分析

沙粒子，王曉偉，穆鵬剛

(1. 南京航空航天大學 能源與動力學院，江蘇 南京 210016； 2. 液體火箭發動機技術國防科技重點實驗室，陜西 西安 710100)

0 引言

渦輪泵是火箭發動機的心臟，轉子系統是渦輪泵的重要核心部件，其運行的穩定性及可靠性直接關系到渦輪泵的壽命。轉子是旋轉機械振動的主要來源，如何減少轉子振動是設計制造旋轉機械的重要課題[1]。

研究轉子的動力學問題，首先需要對轉子進行有限元建模。有限元建模需要足夠的精度保證建立模型的準確性。除了確保模型的精度以外，還需要考慮計算效率。如果一個模型占用的空間過大，將會嚴重降低其計算效率。因此，平衡精度與效率問題就成了有限元建模的難點所在。蔡力鋼等[2]研究了多種約束的機械式主軸有限元建模，發現把主軸考慮為用梁單元結果更為精確。邊杰等[3]研究了當一種發動機轉子沒有具體樣機時可用超模型去替代實物模型的有限元建模方法。

因為轉子本身的構造復雜多變，加工難度高，會產生一系列不確定性的因素，如材料屬性、加工尺寸、測量誤差等。對于轉子這樣的高精尖部件來說，很小的誤差可能會產生巨大的影響。因此研究轉子的不確定性問題是很有必要的。白長青等[4]將不確定因素表示為一維隨機場函數，給出了轉子系統的隨機響應分析方法。不確定性問題的研究方法有很多，其中多項式混沌展開法(polynomial chaos expansion, PCE)憑借其堅實的數學基礎和良好的性能，近年來受到越來越多的關注，在數學及工業領域的應用也越來越廣泛。本文將此方法應用到所建立好的轉子模型上，驗證了此方法的有效性，并指出不確定性對轉子系統產生的重要影響。

1 基于PCE的轉子動力學建模理論

多項式混沌理論總的來說就是用一系列與輸入參數分布類型對應的正交多項式之和來近似精確地表示一個隨機擴展的過程。最開始的多項式混沌是由WIENER[5-6]提出的，如式(1)所示。它是利用Hermite多項式來構建模型的。

(1)

式中：α(α0,αi1,…)是需要求解的多項式系數；ξ(ξi1,ξi2,…)是服從標準正態分布的隨機變量。ξ=[ξi1,ξi2,…]的維數通常與原任意正態空間下的隨機輸入變量X=[X1,X2,…]的維數保持一致并存在一一對應關系。Hn(ξi1,…,ξin)是階數為n的Hermite正交多項式。

對于轉子系統，主要由轉軸、作用在上面的圓盤和支承系統組成。根據M. I. Friswell等人[7]所著內容，其中轉軸可以看成由不同分段的鐵摩辛柯梁單元組成，每個節點有4個自由度。對于有直徑變化、集中質量、連接方式改變等情況，則需要在該處進行分段。

將轉軸、盤、支承等全部結合起來組成整體轉子系統的動力學方程。其形式如下：

(2)

其中：M、G分別代表轉軸和盤的質量矩陣、陀螺矩陣；K、C分別代表轉軸的剛度矩陣和阻尼矩陣；Kb代表支承的剛度矩陣；q是整個轉子系統上受到的激勵項。

將方程轉換到頻域系統，得到下式：

Z(ω)X(ω)=Q(ω)

(3)

其中：

Z(ω)=-ω2M+iω(C+ωG)+K+Kb

(4)

轉子動力學方程與其他系統動力學方程最大的區別就是它多了陀螺力項，因此會使系統的振動形式復雜更甚。接下來針對具體的轉子系統進行不確定性建模分析。

2 某渦輪泵轉子模型

轉子的幾何構造如圖1所示，由轉軸、誘導輪、離心輪、葉輪及大輪盤等構成。圖示也給出了坐標方向，軸向為x向，徑向為y、z向。

1—誘導輪；2—離心輪；3—中間輪；4—軸承；5—葉輪。圖1 轉子結構圖

轉子為套裝轉子，除輪盤采用螺栓緊緊與轉軸相連以外，其他輪件均為單獨部件，用槽約束其周向位移，軸向與套筒、擋圈等壓緊。

3 基于試驗數據的有限元模型修正

由于有實物樣機，能夠得到可靠的實驗結果，所以在對轉子進行動力學建模的過程中，可以不用建立超模型作為參考，直接建立簡化模型，結果若偏差過大可以進行模型修正，使之與實驗結果相匹配。

一般對轉子進行有限元簡化建模，可以考慮將轉子分為若干段，在外接輪盤質心處、軸承安裝處及轉軸徑向結構有較大變動處等部位截斷,然后考慮實際的幾何結構關系，考察各部件與轉軸之間的物理關系。對于該轉子，各輪部件都是套在轉軸上，對轉軸的剛性影響很小，故只需考慮它們在節點處的質量和轉動慣量，而忽略其剛性的影響。轉軸總共有16個節點，被分為15段。各段軸單元的質量、轉動慣量與長度均與原有模型保持一致，其楊氏模量則可按照剛度等效的原則計算得到。

對有限元模型進行計算分析，對比初始楊氏模量下有限元模型前2階固有頻率計算結果與實驗結果。在此基礎上以實驗結果為基準進行模型修正，得到修正后的楊氏模量。表1給出了修正后前2階固有頻率誤差。

表1 修正后固有頻率誤差

由表1可以看出，修正后模型的固有頻率十分接近實驗值，說明該轉子有限元模型可以代替實驗模型。接著對修正后的轉子有限元模型進行不確定性建模分析。

4 轉子動力學特性的不確定性分析

對于此渦輪泵轉子系統來說，中間部分是由大量軸環套裝在一起的，對其施加預緊力以壓緊。不同的預緊力會使中間軸環部分對該段轉軸的剛性造成不同程度的影響，由此會帶來實際建模過程中的不確定性問題。對此，針對其中環套2和環套3影響下轉軸的楊氏模量的不確定性，基于PCE法對該轉子系統進行不確定性分析。

環套2、環套3二者綜合影響下的楊氏模量服從正態分布且波動值均為20%。采取1000個樣本抽樣得到的轉子動力學不確定性頻響曲線結果如圖2-圖4所示。圖中中間由紅藍兩條線組成，紅色線代表確定值情況下的結果，藍色線代表PCE法抽樣結果的均值。兩條綠色線則是多項式混沌展開法抽樣計算得到響應的最大值與最小值曲線(因本刊為黑白印刷，如有疑問請咨詢作者)。

從圖2-圖4中可以看出，由預緊力引發的轉軸中間部分剛度的不確定性會引起整個轉子系統的不確定。兩個環套對轉子系統的第1階臨界轉速的影響很小，對第2階臨界轉速的影響則相對較大。受兩個環套綜合影響的不確定性會呈現出比受單一環套影響更大的波動。

圖2 渦輪泵轉子不確定性頻響曲線(環套2)

圖3 渦輪泵轉子不確定性頻響曲線(環套3)

圖4 渦輪泵轉子不確定性頻響曲線(環套2和環套3)

實際情況中受到影響的轉軸剛度不確定性會更多，這種累加效應引發的不確定性的擴展會更大，由此會帶來轉子設計過程中的一系列問題。因此在渦輪泵轉子動力學實驗的過程中，應當考慮中間環套的預緊力。

接著考慮環套2和環套3綜合影響下的轉軸軸段楊氏模量波動值分別為10%和30%的情況。由于主要波動發生在第2階臨界轉速附近，因此統計其附近的不確定影響,包括第2階臨界轉速的轉速范圍和幅值范圍。經計算，第2階臨界轉速和幅值的準確值分別為625.1r/s、2.621×10-4mm。

由圖5可以看出，轉速的變化范圍隨著波動值的增加基本呈線性增加，而幅值的變化范圍則呈現非線性。隨著波動的加大，幅值變化的不確定性程度會更顯著。

5 結語

論文針對火箭發動機渦輪泵轉子系統的結構特點，以渦輪泵轉子中的局部連接結構為研究對象，建立了轉子系統的有限元模型，通過與模態試驗結果對比及模型修正，前2階模態的頻率誤差不超過4%。首先保證了有限元模型的準確性，其次將多項式混沌展開法應用到局部連接剛度含不確定性參數的動力特性建模及計算。通過結果分析可以發現，采用PCE法計算得到的含不確定性參數的轉子前兩階臨界轉速均值十分靠近基準解，這證明了多項式混沌展開法的正確性。通過結果波動值的變化又可以看出連接剛度的不確定性在轉子系統中呈現不同程度的擴展，這也就說明了渦輪泵轉子中間軸環部分預緊力大小引發連接剛度的不確定性問題會對轉子系統產生不可忽視的影響。

圖5 波動大小對第2階臨界轉速的影響