B樣條曲面光滑拼接方法

黃吳戟，王志國

(南京航空航天大學 機電學院，江蘇 南京210016)

0 引言

飛機、船舶、車輛的外形非常復雜，需要由大量曲面片拼接而成。無論是從美學設計角度考慮，還是從滿足流體力學性能以減小阻力的角度來說，這些產品的外形數模往往由大量曲面碎片光滑拼接而成。從產品的初步模型直至得到最終模型的過程中，往往伴隨著設計人員大量的時間與精力的投入，以期產品模型滿足相關設計需求。可見，高效實用的曲面變形方法對設計過程的效率提升是不言而喻的，更能從中獲得可觀的經濟效益。而這些產品模型的曲面變形設計方法是產品設計過程不可缺少的一項技術。

20世紀80年代，BARR[1]率先對曲面的變形以幾何的形式做出描述，隨后，WATT A[2]等學者對BARR的變形手段做出了進一步完善與發展。1986年，學者SEDERBERG T W[3]給出了一種著名的自由變形方法，即FFD技術。王小平等提出了一種基于多項式冪基因子的參數曲線曲面變形手段[4]，該變形手段計算量不大，且不被幾何描述局限，其核心思想是通過仿射變換矩陣作用于曲線曲面的參數方程上，非常簡明，但變換后的幾何形狀無法用STEP標準表達，因此適用范圍不廣。于超升[5]通過剛架模型利用有限元方法實現曲面變形，該方法避免了幾何約束方程的建立，對于曲面拼接有實用性。崔洺瑞[6]等利用曲率信息延拓曲面實現了對曲面上孔洞的填補。目前，國內外曲面變形研究的成果主要集中在對單張曲面進行變形與調整的效果上。然而用單張參數曲面去表達復雜的產品外形過于勉強，實際產品模型往往是使用多張曲面進行光滑拼接而成。設計人員在編輯模型形狀的過程中對其中一張曲面施加變形約束后，與其相鄰的曲面片必須隨之做出變形調整，才能保持模型外觀的光滑光順。因此若能設計出一種能夠在某張曲面發生約束變形后，其他曲面自適應地做出變形調整以滿足連續性的方法將能極大地提高工程人員的設計效率。

過于嚴格的光滑拼接要求本身并非必要。在工程實踐中，當曲面邊界的拼接誤差在一個可接受的精度要求范圍內時，即可認為兩張曲面已達到光滑拼接效果，且一般保證拼接邊界的G1連續性即可滿足絕大多數產品的設計要求。這種允許一定誤差的曲面變形技術屬于容限造型的范疇，事實上很多幾何造型平臺均支持容限造型技術。

本文基于CAD/CAM行業的一般理論，提出了一種具有可控誤差且保持G1連續的多曲面變形技術，對施加外在約束后的多曲面滿足G1連續的協調變形提出了行之有效的算法，擺脫了邊界節點矢量必須相同的限制，更具一般性，有重要的學術意義和工程應用價值。最后，以實例驗證了本文方法的有效性與正確性。

1 B樣條曲面連續性條件

(1)

將4組節點矢量兩端均取相應次數加1的重節點個數并進行規范化處理，其余2組節點矢量W與T采取相同處理手段。

對于這樣的兩張B樣條曲面，如果兩者滿足G0連續，則應滿足如下約束條件：

P1(1,v)=P2(0,t)

(2)

式中存在v=v(t)的參數映射關系。該等式的意義為曲面P1(u,v)與曲面P2(w,t)擁有共同的邊界曲線。

如果兩曲面在邊界上滿足G1連續，則在滿足上述G0連續條件的前提下，還需滿足

(3)

圖1 連續性條件示意圖

2 曲面G0連續拼接

式(2)的G0連續條件為理論上的嚴格連續條件，根據此條件可給出離散拼接方法。

對曲面片之間的邊界進行離散采樣。首先需要確定合適的采樣個數。眾所周知，采樣點越密集邊界處幾何信息越完整，但考慮到計算效率，應將采樣點數目控制在合理范圍。通常的采樣方法為將定義域均分成若干份，參數點以相同的間隔進行取樣。對于邊界曲線P1(u,v)，其規范化后的節點矢量為V=[v0,v1,…,vn1+kv+1]。

本文采取對每段定義域的中間參數以及定義域的兩端點進行采樣，以邊界曲線P1(1,v)為例，則采樣參數序列Q為：

Q={q0,q1,…,qp-1,qp}

(4)

其中每個節點的值為：

(5)

該采樣個數確保了邊界曲線的每個分段都有采樣點。同時定義域兩端點也進行采樣，確保了邊界曲線的起點與終點位置嚴格約束。

(6)

其中Nj(v)為第j個由節點矢量V=[v0,v1,…,vn1+kv+1]所決定的參數v向B樣條基函數。由于上述采樣方法確保了參數點數量小于邊界待調整控制頂點數，故該方程組為欠約束方程組，有多解，可以用優化的方法獲得最優解。

本文的優化目標為曲面片邊界處的形狀盡量相似。運用文獻[7]的思想，目標函數為：

(7)

對于此類帶約束問題，運用文獻[8]的思想，可采用Langrange乘數法求解，相應的Langrange方程為：

(8)

求方程對各個Langrange乘子與控制頂點各分量的偏導并令其=0，即可獲得一組有唯一解的線性方程組。從而獲得優化的G0拼接解。

3 曲面G1連續拼接

(9)

(10)

圖2 等參線控制頂點示意圖

由于邊界曲線具有Bézier端點性質，根據計算可知，如果節點矢量U的內節點均勻分布，則在u=1處的切矢為

(11)

(12)

則曲面必然可以在這點處滿足三切矢共面，這是曲面C1連續的條件，自然也能夠保證G1連續，且求解條件明晰，方便列出方程組求解。經檢驗，該方法對曲面變形的調整量較大，且隨著節點插入算法的執行，同一點切矢量的值會發生改變，從而等式條件也會發生改變，因此本文不采用C1連續的條件，尋找更優化的滿足G1連續的曲面變形調整方案。

ΔPu(1,ql)=P'u(1,ql)-Pu(1,ql)

(13)

圖3 跨界切矢調整量

(14)

(15)

其中ΔSm-1j(j=0,1,…,n)為待調整曲面第m-1行控制頂點的調整量，是待求解量；Nj為v參數方向的B樣條基函數。該方程組為欠約束方程，存在多解，可通過優化的方法獲取最優解。

在保證G1連續的協調變形中，待調整曲面形狀的改變是不可避免的，基于最小二乘優化原理，優化目標為變形后的控制頂點調整量的平方和最小，因此構建如下目標優化函數：

(16)

這是一個帶約束的優化問題，同樣采用Langrange乘數法，可構建Langrange方程

(17)

求方程對各個Langrange乘子與控制頂點各分量的偏導并令其=0，即可獲得一組有唯一解的線性方程組，從而獲得優化的G0拼接解。

4 實例驗證

如圖4所示，展示了汽車引擎前蓋板曲面模型以及在前蓋板中間軸線上設置的4個點約束，圖5所示為曲面模型變形后的效果。

圖4 汽車前蓋板曲面模型及多點幾何約束

圖5 變形后曲面模型

初始汽車前蓋板由兩片曲面拼接而成，拼接邊界為模型中軸線位置，對右半張車前蓋曲面邊界施加圖4所示的4個離散點約束，從而使右半張曲面在靠近中軸線的邊界處產生變形，經由本文提出的曲面拼接方法，左半邊模型的曲面相應做出變形調整，保證兩片車前蓋曲面繼續保持光滑拼接，最終產生了圖5所示的車前蓋凸起造型。因此本文多曲面光滑拼接方法的準確性得到了有效的驗證。

5 結語

本文運用連續性條件，將曲面拼接分為滿足G0條件與G1條件兩步分別對曲面進行變形調整，通過將邊界連續條件離散化，建立起欠約束方程組，并選取合適的優化目標，對曲面邊界處的兩排控制頂點做出位置調整，從而實現光滑拼接的效果，通過實例驗證，可有效保證曲面的光滑拼接效果。