沙漏中的物理
——趣味問題的研究性學習

陳藝靈

(北京師范大學附屬中學,北京 100052)

在解題過程中,學生總是習慣用牛頓運動定律.雖然大部分題目可以解決,但是在遇到連續體、變力、短時間作用等情況時,牛頓運動定律便不好用了,需要求助動量定理.事實上,動量定理的意義比牛頓運動定律更深刻,它不僅僅在宏觀、低速的情況下成立,在微觀、高速情況下也適用.或者說牛頓運動定律可以解決的問題都可以從動量的角度來解決,只是我們在題目中碰到的大多數情況用牛頓運動定律更便捷,而需要用到動量定理的生活實例比較少.

沙漏作為一個學生們都見過的計時物品,它內部的沙粒流動是連續且小質量的,必須用動量定理來分析(圖1).而同時它是一個易獲取易展示的實驗器材,方便驗證理論計算的結果.因此我們可以選擇沙漏來做研究性學習的對象,分析其中的物理原理.2018年國際青年物理學家競賽(IYPT)的第13題即是沙漏問題:“時間計量眾所周知,沙漏的重量會隨沙子的流動而改變(按比例度量).研究這種現象.”

圖1 沙漏與其簡化模型

問題1:在瓶中正在下落的這部分沙有向下的加速度,是否因此整個沙漏(包含沙)質心向下加速,稱重小于實際重量?

如果用整體法研究,那么不僅要看“失重”的這部分沙,還要要看到落到瓶底突然停下的這部分沙,它們有向上的加速度,或者它們對瓶底有向下的沖擊力,因此問題1的觀點不成立.

問題2:因在空中下落而被少算的部分沙子有多少?

問題3:沙子沖擊瓶底帶來的比自身重量多出來的力是多少?

空中“失重”的沙“失去”的重量竟然與撞擊瓶底“超重”的沙“超出”的重量一樣,這兩部分抵消后,沙漏無論是否在流動,稱重重量應該不變.這個計算過程是標準的用動量定理解決連續體或流體,以及涉及到短時間沖擊力的復雜問題方法.對沙漏問題的研究是從身邊事物出發,以問題為向導,建模探索答案的過程.

當然如果不計算,也可以解決這個問題,我們可以用整體法來考慮.

沙漏中的沙子雖然一部分有向下的加速度g,一部分受到沖力而有向上的加速度,并不是受力平衡的研究對象,但是中間的沙流動態分布是穩定的.這類似穩恒電流中電荷在運動,不是靜電平衡,但電荷的動態分布不變.同樣的，沙漏中間的那段沙流的質量分布不變,速度分布不變,處在動態平衡中，而大部分不流動的沙子速度一直為0.既然研究對象的速度分布不變,那么整體或者說質心就是沒有加速度的.沙漏流沙的過程中,若Q0不變,那么Δt時間內有同樣多的沙從上方搬運到下方,質心只是在勻速下降,于是稱重重量就應該等于實際重量.

問題4:為什么沙漏的重量在沙子流動時會改變?

這個問題最容易想到干擾因素,也是IYPT中一些隊伍提到的因素,就是空氣阻力.如果空中的沙子受到向上的空氣阻力,各處沙子速度減小,空中“堆積”的沙子多,少算的沙子就多;而撞擊底部的沙子速度小,由沖擊力多算的沙子重量就減少,兩者不能抵消,會造成稱重重量小于實際重量.但事實上沙子與雨滴等流體不同,受空氣阻力更小,且在沙漏瓶的短距離內,空氣阻力的效果應該不大.

事實上,沙漏在穩定下漏階段稱重是增加而非減少的,并且穩定沙流階段測量重量被測量并報道過,如圖2所示.[1]

圖2 沙粒下落過程中沙漏受到支持力的監測結果

那么是什么原因導致沙子穩定往下流,但稱重增加呢?有學生提到沙子落下后反彈.根據動量定理,如果沙子反彈,則對瓶底沖擊力更大,的確會使稱重增加.但實際觀察沙漏,反彈的現象并不明顯,特別是流沙扎入下方沙堆后,受到較大摩擦力,幾乎不反彈,但無論是什么樣的沙漏,都能觀測到“重量增加”,因此反彈說并不成立.

從整體法,或者說質心的角度來看,先前的假設是每段時間沙子往下漏同樣的高度h,于是質心勻速下降;但現在每段時間沙子下降的高度不同了.剛開始下落時,沙子整體看是從上瓶的上表面減少,在下瓶的沙表面增加,上面沙高,下面沙低,降落高度大;沙子漏了一陣之后,上瓶的沙表面下降了,下瓶的沙表面升高了,新流動的沙子需要下降的高度減小.流量不變的情況下,Δt時間內總有Q0Δt的沙子被搬運,后來的搬運距離小,質心就不是勻速下降,而是減速下降.

圖3 直筒型與圓錐形沙漏模型

圖4 圓錐形沙漏重心降落的加速度隨時間變化規律

若沙漏是直筒、圓錐的組合或者漏斗等其他情形,也可以類似計算,但無論什么樣的沙漏,沙子需要下降的距離都是隨時間減短的,只要h是t的減函數,都能定性地得出稱重增加的結論.

問題5： 如何解釋沙子剛開始流下和馬上要漏完時稱重與實際重量不符?

以上討論均在沙流穩定的情況下進行,即去掉一頭一尾,不看沙剛開始下落以及最后沙快要落完的時候.剛開始下落的時候沙子還沒有觸及到瓶底,因此只有少算的空中流沙,而沒有沖擊力,這時候稱重重量會小于實際重量.而且沙子在漏口并不是穩定流出,剛開始堵在漏口的沙子落下后,上瓶中的沙子開始緩慢運動下來補充漏口的沙.上方沙面也并不是保持水平下降,中間會出現一個凹坑,再保持凹坑面往下降,因此稱重大小可能波動,并不規則.沙子流到下方的瓶中也不是馬上堆平,而是先形成一個沙堆,當沙堆增高角度達到穩定角[2]或者摩擦角時,沙再往兩邊流下鋪在底瓶中.在形成沙堆的過程中,質心比平鋪上升得快,也會給稱重帶來波動.

特別地,當沙子顆粒太小,阻礙空氣流動,造成上下氣壓不同時,沙漏可能不流動;顆粒增大,沙漏可能斷續的崩塌式流動,[5]稱重隨時間的圖線會出現鋸齒狀小起伏;而顆粒大到可以使空氣很容易滲透時(>300 μm),就會出現連續流動;當然顆粒不能大到與漏口可比,否則顆粒之間的拱形結構會阻塞漏出,[6]就像人太多擠著通過門口會比人少時通過的流量小,當漏口直徑小于顆粒直徑5倍時會完全堵塞無法自行下落.

至此我們討論了沙漏在流動過程中為什么稱重會改變.這種從身邊現象提出問題,再進行研究的問題式學習對學生而言更有代入感,研究中并不指定要用到哪部分知識,需要學生從自己的知識庫中去尋找解決問題的理論工具,并與實際問題相結合,有理有據地進行邏輯闡述.

但這樣的問題完全拋給學生自行解決是很難的,需要教師設置問題,層層深入.這些問題不一定得正確,比如第1個問題所提到的猜想,也可以是學生討論出來的思路.在錯誤的探索中學生們才能體會研究的一般過程.在這個過程中,教師可以先預估學生們可能會提出一些什么問題,每個問題可能有些什么回答,做好預案.當然這種問題式的研究型學習,作為教師也不可能全都能馬上回答與判斷,可以與學生們共同花時間研究計算再得出結論.

解決問題的正確道路很多,但如果討論方向跑偏太多,教師需要通過提問把學生的思路拉回正確的路上.例如可以把沙漏稱重問題進行分解,變成第2、3兩個問題,他們的分別計算并不難.問題2的流量類似于人教版教材必修2第5章第2節課后練習第1題所求體積流量,第3個問題類似于第16章第2節課后練習第4題,是學生稍加引導能夠得到的,并且整體法的動態平衡思想是恒定電流一章學過的.通過這2個問題,我們已經搭建了沙漏模型的基礎,但是粗略的模型往往不能給出與實際一致的結果.這并不是說粗略模型的搭建沒有意義.只有有了這個基礎,我們才能在此之上進行修正與改進,不斷逼近真相.實際生活的世界往往與物理教科書中不同,即使是一個小小的沙漏,也不能用簡單的模型來完整構建.同學們需要體會并理解這一點,知道如何對模型得到的結果做解釋,也知道如何修正——看理論建立的假設條件是什么,是否與實際有出入,再根據實際改變假設條件.

經過這樣的訓練,相信學生對為什么要建立與實際并不完全相符合的物理模型有了認識,知道理論中的物理與實際的區別,具備化繁為簡的模型搭建思想,更珍視前人搭建的物理基本框架,也知道自己在遇到實際問題時應該如何去在理論基礎上做出修正.第4問的理解需要學生學習基礎較好,如果要進行定量計算質心加速度,還需要學生具備競賽基礎.至于問題5,可以作為教師對感興趣的同學的科普講座,不要求完全理解.

經過這一系列問題的設計,把學生能力之外的問題通過搭梯子,逐步變成可以達到難度,引導學生們自己得到答案,實現從學生的現實水平向未來水平的躍升.同時通過研究身邊的趣味問題,打破知識的模塊化教學,需要哪個工具用哪個工具,需要查什么資料可以自行查找,最終能夠培養實際解決問題的能力.用科學的眼光看待身邊的事物,建立模型,邏輯分析,研究規律,提升物理核心素養.而實際問題的解決與做完一套題不同,它可以培養學生自主學習習慣,提升研究學習的成就感,減少大量刷題帶來的疲憊與倦怠感,提升學生學習物理的動力.