利用GeoGebra讓行星的逆行現象不再神秘

張 靜 于文高

(1. 江蘇省淮陰中學，江蘇 淮安 223002； 2. 淮安市教學研究室，江蘇 淮安 223001)

人教版高中物理教材(必修2)中提到了行星的逆行現象，行星逆行現象為日心說提供了有力證據，但是行星的逆行現象一般的中學生難以觀察到，很難想象這是怎么回事，充滿了神秘感．可以利用動態數學軟件GeoGebra對這一現象進行比較精確的模擬，從而讓學生對這一現象形成很直觀的認識，在此基礎上可以比較容易地發現行星逆行的一些規律.

1 模擬金星繞太陽的運動

1.1 行星公轉的相關數據

查得地球的公轉軌道半徑為1 AU(即一個天文單位)、周期為365.24天，金星的公轉軌道半徑為0.72 AU、周期為224.70天，火星的公轉軌道半徑為1.67 AU、周期為686.98天.

1.2 模擬金星、地球的公轉

在GeoGebra中任意作出一點A作為太陽.

以A為圓心作一半徑為1的圓作為地球的公轉軌道，并在其上作一動點B表示地球，并設置B點的動畫速度為1.

以A為圓心作一半徑為0.72的圓作為金星的軌道，并在其上作一動點C表示金星，并設置C點的動畫速度為13/8.

設置各對象的其它屬性，使視覺效果簡潔、美觀.

分別右擊B點、C點在彈出的右鍵菜單中選擇“Animation On”，讓“地球”和“金星”繞“太陽”運轉起來，如圖1所示.

圖1

此時，已經模擬出了金星、地球繞太陽的公轉情況，但是還不能直觀地看出金星的逆行現象．因為，這是從太陽的視角來看金星與地球的運行情況，而金星的逆行是金星相對于地心的運動過程中出現的特殊現象，怎么來模擬呢？

2 模擬金星相對于地球的運動

在表示太陽的A點的右側適當位置畫出一定點D，用來表示不動的地球.

在GeoGebra的指令欄中輸入C-B+D，得到一個新的點E，用來表示不動的地球(D點)周圍的金星，并在右鍵菜單中設置跟蹤(Trace on).

設置D、E兩點的其它屬性，使視覺效果簡潔、美觀.

(1) 每經過一段時間后金星相對于地球的繞行方向發生改變，這就是金星的逆行現象.

(2) 金星的逆行現象都是發生在金星與地球相距較近的時候.

(3) 經過足夠長時間后，可發現金星相對于地球的運動軌跡構成了一個簡單、規則的圖形，如圖2所示，從內側向外側由若干層“5瓣形”組成.

為了方便讀者觀察，特將動畫制作成視頻文件上傳至百度網盤，網址為“https://pan.baidu.com/s/1llqKNOYC5tm1k8Fptw89kg”，需要的讀者可以下載.

圖2

3 對行星逆行現象的進一步研究

3.1 火星有逆行現象嗎？

金星是一顆內行星，作為外行星的火星有逆行現象嗎？

可以通過GeoGebra來驗證一下，根據前面查得的相關數據對這個動畫作一些調整.

隱藏表示金星軌道的圓及表示金星的兩個點C、E．以A點為圓心作半徑為1.67的圓(火星的公轉半徑為1.67 AU)表示火星的軌道，在其上作一動點F表示火星，設置其動畫速度為0.5317(火星與地球的公轉角速度之比為0.5317).

在指令欄中輸入F-B+D，得到一個新的點G，用來表示不動的地球(D點)周圍的金星，并在G點的右鍵菜單中設置跟蹤(Trace on).

右擊F點，在彈出的右鍵菜單中選擇“Animation On”，讓“火星”繞“太陽”運轉起來，運行動畫，一段時間后可得到類似于圖3所示的軌跡，仔細觀察動畫后可發現有一小段時間火星發生逆行，并且逆行都是發生在火星與地球相距較近的位置．運行較長時間后可發現火星相對于地心的運動軌跡不是一個簡單規則的圖形，足夠長時間后可發現火星幾乎可到達其與地球間距離為最小與最大所決定的環形區域的任一位置.

圖3

那么，所有的行星都會發生逆行嗎？什么條件下行星相對于地球的運行軌跡是一個簡單規則的圖形？所形成的簡單圖形的“瓣數”由什么決定呢？

3.2 行星發生逆行的簡單解釋

由于地球與除太陽外的其他恒星相距都非常遙遠，即使地球、恒星都在運動，以地心的視角來觀察時，天球上各個恒星(不含太陽)的位置在有限時間內都是幾乎不變的.

人們常說的“斗轉星移”是由于地球的自轉及公轉導致人們在地面上觀察天球的視角方位發生變化而造成的.

由于太陽系內的行星離地球的距離相對其它恒星離地球的距離都小很多，不能當作無限遠．從地心視角觀察，行星在天球上的位置是不斷變化的，行進的.

由GeoGebra做出的動畫可以直觀看出，當行星與地球相距比較遠時，不會發生逆行，當行星距地球較近時才會發生逆行.

3.2.1 內行星逆行的簡單解釋

圖4

行星與地球繞太陽的公轉方向都是自西向東，地球的自轉方向也是自西向東，從北極上空看起來，地球的公轉與自轉方向都是逆時針方向，[1]圖4就是大致從北極上空觀察行星與地球公轉的情況．[2]

對于內行星，如圖4所示，當行星相對于地球處于上合位置附近時，行星離地球較遠，容易判斷出行星相對于地球的繞行方向為自西向東(逆時針)，此為順行．[3]

當行星相對于地球處于下合位置附近時，由于內行星的公轉速度vV大于地球的公轉速度vE，可判斷出此時行星相對于地球的繞行方向為自東向西(順時針)，發生了逆行.

圖5

3.2.2 外行星逆行的簡單解釋

對于外行星，如圖5所示，當行星相對于地球處于合日位置附近時，行星離地球較遠，容易判斷出行星相對于地球的繞行方向為自西向東(逆時針)，此為順行.

當外行星相對于地球處于沖日位置附近時，由于外行星的公轉速度vM小于地球的公轉速度vE，可判斷出此時行星相對于地球的繞行方向為自東向西(順時針)，發生了逆行.

圖6

需要說明的是，這是在行星公轉軌道是圓的條件下得出的結論，那些軌道離心率比較大的小行星是否存在逆行現象還需進一步分析.

3.3 金星每次逆行持續多長時間?

如圖6所示，當金星、地球與太陽連線的夾角恰好為某一角度α，金星與地球的公轉速度沿垂直于它們連線方向的分速度vV1、vE1相等時，金星相對于地心的速度方向恰好指向地球，金星在天球上的運行角速度恰為0，此時金星剛開始逆行．而當金星相對于地球位于此位置關于日地連線的對稱位置時，金星相對于地球的速度方向背離地球，金星逆行恰好結束.

令rV、rE分別表示金星與地球的公轉軌道半徑，由圖6，根據正弦定理，有

(1)

據高中知識容易求得金星、地球的公轉速度大小分別為

(2)

據以上分析，有vV1=vE1，即

vVcos(α+θ)=vEcosθ.

(3)

由(1)～(3)式可解得

代入rV=0.72rE，可求得

θ≈28.72°；α=13.18°.

金星與地球繞太陽公轉的相對角速度

金星逆行持續的時間為

代入相關的數據可求得t逆=42.76天.

網上查得最近3次金星逆行的時間分別為：2015年7月25日～2015年9月6日、2017年3月4日～2017年4月15日和2018年10月5日～11月16日，3次逆行持續的時間分別為42天、42天和43天．算出的結果與實際數據吻合得很好！

3.4 金星每隔多長時間發生一次逆行

對于金星，代入相關數據，可得T=583.96天.

由最近3次金星逆行的時間求得間隔的時間分別為588天、580天，吻合得較好.存在一些誤差的原因是實際上金星與地球公轉軌道都不是圓，而是橢圓.

3.5 行星在天球上的軌跡的“瓣數”取決于什么?

可以得出，若沿圓軌道公轉的行星與地球的公轉周期之比不是無理數(非無理數一定可以用最簡分數表示)，觀察到的行星相對地心的運動軌跡是一個規則的形狀，有一定的周期．如果這個最簡分數的分子n與分母m都不太大，則軌跡的形狀比較簡單，并且軌跡的“瓣數”N=|m-n|．這一點也可以用GeoGebra來進行驗證，感興趣的教師可以嘗試.

4 結語

利用GeoGebra經過簡單的幾步操作就可以模擬出行星運動，在模擬出行星相對于地球的運動后，可以很容易理解行星逆行現象的成因、特點，進而可以發現一些特別的規律.而這一切還不需要復雜高深的數學運算.這樣的體驗可以大大激發出學生學習物理的興趣和探索星空的勇氣．進一步還可以引導學生學習相關的天文知識，如：會合周期、凌日現象等等，也可以引導學生自己利用Geogebra去探索、模擬.

在中國大學慕課網上跟隨北京大學唐大仕老師系統學習了GeoGebra的教學應用后，越來越感受到GeoGebra功能強大，非常適用于高中物理問題的探索．唐大仕老師總結出利用GeoGebra探索問題的一般模式： (1) 提出問題； (2) 利用GeoGebra將問題可視化； (3) 解決問題； (4) 進一步提出新的問題．在實踐過程中發現確實如此，以探索行星逆行為例，本想僅模擬金星的逆行現象，沒想到竟然收獲了這么多的發現.