巧用反例培養初中生數學思辨能力

李玉琴

(貴州省湄潭縣茶城中學 貴州 湄潭 564100)

小學階段，數學教學以培養學生們的形象思維和想象力為主，而初中數學知識邏輯性較強，知識的關聯性也更為密切。然而，很多學生們的思辨能力較弱，導致解題思維混亂。反例是從不同思維角度來證明命題邏輯思維錯誤的一種思維方式，有助于辨析命題的真假和概念間的不同。因此，筆者在本文中重點論述了利用反例來培養初中生數學思辨能力的有效途徑，希望能夠借此拓展學生們的思域的寬廣程度，改變思維僵化的窘況，讓學生們的數學思維能力得到更好地發展。

1.應用反例強化學生們思維的邏輯性

數學概念和定理主要闡釋數學符號、知識模塊間的關系，條件性、邏輯性都非常強。一般情況下，初中數學教師會通過朗讀、分析或者構建新舊知識之間的聯系來正向解析這些概念、公式和定理的內涵。然而，正向解釋是從教師的專業角度和成人的思維視角出發，學生們的思維視角和教師的視域存在一定思維差異，因此，學生們對這些概念、定理和公式的適用范圍、條件變化后解題思維的變異性和靈活度掌控力不足，容易受教師思路和教材范例所引導的思維定式的影響。但是反例屬于逆向思維，能夠彌補學生們在理解方面的思維漏洞，讓學生們能夠從不同角度來看待數學概念、公式及定理的內涵外延，避免學生們條件的遺忘、思維的疏漏，增加理解的清晰度和透徹程度。

例如，5是25的平方根和25的平方根是5這兩個命題看似都包含平方根這一概念，但是二者所闡述的邏輯關系并不相同，因此，這兩個命題一個為真，一個為假。教師可以通過反例來來提示學生們注意數學語言在表達上所應該具有的嚴謹性。25的算術平方根是5，它的平方根有兩個，一個是5，另一個是-5，因此，5是25的兩個平方根中的一個，這種論斷在邏輯表達方面沒有問題；而25的平方根是5就缺乏表達的嚴謹度。因為-5也是25的平方根，由此，由條件推斷結果的時候得出了不一樣的結論，證明這個論斷是一個偽命題。

2.借用反例來完善對命題條件的認知

很多情況下，數學命題成立與否要受命題條件的約束，如果能夠通過條件推斷出相應結論，則命題為真，而如果根據這個條件得出的推論與命題結果相異，則命題為假。因此，學生們對命題條件的認知是否完備，完全可以通過反例來進行驗證。

如果正向解析三角形全等的判定方法，教師會要求學生們注意兩個疑似全等的三角形在對應角和對應邊之間所存在數量對等關系。例如，其中一個判定定理就是“兩個三角形的兩邊及其夾角分別對應相等，那么這兩個三角形全等”。正向解析應該是兩個疑似全等的三角形之間是否存在兩個邊數值相等，并且這兩個邊所形成的夾角是否同時對應相等，如果兩個條件同時成立，則這兩個三角形全等。這樣的解釋已經定理所涉及的數學要素間的條件極其邏輯關系闡述得非常清晰。然而在真正的數學解題實戰訓練過程中，學生們往往看到角或邊相等就認為符合條件而忽視角和邊對等的前提條件是二者必須具有對應關系。實踐證明，筆者正向講解、正向強調多次，學生們仍然在這方面錯誤率較高。而筆者把學生們的錯題當成反例來講解，讓學生們通過反例糾錯的方式來發現此類題的處理原則就會避免學生們對對應條件的忽略。例如，如圖

在△ABC與△ABD中，∠ACD=∠ADC，則可以推出AC=AD。那么可知AB=AB，∠B=∠B，AC=AD,但是很明顯△ABC與△ABD并不全等。夾角和一邊的角絕不是同一概念，不要偷換。這樣一來，通過圖形對比和邏輯分析，學生們就會對邊角邊這一三角形全等定理有了更清晰的認知。

3.應用反例來提升學生們的辨析能力

學生們的思辨能力不足，對命題的闡釋會產生各種錯誤的理解，導致命題結果所涵蓋內容的擴大或者縮小。應用反例可以有效提升學生們的辨析能力，正確辨析相似度高的概念，明晰其確切適用范圍，提升學生對數學知識認知的精確度。

例如，在初中數學知識體系內，學生們學過平面直角坐標系之后，就要辨析銳角和第一象限的角是否是同一概念。當學生們舉例400°、430°等角也在第一象限的時候，就會發現，對銳角的定義是大于0°而小于90°的角，而第一象限的角是一個集合，其取值范圍為(2kπ,2kπ+π/2),其中k為整數，只有k等于0的時候才是銳角，其他時候都會大于360°.借助這樣的反例，學生們對第一象限的角和銳角都有了精準的定義和認知。

綜上所述，隨著學生們思維認知能力的提升，初中數學知識的抽象性和邏輯性也逐漸增強。學生們要具備良好的辨析能力才會明辨命題的真偽、明晰命題條件的確切含義以及對命題結果的限制作用，并且對相似度高的概念進行正確區分，對A是B正確，但B是A并不一定正確這樣的思維認知的辨析尤其有效。反例的使用能夠拓展學生們的思維空間，探查到思維意識上的漏洞并指出認知的錯誤，讓學生們的數學思維更為清晰、發散方向更為廣闊，辨析能力更為強悍，是教師教學和學生們學習數學知識的得力助手，應該被妥善應用。