抓住認知原點，促進本質理解
——“三角形面積”的教學創新與思考

2020-07-16 06:38:06

魅力中國 2020年20期

關鍵詞：學生

（浙江省溫州市泰順縣羅陽鎮中心小學，浙江溫州 325500）

一、問題提出

五年級學習平面圖形的面積的計算之后，在練習中經常遇到逆運算類問題，例如：（一）請你在格子圖上畫一個面積為12 平方厘米的三角形。（二）已知三角形的面積為12 平方厘米，其中三角形的底是6 厘米，三角形的高是多少？（三）等積變形類問題。這些問題都可以歸類為面積的逆運算問題。在計算三角形的面積時，孩子們很容易遺忘除以2，而在逆運算問題中，更多的孩子則忽略了乘以2。

二、原因分析

在學完“多邊形的面積”這一單元之后，我讓自己班和同年段另一個班共81 名同學對三道題的掌握進行調查，結果如下：

我們在教學三角形的面積計算時，花了大量功夫，借助“拼組”或者“剪拼”等實際操作，讓孩子在活動中建構三角形的面積計算方法，充分理解面積計算的意義。在這之后的練習課中，簡單的借助三角形的面積公式的逆運算來推理，這種方法只適用于數學思維能力比較好的孩子，他們自己在理解的基礎上就能夠自己找到解決問題的方法，對于其他的孩子，在解決此類問題時忘記乘以2，甚至有一部分孩子根本不理解為什么要乘以2。

三、對策思考

在面積的計算教學中，長方形和正方形的面積計算是起始，也是面積教學起點，在之后的面積學習中，其實都可以通過轉化回到長方形。通過轉化、溝通、對比，抓住認知起點，促進學生對三角形面積本質的理解。

（一）利用格子圖，抓住面積的度量本質

度量的本質是計量單位的累加，無論是重量、時間、長度還是本文中涉及的面積。度量包含“度”和“量”兩個方面，“度”是度量單位，“量”是測量，表示測量結果的數，叫做數量。面積就是用面積單位測量出的結果，他是一個數量。面積計算的方法，即學生探究的面積計算公式，是建立在用邊長為1 的小正方形（面積單位）測量，尋求計算幾個面積單位的簡便方法。

在三角形面積練習課中，我們可以先對比長方形、平行四邊形的面積計算方法，感受面積計算的本質是度量。

準備材料：

問題設計：

①仔細觀察平行四邊形和長方形的面積計算方法，有什么相同點和不同點。

②為什么平行四邊形要進行轉化才能計算，長方形不要？

③比較平行四邊形和三角形的計算方法，什么變了，什么沒變？

通過三個關鍵問題讓學生體會面積的計量本質是度量，用面積單位進行度量。無論是平行四邊形、長方形還是三角形，我們在求面積時，其本質是將平面圖形分割成若干個面積單位。長方形不用等積變換就可以計算是因為它恰好可以分割成若干個面積單位，而平行四邊形由于其形狀原因，不能恰好分割成若干個面積單位，但其中有些部分可以互補成為一個完整的面積單位。同理，三角形的剪拼過程也是這樣。學生在思辨中體會求面積的本質是求面積單位數量的過程，是將一個平面圖形變換成面積單位堆疊的平面圖形。由于面積單位是正方形，所以堆疊的結果一定是若干份長方形的組合圖形，也就是可以將原圖變換成一個對邊相等的長方形或幾個長方形的組合（組合圖形的面積）。

（二）溝通對比，理解三角形面積的求解本質

①覺得根據圖形變換結果，三角形的面積應該怎么算？

②3×2 是什么意思？表現出來的是一個什么形狀？

③那為什么三角形的面積公式中為什么有一個“÷2”呢？

從平行四邊形回到長方形，再與三角形進行對比，深入理解面積的求解過程是基于面積單位構建的平面圖形。計算三角形的面積不是記住了面積公式就可以，是要理解三角形是怎么轉化成由面積單位組成的長方形，以此來加深學生對面積計算的理解。

④你能在格子圖上表示三角形面積計算公式中“底×高”的意思嗎？

剪拼有利于學生理解三角形的面積本質，但是不利于學生理解求高或求底的逆運算，而倍拼是一個更好的選擇。利用作圖讓學生再次加強對面積中“×”的理解，“×”的結果必然是一個對邊平行且相等的圖形，有可能是長方形，也有可能是平行四邊形。

⑤你能從中找到你要的三角形嗎？

在了解“底×高”的含義后，再重新找出隱藏其中的三角形，理解倍拼的過程和便利性，更有利于理解逆運算中的“×2”。

⑥6×2÷4 或6×2÷3 中都有一個“×2”是什么意思？為什么要“×2”？

⑦結合自己畫的圖和同桌說一說6×2÷4 或6×2÷3 的含義。

結合倍拼和面積的基本模型長方形來幫助學生理解三角形面積的逆運算過程，讓學生真正的“看”到、“想”到“×2”到底在哪里，理解“×2”的含義，而不是單純的記住公式。

只有學生在真正理解了面積的度量本質、計算本質，才能助推對三角形面積的計算和逆運算過程的理解。當學生脫離了單純的記憶后留下的就是數學模型和思維方法以及空間觀念，這樣的學習方式也更有利于學生今后的學習，尤其是其他平面圖形的面積和體積的學習。