立體幾何

一、填空題

1.設α，β，γ是三個不重合的平面，l是直線，給出下列三個命題：

① 若α⊥β，l⊥β，則l∥α；

② 若l上有兩點到α的距離相等，則l∥α；

③ 若α⊥β，α∥γ，則γ⊥β.

其中正確命題的序號是________.

2.已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題：①若l∥α，m?α，則l∥m；②若l?α，l∥β，α∩β=m，則l∥m；③若m⊥α，m∥β，則α⊥β.④若l⊥α，m∥α，則l⊥m.其中真命題是_________（寫出所有真命題的序號）.

3.（2019 江 蘇 卷第9題）如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120，E為CC1的中點，則三棱錐E-BCD的體積是________.

（第3題）

4.（2018年江蘇卷）如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為________.

（第4題）

5.如圖，在側棱和底面垂直的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，當底面ABCD滿足條件________時，有AC⊥B1D1（寫出你認為正確的一種條件即可）.

（第5題）

6.祖暅是南北朝時代的偉大數學家，5世紀末提出體積計算原理，即祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任何一個平面所截，如果截面面積都相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等.現有以下四個幾何體：圖①是從圓柱中挖去一個圓錐所得的幾何體，圖②、圖③、圖④分別是圓錐、圓臺和半球，則滿足祖暅原理的兩個幾何體為.（填上你認為正確的序號）

（第6題）

8.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，點D為側棱BB1上的動點，當AD+DC1最小時，三棱錐DABC1的體積為________.

（第8題）

二、解答題

9.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1.

求證：（1）AB∥平面A1B1C；

（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC.

10.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，是AB的中點.

（1） 求 證：BC1∥ 平面A1CD；

（2）若點P在線段BB1上，且求證：AP⊥平面A1CD.

（第10題）

11.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E為側棱PA的中點.

（1） 求 證：PC∥ 平面BDE；

（2）若PC⊥PA，PD=AD，求證：平面BDE⊥平面PAB.

（第11題）

12.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點.

（1）求證：BD⊥平面PAC；

（2）若 ∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；

（3）棱PB上是否存在點F，使得CF∥平面PAE？說明理由.

（第12題）

三、挑戰高考（2019年江蘇卷第16題）

13.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點，AB=BC.

求證：（1）A1B1∥ 平面DEC1；

（2）BE⊥C1E.

（第13題）