認真審題，選擇順序，輕松解題
——一道習題的解法及啟示

邵一明

今天老師讓我上黑板板書了一道習題，這是一道橢圓中直線求斜率的題目.老師看了我的板書后，表揚了我的解題方法，我很高興.仔細想來，我在解題過程中有一些體會，與大家分享.

【問題呈現】

在平面直角坐標系中，橢圓C的右準線方程為x=4，右頂點為A，上頂點為B，右焦點為F，斜率為2的直線l經過A點，且點F到直線l的距離為.

（1）求橢圓的標準方程.

（2）將直線l繞點A旋轉，它與橢圓C相交于另一點P，當B，F，P三點共線時，試確定l的斜率.

【解題經歷】

●分●析 本題是一道比較簡單的求橢圓方程和直線斜率的題目.題目看似簡單，但我認為內涵豐富.第（1）問考查橢圓方程求法，屬基礎題，利用待定系數法易求出橢圓方程為.第（2）問，我一看到題目就想到先設直線l的方程，與橢圓方程聯立，求點P的坐標，于是就有了如下解法：

●解●法●1 設直線方程為y=k（x-2），

代入橢圓方程，化簡可得（3+4k2）x2-16k2x+（16k-12）=0，

因為B，F，P三點共線，又已知，

解題結束，回顧解題過程，我覺得很煩瑣，想起數學老師每次講完一道題總會問我們一句：“你們還有其他什么方法嗎？”那這道題，除此解法，還會有什么簡潔的方法嗎？我仔細看了一眼插圖，當看到B，F，P三點時，忽然想起“當B，F，P三點共線時”我豁然開朗，點B，F坐標是已知條件，lBF：顯而易見，由此我想到了以下解法：

又因為A（2，0），所以.

圖2

【反思感悟】

此題雖然不算太難，但我總認為能有多種解題方法的題目都不失為一種好題目.解題過程中，我還得出一些感悟：解題不要漏看題目中的插圖，好的圖形有助于打開解題思路.解題除了可以用常規思路求解，還要學會反思，在反思中提高數學思維能力，在反思中找到學習數學的樂趣.

【老師點評】

解析幾何的運算是不少高中學生所懼怕的，這里既有題目的難易因素，也有做題的心理因素.邵一明同學在練習時能夠沉著冷靜，注意觀察題目的條件和圖形結構，選擇了第二種方法，順利解出了本題.從中同學們能夠得到什么啟發呢？

（邵一明，江蘇省興化中學高三（6）班；指導老師：徐永忠）

本期“牛刀小試”“真題練”參考答案

P9“真題練”：1.（1）2或6；（2）存在定點P（1，0），過程略.

P38“牛刀小試”：（1）1；（2）｛1｝；（3）略.

改編1：（1）｛x|-2≤x≤3｝；（2）（-∞，-6］∪［2，+∞）.