導數的應用

一、填空題

2.已知函數f（x）=-x3+ax2-x-1在R上是單調函數，則實數a的取值范圍是________.

3.當x=-1時，函數f（x）=x3+ax2+bx+b2有極值8，則a+b的值為________.

4.已知函數f（x）=（x2+x+m）ex（其中m∈R，e為自然對數的底數）.若在x=-3處函數f（x）有極大值，則函數f（x）的極小值是________.

5.某工廠生產一種無蓋冰激淋紙筒為圓柱形，現一客戶訂制該圓柱紙筒，并要求該圓柱紙筒的容積為27πcm3，設該圓柱紙筒的底面半徑為r，則工廠要求制作該圓柱紙筒的材料最省時，r的值為________cm.

6.若定義在R上的函數f（x）滿足f（x）+f′（x）＜1且f（0）=3，則不等式f（x）＞（其中e為自然對數的底數）的解集為_________.

7.若函數f（x）=-lnx+ax2+bxa-2b有兩個極值點x1，x2，其中0，b＞0，且f（x2）=x2＞x1，則方程2a［f（x）］2+bf（x）-1=0的實根個數為________.

8.若實數x，y滿足2x-3≤ln（x+y+1）+ln（x-y-2），則xy=________.

二、解答題

（1）若函數f（x）在x=1時取得極值，求實數a的值；

（2）若函數f（x）在區間［2，4］上是單調遞增函數，求實數a的取值范圍.

（1）b=1時，求證：f（x）在（-∞，-1）上是增函數；

（2）若函數f（x）在（1，+∞）上是減函數，求負數b的取值范圍.

11.已知函數f（x）=ax3+bx2-3x（a，b∈R）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y+2=0.

（1）求函數f（x）的解析式；

（2）若對于區間［-2，2］上任意兩個自變量的值x1，x2都有｜f（x1）-f（x2）｜≤c，求實數c的最小值.

12.已知函數f（x）=（ax2+x+2）ex（a＞0），其中e是自然對數的底數.

（1）當a=2時，求f（x）的極值；

（2）若f（x）在［-2，2］上是單調增函數，求a的取值范圍；

（3）當a=1時，求整數t的所有值，使方程f（x）=x+4在［t，t+1］上有解.

三、挑戰高考（2019年全國Ⅲ卷第20題）

13.已知函數f（x）=2x3-ax2+b.

（1）討論f（x）的單調性；

（2）是否存在a，b，使得f（x）在區間［0，1］的最小值為-1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，說明理由.