關于復變函數積分的教學研究

蘇新衛

摘 要 針對部分教材中復變函數積分內容的安排特點，從拓展式方法及一題多解兩方面分析復變函數積分教學，有利于拓寬學生的解題思路。

關鍵詞 復積分 拓展 一題多解

中圖分類號：G642文獻標識碼：A

復變函數積分的路徑主要有兩種-閉和非閉曲線。化為定積分法和牛頓-萊布尼茲公式可以計算非閉路的積分，復合閉路原理、柯西積分公式、高階導數公式及留數方法等主要計算閉路上的積分 。本文針對部分教材中復變函數積分內容的安排特點，即相對而言非閉路的積分內容較少而閉路的積分內容較多，分別從拓展式教學以及一題多解方面分析復變函數積分的計算，旨在使學生整體連貫地掌握復變函數積分知識，尋找最簡便有效的積分計算方法。

1拓展式教學

在和復變函數積分有關的教材中，對于非閉路的復變函數積分計算，相對來說內容較少。以教材內容為依托，使學生真正熟練地掌握沿著非閉路的復變函數積分計算，拓展式教學的合理運用變得尤為重要。

拓展教學，首先要強調復積分和實積分的聯系。例如在講解復積分的定義時可以指出兩種積分定義的相同點-分割、取定點、求和、求極限，因此復積分是實積分的推廣，當復積分中的路徑是實軸上的線段時，復積分就是實積分。這種和實積分相比較的方法無疑可以加深學生對于復積分的理解。其次，除可以增加一些具有代表性的例題外，還可以從教材中已有的典型例題入手拓展講解。

下面以[1]中例3.9為例具體展現拓展教學在復變函數積分教學中的應用。

例1： 計算，C是從到的直線段。

當時在C上有不連續點。由復變函數積分的化定積分法，此例對應定積分在內有間斷點且有界而連續。由于有有限個間斷點的有界實函數可積，所以此時積分存在。不妨先計算：從到的直線段和：從到的直線段的積分，是實常數。

解：類似于[1]中例3.9，由牛頓-萊布尼茲公式及分部積分易得

，

由于且，，對積分，兩端當時求極限并求和可得積分值為，得到與[1]中例3.9不同的結果。

通過對上例的拓展求解可以看到，由于主輻角的范圍不同導致積分結果的不同，同時也加深了對實積分和復積分之間密不可分關系的理解。

2一題多解

相比于非閉路徑的積分，沿著閉路的積分方法是多樣的，對于同一題往往可用多種方法計算。為使學生整體連貫地掌握這些方法并尋找最簡便的方法計算積分，一題多解教學法的應用是行之有效的。

例2：求。

在內有被積函數的兩個奇點3和1。方法之一是應用復合閉路原理，在之內做兩個包含3和1的互不相交互不包含的閉路和，然后用柯西積分公式;方法之二是將被積函數分成兩個分式的和，然后用柯西積分公式;方法之三是直接用留數方法計算。

解一：

解二：

解三：

僅此簡單一題，將復合閉路原理、柯西積分公式和留數方法統一起來，學生可根據自身對每種方法的掌握程度選擇一種計算，在此不再舉例贅述。

3結語

本文通過兩個簡單的例子說明如何應用拓展教學和一題多解法講授復變函數積分。在計算復變函數積分時，首先應判斷被積函數在非閉路徑上的連續性、解析性以及閉路內的解析性，從而選用不同的方法進行計算。同時我們看到，在積分路徑上有被積函數的不連續點時積分可能收斂，這是值得引起初學者注意的一點。

基金項目：校級課程建設與教改項目（J190806，J190812，J190802）。

參考文獻

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