從一類數學應用題的調查反思數學教育

劉憲升

摘 要 通過對物資調運類問題調查呈現出的事實，指出數學教育中大量的解題訓練有可能使人的本能消失、思維受到嚴重束縛，失去其訓練思維和應用的價值.

關鍵詞 調查 解題訓練 思維 應用

中圖分類號：G424 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A ? ?DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2020.05.068

Abstract From the facts revealed through investigations on material transportation issues， we point out that a huge number of problem-solving training in mathematical education may make people's instincts disappear， make their thinking be seriously restricted， and even make them lose their training thinking and applied value.

Keywords investigation; problem-solving training; thinking; application

作為普通高校的一名數學教師，我一直關注著中小學數學教育，從1997年起就對數學教育的一些問題堅持調查至今。目的是考察數學教育對學生思維的訓練價值，及數學的應用價值和教育成效。下面，我們從一類數學應用題的調查談起，然后做一些分析與反思。

1 物資調運類數學應用問題的調查

為了體現數學與生活的聯系及應用，初中生學了一次函數后，關于物資調運省運費的問題便常以求最值的形式出現在課本、平時和中考試卷中。為方便討論，我們先給出一道簡單題目及其解法。

例1 某市、B兩地相距30千米，每年各有3萬噸、5萬噸的物資需要銷往外地。市政府計劃在圖1所示兩地沿線上建一車站，使兩地物資運往車站的總運費最省。問車站應建于何處？（運費單價：10元/噸、千米）

圖1

解法一：設總運費為元。假設車站建在沿線上的地，離地千米（），則離地30-千米。由題意得：

∴

∵

所以，當時，取得最小值，總運費最小值是9000000元。

答：車站應建在離地30千米處。

可以說，與例1類似的題目，是應用一次函數解決的物資調運類問題中最簡單的應用題，大多數學生用5～6分鐘的時間就能求解出來。然而，這種機械的解法掩蓋了問題是把一小、一大兩堆東西堆到一起的實質。下面介紹該類問題的調查結果。

調查（一）——對不識字老人的調查。回農村老家時，我以場里有一小一大兩堆麥子堆成一堆比較省勁的問題，詢問過幾十個沒上過一天學的老人。他們都不假思索的說：“小堆往大堆堆??！”有人還說：“從小就是這么干的，誰都這么干，你怎么問這樣的問題？”言外之意說我讀書讀傻了。事實上，例1的結果就是把少的物資運往多的地方。

調查（二）——對民工的調查。有時走到一些工地上，我就對用小車推砂子（磚）的20歲左右的小伙子（至少有上百人），以一小一大兩堆砂子堆到一起的問題調查，他們也是張口就說：“小堆往大堆推??！”我說：“你們怎么不用初中一次函數求解出堆到哪里最省勁呢？”有的人說：“這問題一看就知道答案，用函數干嘛？”我說：“當時沒把你的想法告訴老師嗎？”他說：“我學習不好，不敢說，也懷疑自己的想法?！蔽艺f：“你的想法是對的，以后多點自信把本能發揮出來?！?/p>

調查（三）——對幼兒園大班孩子的調查。借與朋友相聚的機會，我調查過三十多個五六歲的孩子。考慮到他們的理解力，就在桌子上擺上明顯大小不同的兩堆瓜子或糖塊，讓他們用最省勁的辦法把這兩堆堆成一堆，做對了就送給他們吃。結果，孩子們的小手嗖的一聲就把小堆推到了大堆上。

調查（四）——對中小學生的調查。利用帶學生實習的機會，我拿此類問題調查過起碼有幾百個中小學生。結果，沒學過一次函數的小學、初中學生都很快的解決了問題;而學過的初高中生都是用一次函數來求解，且不給出兩地之間的路程和運費單價就說少條件，求不出具體地點來。

調查（五）——對大學生的調查。利用給學生上課的機會，我拿此類問題調查了不說上萬也有幾千個大學生。其中，數學專業的學生每級每個班都調查過（我都上過課）;公選課上幾乎調查了我校各個專業的學生。拿例1來說，當不給出兩地間的路程和運費單價時，學生都說少條件。當補上路程和運費單價時，他們說用一次函數就可求解。我說假設建在離地（少的地方）的路程是千米，列出函數關系式并求出結果告訴我具體地點，結果都說建在離地30千米的地方，就是不說建在物資多的地。

另外，我還借與不少中小學及大學老師交流的機會，簡單的詢問過這類問題。結果也是說用一次函數求解。這從老師們布置的練習題，課本及考試題中常有類似題目可佐證調查結果是符合實際的。

其實，在例1中我們用一次函數給出的解法，無非是證明了人們本能的做法是對的、是科學的。另外，若能引導學生動腦思考，亦可簡單的給出其解法。

解法二：因不管車站建在間沿線上的那一個地方（含），將兩地物資運到車站的總路程都是30千米，故運的物資越少越省錢，所以把處的物資運到處，車站應建在地。最少運費為：30000？0？0=9000000（元）。

有人可能說這個問題太簡單，難一點的行嗎？其實，為了充分體現一次函數的應用，增加難度，課本和中考題中就出現了很多兩地往兩地調運物資的問題。我們以人教版課本[1]上的復習題為例進行說明。

例2 城有肥料200t，城有肥料300t?，F要把這些肥料運往兩鄉。從城往鄉運肥料的費用分別為20元/t和25元/t;從城往鄉運肥料的費用分別為15元/t和24元/t?，F在鄉需要肥料240t，鄉需要肥料260t。怎樣調運才能使總運費最??？（配圖略）

分析：因從兩城運往鄉的費用分別是20元/t和15元/t（最低），每噸差5元;運往鄉的費用分別是25元/t（最高）和24元/t，每噸差1元。故應將城肥料盡量多（城盡量少）的運往鄉，不夠的再從城運;若城肥料多于鄉需要，多出來的就運往鄉。

解：調運方案為：從城運往鄉240t，運往鄉60t;城運往鄉0t，運往鄉200t。此時總運費最省，最少運費為：240？5+60？4+200？5=10040（元）。

此題若用一次函數求解（略）得十幾分鐘，可略一動腦就能簡單的解決。可見，憑本能或略加思考就可解決的問題，得到上述調查結果令人痛心。

2 分析與反思

2.1 要實現數學訓練學生思維的教育價值仍有待研究與努力

（1）大量的解題訓練有可能致使人的本能消失。對于該類問題，若說老人由于生活經驗的積累悟出了道理，可幼兒、小學低年級的學生的做法除了人都具有解決這一類問題的本能外，我想不出其他解釋。可學過的人，尤其是學得“好”的人，為什么不知道小堆往大堆堆呢？個中原因除了大量的解題訓練有可能致使人的本能消失，還有其他原因嗎？

（2）大量的解題訓練嚴重束縛學生的思維。按說學習好的人解了大量的這類問題，理應能認識其實質，可為什么認識不到呢？這是因為，學生學習數學大都靠大量的解題訓練和機械的套模式來提高成績，甚至連“答”都是機械式的。這導致了學生解題后不進行比較與思考，更甭說質疑，失去了認識實質的機會。甚至嚴重束縛與禁錮了他們的思維，且束縛可伴隨人幾十年或終生，成了戴在頭上的“緊箍咒”。

眾所周知，數學享有思維體操的美譽，具有訓練思維、開發智力的教育價值。由上可見，這種價值要實現還是有待數學教育工作者的研究與努力。

2.2 要實現數學的應用價值仍有難度

這些年來，雖然課本編寫及老師的教學都注重了數學與生活的聯系和應用，但由上可見，不僅解法有玩數學游戲的感覺，問題本身也有游戲性質。如在例2課本上的配圖中，城比城離鄉近，但運費單價卻每噸多5元;城離鄉比鄉遠，可運費單價卻每噸少9元。這不違背常理嗎？若把這問題搬到生活中去豈不鬧出天大的笑話。事實上，類似這樣嚴重脫離實際的應用題屢見不鮮，問題本身不符合實際怎能讓學生體會數學的應用，通過這樣的問題講應用很難現數學的應用價值。

綜上所述，數學教育的價值重在訓練思維和實際應用，但靠“題海戰術”，多講多練，要達成目的是有困難的，會使數學的教育價值大大折扣，甚至可能影響學生的發展。因此，作為數學教育工作者應在反思的基礎上好好研究一番，為祖國的后代開啟一片光明未來。

參考文獻

[1] 人民教育出版社，課程教材研究所.義務教育教科書·數學（八年級下冊）[M].北京：人民教育出版社，2013：109.