帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問題的歸類解答分析

摘 要：將一類問題根據(jù)其特征分類，可以讓解題有觸類旁通、循序漸進(jìn)的效果。帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，既是高中物理的典型問題，也是高考的熱點(diǎn)。文章將問題按磁場(chǎng)邊界面的不同分類并作答，使此類問題的解答有章可循，并“化險(xiǎn)為夷”。

關(guān)鍵詞：帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng);不同邊界面;分類解答

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題歷來(lái)是高考的熱點(diǎn)。此類問題在高考試卷中多以計(jì)算題的形式呈現(xiàn)，有難度大、分值高和壓軸題等特點(diǎn)，因此是物理高考復(fù)習(xí)教學(xué)的重點(diǎn)之一。教學(xué)中，依據(jù)問題的特點(diǎn)，將問題進(jìn)行歸納分類，可以使問題解答變得有章可循，并“化險(xiǎn)為夷”。文章根據(jù)勻強(qiáng)磁場(chǎng)邊界面的不同，將帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題進(jìn)行分類并做了解答。

一、 平面邊界

界面為平面的問題最為多見，根據(jù)界面數(shù)的多少又可以分成單一邊界和多邊界兩類。解題要用到圓和直線相交、相切等幾何關(guān)系。圓是帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，直線通常是平面邊界與紙面的交線或速度線（速度示意圖所在的直線）。

（一）單一邊界

單一邊界的問題相對(duì)簡(jiǎn)單些。帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度與邊界夾角不同，軌跡弧也有所不同。通常進(jìn)入磁場(chǎng)的帶電粒子最終會(huì)從同一邊界離開磁場(chǎng)，且進(jìn)出磁場(chǎng)時(shí)速度與邊界的夾角相等。如圖1所示，初速度與邊界夾角為直角時(shí)，粒子軌跡為半圓;夾角不為直角時(shí)，粒子軌跡為一段優(yōu)弧或劣弧。

有一類問題是兩種不同磁感應(yīng)強(qiáng)度的勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在一個(gè)平面界面的兩側(cè)，兩邊磁場(chǎng)相互平行且平行于界面。

【問題1】圖2中虛線AB右側(cè)是磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，左側(cè)是磁感應(yīng)強(qiáng)度為B2的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。已知B1B2=2。磁場(chǎng)的方向都直于圖中的紙面并指向紙面內(nèi)?，F(xiàn)有一帶正電的粒子自圖中O處以初速度v向右運(yùn)動(dòng)，求從開始運(yùn)動(dòng)到第10次向右通過AB線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間內(nèi)，該粒子在AB方向的平均速度。

解析（略）

答案：v-=2V3π

問題1中，因?yàn)槌跛俣染€垂直于界面，所以軌跡是由兩種不同半徑的半圓交疊而成，描畫軌跡很容易，但解題的關(guān)鍵不僅在畫軌跡，清楚平均速度的概念也很關(guān)鍵，速度是矢量，要牢記其矢量性。粒子在AB兩側(cè)以不變的速率來(lái)回運(yùn)動(dòng)的同時(shí)也在AB方向上變速前進(jìn)，所以只能求平均速度。粒子的運(yùn)動(dòng)有周期性，每次向右通過AB恰好是一個(gè)周期，所以粒子在周期整數(shù)倍的時(shí)間里，在AB方向的平均速度，跟第一個(gè)周期的是一樣的。

（二）多邊界

多邊界問題相對(duì)復(fù)雜些，根據(jù)邊界面的位置關(guān)系不同，又將這類問題分為平行界面和正棱柱界面。平行界面的問題，通常要求帶電粒子能否穿過某一界面的某個(gè)物理量的臨界值。棱柱界面的問題，帶電粒子可能在柱內(nèi)（或柱外）做周期性運(yùn)動(dòng)，有較強(qiáng)的規(guī)律性，多解的可能性大，容易出現(xiàn)漏解的情況。

下面的問題是三個(gè)平行界面構(gòu)建了兩種磁場(chǎng)空間，要求帶電粒子穿過磁場(chǎng)的速度值。在其他條件一定時(shí)，帶電粒子的軌跡半徑與其速率成正比，半徑越大通過的可能越大，所以通常是求速度的最小值。

【問題2】如圖3所示，3條足夠長(zhǎng)的平行虛線（界面與紙面的交線）a、b、c，ab間和bc間相距分別為2L和L，ab間和bc間都有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B和2B。質(zhì)量為m，帶電量為q的粒子沿垂直于界面a的方向射入磁場(chǎng)區(qū)域，不計(jì)重力，為使粒子能從界面c射出磁場(chǎng)，粒子的初速度大小應(yīng)滿足什么條件？

解析（略）

答案：速度大于4BqLm。

通常解決這類問題要利用好四點(diǎn)：其一，若帶電粒子的初速度與邊界垂直，則其軌跡圓心就在該邊界上;其二，帶電粒子在通過中間界面時(shí)軌跡半徑要變化，但在軌跡與界面交點(diǎn)處的軌跡半徑是共線的;其三，能否穿越界面的臨界值是軌跡與界面相切時(shí)對(duì)應(yīng)的值，切點(diǎn)對(duì)應(yīng)的半徑與界面垂直;其四，畫出軌跡示意圖，找出圖中的直角三角形，利用直角三角形邊與角的關(guān)系列方程求解。

二、 圓柱面邊界

圓柱界面的問題也不少，可分為單一界面和同軸多面兩種情況。這類問題的幾何關(guān)系其實(shí)是圓和圓相交的關(guān)系，帶電粒子的軌跡是圓，圓柱面與紙面的交線也是圓（稱為磁場(chǎng)區(qū)域圓）。

（一）單一界面

這類問題大致可分為三種情況。第一種，帶電粒子自磁場(chǎng)區(qū)域外射入磁場(chǎng)，射入時(shí)速度線過區(qū)域圓心;第二種，帶電粒子自磁場(chǎng)區(qū)域外射入磁場(chǎng)，射入時(shí)速度線不過區(qū)域圓心;第三種，帶電粒子自區(qū)域圓心沿某半徑方向開始運(yùn)動(dòng)。不論哪種情況都要根據(jù)題設(shè)條件尋找?guī)缀侮P(guān)系，最終找到初、末兩條速度線與軌跡半徑構(gòu)成的四邊形。第一種情況的兩條速度線與區(qū)域半徑重合，這一四邊形的特征、性質(zhì)及其運(yùn)用較為簡(jiǎn)單，不再贅述。第二種情況和第三種情況的問題解法有較多的相似之處，下面就第二種情況舉一例。

【問題3】在直徑為d的圓柱區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于圓面指向紙外。一電荷量為q，質(zhì)量為m的粒子，從磁場(chǎng)區(qū)域的一條直徑AC上的A點(diǎn)射入磁場(chǎng)，其速度大小為v0，方向與AC成α。若此粒子從磁場(chǎng)區(qū)域圓周上D點(diǎn)離開，AD與AC的夾角為β，如圖4所示。求該勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度B的大小。

解析（略）

答案：B=2mv0sin（α+β）qdcosβ

這類問題的共同點(diǎn)是兩圓交點(diǎn)與圓心構(gòu)成四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，且一條對(duì)角線被另一條平分，因而可找到許多相似直角三角形，可利用的幾何關(guān)系和三角函數(shù)關(guān)系非常多，能列出的方程式也很多。

（二）同軸多面

同軸多面的問題，多是帶電粒子進(jìn)出磁場(chǎng)時(shí)速度線過軸線，若帶電粒子由內(nèi)向外運(yùn)動(dòng)在磁場(chǎng)區(qū)域的軌跡為優(yōu)弧，相反則為劣弧，解答時(shí)把握好這一特點(diǎn)，就能描出正確的軌跡，找到解題思路，順利解決問題。下面是一個(gè)帶電粒子由內(nèi)向外運(yùn)動(dòng)的問題。

【問題4】在受控?zé)岷司圩兎磻?yīng)的裝置中溫度極高，因而帶電粒子沒有通常意義上的容器可裝，而是由磁場(chǎng)將帶電粒子的運(yùn)動(dòng)束縛在某個(gè)區(qū)域內(nèi)?，F(xiàn)有一個(gè)環(huán)形區(qū)域，如圖5所示，其截面內(nèi)圓半徑R1=33m，外圓半徑R2=1.0m，區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。已知磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.0T，被束縛帶正電粒子的荷質(zhì)比為qm=4.0×107C/kg，不計(jì)帶電粒子的重力和它們之間的相互作用。

（1）若中空區(qū)域中的帶電粒子由O點(diǎn)沿環(huán)的半徑方向射入磁場(chǎng)，求帶電粒子不能穿越磁場(chǎng)外邊界的最大速度v0。

（2）若中空區(qū)域中的帶電粒子以（1）中的最大速度v0沿圓環(huán)半徑方向射入磁場(chǎng)，求帶電粒子從剛進(jìn)入磁場(chǎng)某點(diǎn)開始到第一次回到該點(diǎn)所需要的時(shí)間。

解析（略）

答案：（1）v0=1.33×107m/s;（2）t=t1+t2=5.74×10-7s

本題是一與生產(chǎn)生活實(shí)際相聯(lián)系的問題，解答本題既能提升學(xué)生能力，又能增長(zhǎng)學(xué)生的科普知識(shí)。關(guān)于核輻射學(xué)生早有耳聞，但對(duì)于防止核反應(yīng)堆輻射的措施和核輻射的種類學(xué)生了解不多，本題中的防輻射原理適用于帶電粒子，不帶電的輻射成分，需要用其他措施來(lái)防止。另外，地磁場(chǎng)對(duì)宇宙射線的屏障作用的原理與本題相同，不同的是宇宙射線是由外向內(nèi)運(yùn)動(dòng)，地磁屏障層近似于一個(gè)厚壁球殼，地球位于球殼內(nèi)部。

總之，帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，雖然題型變化多端，問題的表述篇幅較長(zhǎng)，但通過分類解答，可以從中看出解答每類問題的一般步驟和關(guān)鍵所在，觸類旁通，以后遇到其他問題就容易找到解題的切入點(diǎn)，使解題變得簡(jiǎn)單快捷。

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作者簡(jiǎn)介：

王勇杰，甘肅省酒泉市，甘肅省金塔縣中學(xué)。