對解析幾何問題常用思想方法的小結

王淵

[摘? 要] 解析幾何的相關知識是聯通代數和幾何的橋梁，為解決許多重要數學問題提供了新穎的視角和解決方案，解析幾何類問題往往能夠綜合考查學生的理解、轉化、聯想、歸納等重要數學能力，反映學生的核心數學素養，因此在各類模擬考試以及高考中占據了很大的分值. 解析幾何問題是一類對于學生來說較有難度且容易失分的題. 文章以一道具體的拋物線問題為例，對該類問題的常用解決方法做一個簡單的小結.

[關鍵詞] 解析幾何;最值與范圍問題;拋物線;函數思想

解析幾何的相關知識是聯通代數和幾何的橋梁，是高中數學知識模塊中不可或缺的重要部分，它從代數的視角解析幾何關系，也用幾何的形式反映了代數關系，為解決許多重要數學問題提供了新穎的視角和解決方案. 解析幾何類問題往往能夠綜合考查學生的理解、轉化、聯想、歸納等重要數學能力，反映學生的核心數學素養，因此在各類模擬考試以及高考中占據了很大的分值.解析幾何問題由于知識綜合性強、方法靈活度高以及計算量大，是一類對于學生來說較有難度且容易失分的題，學生在平時練習中暴露出來的問題（除了計算錯誤）主要是難以找到合適的切入點. 對此筆者認為，通過做大量習題來熟悉思路的方法固然可行，但絕不是最高效的選擇，因為這會浪費大量熟悉情境的時間，也不利于學生透過現象抓住方法的本質. 筆者采用的是一題N解法教學，通過對經典例題進行深度挖掘，幫助學生打開思路，理解問題和方法的本質. 本文中筆者將會以一道具體的拋物線問題為例，對該類問題的常用解決方法做一個簡單的小結.

問題提出

如圖1所示，已知P（x，y）（x<0），若存在拋物線C：y2=4x上兩點A，B滿足線段PA，PB交拋物線于各自的中點. （1）設點M等分線段AB，試證明PM⊥y軸;（2）若點P的運動軌跡是一個半橢圓x2+=1（x<0），試求S△PAB的可能取值范圍.

問題分析：本題的第一問是關于垂直關系的證明，因有一直線為y軸，故可以間接地通過證明PM與橫軸平行來轉化問題. 第二問是高考中關于解析幾何的熱點題型——最值與范圍問題，這類題型的主要考查點是運算推理能力，基本的思路是根據題目直接提供或者隱含的代數幾何條件構造出對應的函數或不等式，以此約束所研究表達式的范圍.一般來說該類問題的難點體現在變量復雜繁多，例如在幾何問題中涉及的變量會有點的橫縱坐標、直線的相關參數等，如何合理簡化和利用參數關系是解決最值與范圍問題的關鍵所在.

解法一覽

對于第一小問.

方法短評：本方法綜合運用了構造、消元、轉化的函數思想方法，先建立了關于目標量的多元函數關系式，再通過拋物線表達式和聯立式進行消元，將多元表達式轉化為單一變量函數，最后結合自變量范圍給出了面積的取值范圍，這種基于函數思想的方法是解決解析幾何最值與范圍問題的常用手段.

方法2：將y-2yy+8x-y=0與y-2yy+8x-y=0相加可得y+y-2y0（y1+y2）+16x0-2y=0，即（y1+y2）2-2y1y2-2y0（y1+y2）=2y-16x0. 代入y1+y2=2y0可得y1y2=8x0-y，接下來的做法同第一種方法.

問題改編

對本題的第一小問進行改編，還可以得到新的結論，教師可以在講解完第一小問的方法后將本題作為練習檢驗學生的掌握情況，并幫助他們及時鞏固相關的思想方法.

所以可得切線的解析式為2x-y1y+=0，同理可得lBG：2x-y2y+=0，聯立兩個切線方程可得yG==yM，所以GM∥x軸，即GM⊥y軸，即證.