基于核心素養的主題單元教學研究

劉永剛

【摘?要】教師可以以“問題串”的形式指導學生借助三角函數定義及圓的對稱性得出π+α，π-α及-α與α的三角函數值之間的關系，采用獨立探究和小組討論相結合的方式得出結論。滲透特殊到一般，類比以及數形結合的思想方法，力求發展和提升學生的數學抽象、直觀想象、邏輯推理和數學運算等核心素養。

【關鍵詞】銳角;單位圓;誘導公式

【教學片段1】提出問題?引發思考

問題1：利用三角函數的定義計算π6和7π6，π4和5π4，π3和4π3三角函數值，觀察它們相應的同名三角函數值之間存在什么關系？為什么會出現這樣的結果？

追問：對任意角α，π+α的三角函數值也會滿足“tan值相等，cos值和sin值互為相反數”嗎？請說明理由。

教師首先引導學生回顧三角函數的定義，計算π6和7π6，π4和5π4，π3和4π3三角函數值并觀察它們相應三角函數值之間的關系，然后引導學生思考其本質進而推廣到對于任意角α，π+α的終邊必定與其關于原點對稱，所以兩個角與單位圓的交點必定關于原點對稱，進而總結概括出公式二：對于任意角α，都有sin（π+α）=-sin α，cos（π+α）=-cos α，tan（π+α）=tan α。

這個過程中學生不難看出π6和7π6，π4和5π4，π3和4π3的終邊關于原點對稱，但推廣到任意角α和π+α，有些學生就可能看不出來，教師可通過回顧角的定義引導學生畫圖幫助學生理解，以培養學生的直觀想象素養。

誘導公式本質是圓的對稱性的代數表示，教師教學過程中應讓學生感受到這一本質，突顯出圓的對稱性在解決問題中的重要作用，從而使學生深刻理解公式，并且能夠有效地發展直觀想象的核心素養，同時為探究后續誘導公式提供了方向和思維基礎。

【教學片段2】總結反思?合作探究

教師和學生一起回顧總結誘導公式二的推導所經歷的思維過程，首先研究角的代數關系，再研究角的終邊的對稱關系，進而得出角的終邊與單位圓交點坐標關系，最后得出函數關系。

問題2：類比公式二，思考角α與角-α（α為任意角）終邊的關系，并探究它們對應的同名三角函數的關系，并說明理由。

教師引導學生類比公式二的推導過程，通過畫圖借助角的旋轉定義得出角α與角-α終邊必定關于x軸對稱，所以兩個角與單位圓的交點必定關于x軸對稱，進而得出公式三：sin（-α）=-sin α，cos（-α）=cos α，tan（-α）=-tan α。

任意角α與-α的終邊的位置關系比較簡單，推導出公式三并不難，過程中教師應引導學生體會用數形結合和類比的思想來解決問題，養成及時回顧總結，及時反思的良好學習習慣。

【教學片段3】 類比探究?獨立推導

問題3：類比公式二和三，思考角α與角π-α（α為任意角）終邊的關系，并探究它們對應的同名三角函數的關系，并說明理由。

角α與角π-α終邊的位置關系對很多學生來說比較困難，教師引導學生由角-α與角π-α終邊的位置關系突破，進而總結概括出公式四：sin（π-α）=sin α，cos（π-α）=-cos α，tan（π-α）=-tan α。

公式四的推導應引導學生獨立完成，并鼓勵學生大膽上臺展示.發展學生數學學科核心素養關鍵在于學生能夠自己發現問題，培養和提升獨立探究問題的意識和獨立解決問題的能力，而這種獨立性意識和能力是靠學生在實踐操作中不斷摸索、感悟和積累的。

通過問題串的形式，學生在教師的引領下推導出公式二，師生及時總結概括，學生合作探究推導出公式三，學生類比公式二、三推導過程，獨立完成公式四的推導。新課講授過程讓學生從具體角的三角函數值猜想公式，再結合圖形利用圓的對稱性對猜想進行驗證，培養學生嚴謹的治學態度。學生的認識經歷從特殊到抽象，由感性到理性、由圖形特征到文字語言表述再到數學符號語言表述的過程，數學抽象、直觀想象和邏輯推理等核心素養得到逐步提升。

【教學片段4】公式應用 鞏固新知

課堂測試：1.利用公式求下列三角函數值：

（1）cos 225°;（2）sin8π3;（3）sin-116π3;（4）tan（-2040°）。

2。化簡cos（180°+α）sin（α+360°）

tan（-α-180°）cos（-180°-α）。

3。（1）已知sinπ3+α=-12，求sinα-π3的值.

（2）已知cosπ6+α=33，求cos7π+α6的值.

引導學生分析運算對象，選擇運算公式和運算方向，計算并判斷問題結果等環節。然后教師引導總結反思計算和化簡的過程，概括運用誘導公式計算化簡的一般步驟：負化正，大化小，化到銳角為終了。通過這個過程逐步提升學生的數學運算、邏輯推理和數學抽象等核心素養。

本課教學過程是從具體到抽象，再由抽象到具體，重點研究了終邊分別關于原點、x軸、y軸對稱的兩個角的三角函數之間的關系，從而得到了三組三角公式，并通過例題的研究學習，將抽象的公式應用于具體的問題中，同時又總結出了化簡計算任意角三角函數的一般步驟。整節課始終力求發展和提升學生的數學抽象、直觀想象、數學運算和邏輯推理等核心素養。

參考文獻：

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