機載MIMO雷達發射波形和接收濾波器組聯合穩健設計方法

童日武，張劍云，周青松

(國防科技大學電子對抗學院，安徽 合肥 230037)

0 引言

機載雷達在下視工作時將面臨強地雜波的干擾，傳統的雜波抑制方法為空時自適應處理(STAP)，但機載雷達往往工作在復雜多變的惡劣環境下，此時僅僅通過接收端處理難以有效抑制雜波，而結合發射端對雷達發射波形進行設計[1]則能夠進一步提高雷達對地面動目標的檢測性能。

已有的公開文獻中對機載MIMO雷達波形設計的研究主要都是基于精確已知的目標先驗信息(包括角度信息和多普勒頻率信息)。文獻[2—4]研究了假設在目標先驗信息均已知條件下的機載MIMO雷達波形設計，該假設對于雷達進行檢測處理確認或者對已知目標跟蹤時是合理的，但是當雷達工作在搜索模式時則不再適用，因為此時目標的先驗信息未知，其信息失配會造成嚴重的信干噪比(SINR)損失。另外目前的文獻中對于雷達的穩健波形設計均沒有針對機載MIMO雷達的特點加以研究。文獻[5—6]研究了在目標多普勒頻率信息缺乏時的單輸入單輸出雷達(SISO)的穩健波形設計，文獻[5]是基于單濾波器的穩健波形設計，文獻[6]則是基于濾波器組的穩健波形設計。文獻[7—9]研究了在目標角度信息缺乏時的MIMO雷達基于單濾波器的穩健波形設計。

另一方面，文獻[6]提出使用廣義分式規劃方法求解優化問題的解，但該算法只適用于能量約束和相似性約束條件下的優化模型，當考慮其他約束條件如峰均比約束時則不再適用，并且該算法具有較高的運算復雜度，需要消耗較多的運算時間，在數據維度較小的SISO雷達系統中尚可接受，但是在數據維度很高的機載MIMO雷達系統中其消耗的運算時間急劇上升，無法滿足波形設計的實時性要求。針對上述問題，本文提出了在雜波環境下目標角度信息和多普勒頻率信息均未知時的機載MIMO雷達發射波形和接收濾波器組聯合穩健性設計方法。

1 系統模型

考慮集中式機載MIMO雷達，具有NT個發射陣元和NR個接收陣元。雷達平臺勻速直線運動，速度為v，無偏航。在一個相干處理間隔內發射M組脈沖信號，脈沖重復周期為恒定值T，波長為λ，其發射波形矩陣為ST∈NT×L，L表示每個陣元發射波形的采樣點個數。

對于目標而言，其對應于第m個脈沖(m=1,2,…,M)的接收信號經過下變頻和基帶采樣后可表示為：

(1)

(2)

(3)

將Yt,m向量化，則有：

yt,m=vec(Yt,m)=

(4)

其中,

(5)

式(4)、式(5)中，IL表示L×L的單位陣，s=vec(S)且s∈NTL×1，?表示克羅內克積。

(6)

其中，

(7)

式(6)、式(7)中，p(f0)=[1,ej2πf0,…,ej2π(M-1)f0]T表示歸一化多普勒頻率為f0的時間導向矢量。為方便起見，使用A0來表示A(f0,θ0)。

對于雜波信號，如圖1所示，將雜波分為2R+1個等距離環，每個距離環分為Nc個雜波塊，雜波信號可表示為所有雜波塊信號的疊加[3]。

圖1 雜波距離環Fig.1 Clutter range cells

類似于目標信號，位于第r(r=0,±1,…,±R,r=0表示目標所在距離環；r>0表示目標后面距離環；r<0表示目標前面距離環)個距離環中的第k(k=1,2,…,Nc)個雜波塊的回波信號表示為：

αc,r,kA(r,fc,r,k,θc,r,k)s

(8)

式(8)中,

(9)

Jr∈L×L表示轉移矩陣[10]，定義如下：

(10)

由以上可得雜波信號表示為：

(11)

雷達接收機接收到的總信號為目標信號、雜波信號以及內部噪聲之和，表示為：

y=yt+yc+n=

(12)

2 設計方法

2.1 設計準則

本節考慮在目標先驗信息未知時，以最大化最差情況下的SINR為指標，對發射波形和接收濾波器組進行聯合設計。

假設目標角度不確定集為Ω(θ0∈Ω),目標多普勒頻率不確定集為Θ(f0∈Θ)。接收信號y通過一組線性接收濾波器wi,j∈NRLM×1，每個濾波器均調諧到不確定集內第(i,j)個特定的角度和多普勒頻率對上[6]，即i=1,2,…,I;j=1,2,…,J。則對應于第(i,j)個濾波器wi,j的輸出SINRi,j可表示為：

(13)

式(13)中，

(14)

雷達對目標做檢測處理過程如圖2中框圖所示。

圖2 濾波器組處理框圖Fig.2 Block diagram of the filter bank processing

圖2中sinri,j定義為：

(15)

則對于輸入信號y其通過濾波器組后的輸出SINR定義為：

SINR = max1≤i≤I,1≤j≤Jsinri,j

(16)

因此本文中的設計指標是優化最差情況下的輸出SINR，即：

max SINRworst=max min1≤i≤I,1≤j≤JSINRi,j

(17)

2.2 波形約束條件

在實際應用中，發射機發射功率往往恒定，因此需要發射波形的能量恒定，這里假設發射波形具有歸一化能量值，即‖s‖2=1。另外為了得到良好的波形特性(如較低的峰值旁瓣水平，理想的模糊函數)，需要對波形施加相似性約束[11]，即‖s-s0‖2≤δ，0≤δ≤2表示相似性控制程度。s0(‖s0‖2=1)表示已知參考波形，具有理想的波形特性，如線性調頻信號(LFM)。

為了能夠充分利用發射機發射功率，需要對發射波形施加恒模或低峰均比約束[9]，低峰均比約束比恒模約束條件更為寬松，既能保證充分利用發射功率又比恒模約束具有更高的SINR，其表達式如下[12]：

(18)

式(18)中，sn表示波形s的第n個采樣點，當ζ=NTL時，退化為能量約束。當ζ=1時則為恒模約束。

進一步可表示為：

(19)

Φn定義如下：

(20)

綜上可得如下優化問題：

(21)

2.3 求解算法

問題是一個關于s和wi,j的非凸聯合優化問題，一般難以獲得最優解，本文提出了如下循環迭代算法加以求解。

當固定s時，問題等價于如下一系列無約束優化問題：

(22)

式(22)中，

Rcn(s)=Rc(s)+INRLM

(23)

(24)

問題等價于如下著名的MVDR問題：

(25)

其閉式解為[13]：

(26)

將式代入到問題中，經過一番整理后可等價于如下關于s的優化問題：

(27)

問題是一類max-min問題，可等價于如下優化問題：

(28)

式中,

(29)

此時問題中目標函數是一個凸函數，但約束條件是非凸集，下面對約束條件做凸近似處理。

通過以上分析可得在第m次迭代時的優化問題如下：

(30)

觀察可發現sH[Σi,j(sm-1)]s≥t和sHs≥1仍然為非凸集。進一步問題可轉化成如下優化問題：

(31)

式(31)中，εi,j和ε0為輔助變量，u為懲罰項參數，用來平衡原目標函數和輔助懲罰項。當εi,j,ε0→0時，問題的解不斷接近于問題的解，當εi,j,ε0=0時，問題的解同樣為問題的解。又因為Σi,j(sm-1)為半正定矩陣，故對于任意z∈NTL×1, 一定有如下不等式成立：

(s-z)H[Σi,j(sm-1)](s-z)≥0

(32)

展開可得：

sHΣi,j(sm-1)s≥
2Re(zHΣi,j(sm-1)s)-zHΣi,j(sm-1)z

(33)

利用替換sH[Σi,j(sm-1)]s≥t-εi,j可得：

2Re(zHΣi,j(sm-1)s)-zHΣi,j(sm-1)z≥t-εi,j

(34)

此時式(34)為凸集。

同理約束條件sHs≥ 1-ε0可凸近似為：

2Re(zHs)-zHz≥1-ε0

(35)

通過以上凸近似處理后，問題(30)轉化成如下可解的凸優化問題：

(36)

優化問題可通過文獻[14]中FPP-SCA算法求解，其在迭代過程時，初始化z0=sm-1。

本文提出算法總結如下。

輸入：參考波形s0，懲罰項參數u，退出條件η。

輸出：優化解sopt，wi,j。

1)m=0

初始化sm=s0，根據式(23)計算Rcn(s0)，根據式(17)和式(27)計算SINRworst(0)。

2)m=m+1

根據式(23)、式(29)更新Rcn(sm-1)和Σi,j(sm-1)，利用FPP-SCA算法求解優化問題(36)，得到優化波形的解sm，根據式(17)和式(27)計算SINRworst(m)。

3) 重復步驟2)，直到|SINRworst(m)-SINRworst(m-1)|≤η停止。

4) 根據式(23)更新Rcn(s)，根據式(26)計算濾波器組wi,j。

5) 輸出最優波形sopt=sm和濾波器組wi,j。

3 仿真分析

本章提供了具體數值實例證明所提算法的有效性。在實驗中考慮機載MIMO雷達由均勻線性陣列構成，發射陣元個數NT=6,接收陣元個數NR=6,陣元之間間隔均為半波長。發射脈沖數M=6,每個發射陣元發射波形碼長L=16。對于機載平臺而言，其飛行速度v(正側視)和脈沖重復周期T以及波長λ之間關系為4vT/λ=1，即雜波脊斜率β=1。

本文使用正交線性調頻信號作為參考波形SLFM∈NT×L,其第(m,n)個元素的數學表達式如下[15]：

(37)

式(37)中，m=1,2，…,NT；n=1,2,…,L；s0=vec(SLFM)。

以下仿真實驗中凸優化問題均通過CVX 工具箱求解。FPP-SCA算法中懲罰項參數u=100，退出條件設置為ξ=10-3或最大迭代次數為30。本文所提算法退出條件η=10-3。

3.1 本文設計方法有效性評估

峰均比約束ζ=1.5，相似性約束δ=1。目標角度不確定集Ω=[-10°,10°]，均勻采樣步長為2°，目標多普勒頻率不確定集Θ=[0.3,0.5]，均勻采樣步長為0.02。表1給出了具體的采樣數值，由表中數據可以看出共需要有11×11=121個濾波器。

表1 不確定集內離散采樣點

圖3給出了SINRworst隨迭代次數的變化情況，從圖中可以看出SINRworst隨著迭代次數增加呈單調增趨勢，最終達到平穩點。圖3中第0次迭代表示初始化波形s=s0，可以看出經過波形設計后的SINRworst相比較于使用s0作為發射波形時提升了大約4.5 dB，說明了本文提出的方法能夠有效提升最差情況下的SINR。

圖3 SINRworst隨迭代次數變化曲線Fig.3 TheSINRworstversus the number of iterations

圖4給出了在三種不同設計方法下不確定區域內的SINR值分布情況，包括本文提出的方法設計(穩健設計)，濾波器組但未波形設計(使用LFM發射波形)，以及目標先驗信息精確已知條件下的非穩健波形設計(Ω=[0°,0°]，Θ=[0.4,0.4])。從圖中可以看出非穩健設計時在θ0=0°，f0=0.4位置取得最大SINR，且比其他兩種設計方法的SINR值都要大，但在信息失配時會出現嚴重的SINR損失，在整個不確定區域內SINR最多下降至2.31 dB。通過濾波器組設計但發射波形為LFM信號時，不確定區域內各點的SINR穩定在10 dB左右。而通過本文方法設計后不確定區域內各點的SINR穩定在14 dB左右,具有很好的穩健性，并且相比較于使用LFM信號而言SINR有了明顯提升。綜合比較，在先驗信息不確定時本文提出的設計方法具有很好的穩健性，且相比較于其他設計方法SINR能夠穩定保持在一個更為滿意的水平。

圖4 SINR在不確定區域內分布情況Fig.4 Distribution of SINR in uncertain area

3.2 峰均比約束和相似性約束的影響

本節分別給出了在不同峰均比約束條件下以及不同相似性約束條件下SINRworst的變化情況。其他仿真條件均和先前仿真條件相同。

圖 5給出了在峰均比約束ζ=1.5，相似性約束δ=1,0.5,0.3時SINRworst隨迭代次數變化情況。從圖中可以看出隨著δ的減小，SINRworst值也在不斷減小，這是由于δ的減小意味著波形s的可行集在不斷減小，從而導致SINRworst值不斷下降。

圖5 不同相似性約束下SINRworst變化曲線Fig.5 TheSINRworstcurves under different similarity constraints

圖 6給出了在相似性約束δ=1，峰均比約束ζ=96,1.5,1(分別表示能量約束，低峰均比約束，恒模約束)時的SINRworst變化曲線。從圖中可以看出由ζ的減小造成的SINRworst損失微乎其微，因此對波形施加低峰均比約束是合理的。

圖7給出了在以上三種不同峰均比約束下的波形幅度。從圖中可以看出隨著ζ的減小，波形幅度的波動范圍在不斷減小，當ζ=1時波形具有恒模特性，說明了本文提出的算法對波形能夠起到峰均比約束的作用。

圖6 不同峰均比約束下SINRworst變化曲線Fig.6 TheSINRworstcurves under different PAR constraints

圖7 不同峰均比約束下的波形幅度變化曲線Fig.7 The waveform amplitude under different PAR constraints

3.3 不確定集對SINRworst的影響

本節評估了不確定集的大小對SINRworst的影響。設角度不確定集Ω=[0°-X,0°+X],多普勒不確定集Θ=[0.5-D,0.5]，其他仿真條件和3.1節中相同。

圖8給出了Θ=[0.3,0.5]時，SINRworst隨X的變化曲線，圖 9給出了Ω=[-10°,10°]時，SINRworst隨D的變化曲線。從圖中可以看出，隨著X或D的不斷增大，SINRworst將不斷減小。這是由于X或D的不斷增大，意味著不確定區域范圍在不斷擴大，反映在空-時二維平面上則是目標區域和雜波的距離越來越接近，這將嚴重影響STAP抑制雜波的性能，從而導致了SINRworst的下降。

圖8 SINRworst隨X的變化曲線Fig.8 TheSINRworstversus X

圖9 SINRworst隨D的變化曲線Fig.9 TheSINRworstversus D

3.4 濾波器個數的影響

本節評估了濾波器組的規模對不確定區域內各點輸出SINR的影響，由于所提方法是在不確定區域內通過采樣有限個離散點后使用有限個濾波器進行匹配，因此濾波器組中的濾波器個數會影響不確定區域內的各點的輸出SINR。

由定義在不確定區域內的點目標(θ0,f0)(θ0∈Ω,f0∈Θ)，其輸出SINR表示為SINR(θ0,f0)，類似文獻[6]中定義“SINR損失比”Loss為：

(38)

為方便起見仿真中設I=J，其他仿真條件均和3.1節中相同。圖10給出了Loss隨濾波器個數I,J的變化曲線，從圖中可以看出隨著濾波器個數的增加，Loss急劇減小且收斂于0，當I=J=5時, Loss下降至0.427 7 dB,當I=J=11時，Loss下降至0.082 0 dB。需要指出的是，濾波器個數的增加雖然能夠獲得較低的Loss值，但同時也增加了優化問題的運算復雜度，需要消耗更多的運算時間，同時在工程實踐中較多的濾波器還增加了成本代價。因此，需要根據實際情況和需求選擇合適的濾波器個數。

圖10 Loss隨濾波器個數變化曲線(I=J)Fig.10 The Loss versus thenumber of filters(I=J)

3.5 與文獻[6]中算法對比

在文獻[6]中研究了SISO雷達場景下目標多普勒信息未知時的穩健波形設計，并使用廣義分式規劃方法求解優化問題的解。然而該算法存在一定局限性，一是該算法僅僅適用于能量約束和相似性約束條件下的優化模型，當考慮其他約束條件如本文所施加的峰均比約束時則不再適用；二是在文獻[6]中已經明確指出該算法消耗的運算時間較多。

下面對本文算法和文獻[6]中算法的性能作了具體比較和分析。仿真中只考慮能量約束和相似性約束，設置δ=1。目標角度不確定集Ω=[-10°,10°]，兩種算法的均勻采樣步長均為5°,則I=5;目標多普勒頻率不確定集Θ=[0.3,0.5]，兩種算法的均勻采樣步長均為0.05，則J=5。(在仿真過程中考慮文獻[6]中算法消耗的運算時間太長對實驗進程造成影響，而選取較長的采樣步長能夠減少濾波器的個數，進一步能夠縮短該算法的運算時間，另外在3.4節中已經分析在此濾波器個數下Loss值很小，故設置角度搜索步長為5°，多普勒頻率搜索步長為0.05)。注意為了公平比較，在本文算法中，峰均比約束條件直接舍棄，而不是設置ζ=96。

表2給出了兩種算法的性能指標，包括SINRworst(dB)和CPU運行時間T(s)。從表中可以看出本文算法的SINRworst值相比較于對比算法要略低0.05 dB，這是完全可以接受的損失，但運算消耗時間要比對比算法縮短將近兩個量級，這對于具有實時性要求的波形設計具有重要的意義，說明了本文所提算法更加具有優勢。

表2 兩種算法性能對比

下面試圖分析兩種算法消耗運算時間差別較大的主要原因。圖 11給出了兩種算法的SINRworst隨迭代次數的變化曲線，從圖中可以看出本文算法收斂速度更快，而對比算法則需要更多次的迭代。另一方面，本文算法只需要在最后求解一次濾波器組wi,j，而對比算法則在每次迭代過程中都需要更新wi,j，增加了運算時間。更重要的是，本文算法求解SOCP時的運算復雜度要比對比算法求解SOCP時的運算復雜度低得多，具體體現在仿真過程中利用CVX工具箱求解本文算法中的SOCP問題時重構成一個具有249個優化變量，29個約束條件的優化問題，而對比算法則重構成一個具有5 246個優化變量，220個約束條件的優化問題。

圖11 兩種算法的SINRworst隨迭代次數變化曲線Fig.11 TheSINRworstof two algorithms versus the number of iterations

4 結論

本文提出了機載MIMO雷達發射波形和接收濾波器組聯合穩健性設計方法。該方法以最大化最差情況下的SINR為設計準則，同時對波形施加了能量約束、相似性約束和峰均比約束。并針對這一復雜的非凸聯合優化問題，提出了循環迭代算法加以求解，通過凸近似處理將非凸優化問題轉化為凸優化問題，再通過FPP-SCA算法求解該凸優化問題。仿真結果表明，在目標先驗信息未知時本文設計方法具有穩健性并能夠顯著提升SINR，與現有算法對比具有更低的運算復雜度，且所設計的波形滿足約束條件。