周期信號均值型參數的矩形卷積窗加權測量

陳硯圃，張介秋

(1.西京學院信息工程學院，陜西 西安 710123；2.空軍工程大學基礎部，陜西 西安 710051)

0 引言

周期信號的均值型參數是指其定義中含有一中間周期信號均值項的一類重要參數。如周期信號的有效值和有功功率均為均值型參數，有效值的定義為信號平方(中間周期信號)的均值的平方根，有功功率的定義為電流信號與電壓信號乘積(中間周期信號)的均值。周期信號均值型參數的測量可歸結為求相應中間周期信號的均值問題[1-3]。

用采樣法對周期信號進行分析時一般要求同步采樣并滿足奈奎斯特采樣定理，同步采樣是指對周期信號的截斷時長嚴格等于信號周期以及采樣周期的整倍數。但實際中信號的頻率是時變的(不存在嚴格的周期信號)，而系統的時鐘周期是固定的，因此測量中無法實現信號的等周期截斷和同步采樣，這將導致均值的異步測量誤差[1-2]。針對周期信號的均值型參數，人們已經研究了同步采樣法[4-6]、異步采樣法[7-8]和誤差修正法[9-14]等多種測量方法。其中異步采樣法因無需同步電路且算法簡單而廣為應用。異步采樣法雖然截斷時長不能恰好覆蓋整倍數個信號周期，但通過適當選擇窗函數對信號加權后可實現對異步誤差的有效抑制。根據實際需要，人們已經構建了大量的窗函數用于信號分析[15-20]。但現有的窗函數在構建時并未充分考慮周期信號的特點，用于周期信號參數測量分析時尚需具體的誤差公式。

本文始于周期信號的逐次平均，且把逐次平均的中間結果視為相同周期的信號，深入研究周期信號均值型參數的矩形卷積窗加權測量，給出測量誤差公式和應用條件，并與典型窗加權測量的性能進行比較。

1 周期信號均值型參數的逐次平均與矩形卷積窗加權測量

1.1 周期信號的均值

實際中準周期信號的周期通常是時變的，但在一小段時間內仍可近似為周期信號，故文中仍假設所分析的信號是周期信號。設g(t)為周期為T、均值為A的周期信號，其均值可以在以時間t為中心的一個周期內對信號求平均給出：

(1)

但在實際中通常無法得到嚴格的周期T，只能用其預估值T0代入式(1)對均值A進行測量：

(2)

由于不是嚴格地在一個周期內求平均，用上式對A進行測量一般存在誤差，而且是時間的函數。

1.2 逐次平均與矩形卷積窗加權

A1(t)也是周期為T的周期信號，而且是g(t)均值的無偏測量(見后)。因此，為了進一步提高均值的測量精度可以繼續用A1(t)替代式(2)中的g(t)求平均得到A2(t)，以此類推逐次進行求平均，得均值的p次平均測量為：

(3)

這是一個迭代過程，迭代次數p越大，均值測量的精度就越高[1-2]。

如果直接用以上逐次平均法測量周期信號的均值，需要反復對各中間測量結果求平均，計算量大，為此須進一步研究相應的等效算法。由于式(2)是在有限區間[t-T0/2，t+T0/2]上的積分，自然可以寫為基于窗函數的加權表示：

(4)

其中，

(5)

(6)

式(4)—式(6)中，r1(t)為單位寬度、單位面積的歸一化矩形窗函數，w1(t)為寬度為T0、面積為1的矩形窗函數。二者均為偶函數，式(4)可以寫為：

(7)

值得注意的是，上式正是標準的卷積形式：

(8)

同樣式(3)可以寫為：

Ap-1(t)*w1(t)=Ap-2(t)*w1(t)*w1(t)=

(9)

因此有：

(10)

(11)

這清楚地表明，周期信號均值的p次平均測量恰好等價于基于窗函數的直接加權測量，該窗函數稱為p階矩形卷積窗，它由式( 11)所示的p個矩形窗函數的相互卷積給出。

p階矩形卷積窗與歸一化矩形卷積窗滿足以下關系:

(12)

(13)

式(13)中，rp(t)稱為p階歸一化矩形卷積窗。

只要有p階矩形卷積窗的具體形式，則通過窗函數查表與信號加權即可直接計算出周期信號均值參數，無需逐次迭代因而計算簡單高效。工程中，基于2～4階矩形卷積窗對周期信號的加權測量即可滿足不同的精度要求。

對式(6)給出的1階歸一化矩形窗進行互卷積[12]，得2～4階歸一化矩形卷積窗的解析式:

(14)

(15)

(16)

可以看出p階歸一化矩形卷積窗的窗寬為p，特別是p=2時的矩形卷積窗為三角函數。圖1分別給出了1階(點線)、2階(點劃線)、3階(劃線)和4階(實線)歸一化矩形窗。預估周期為T0的p階矩形卷積窗由式(12)給出，相應的窗寬為pT0。

圖1 1～4階歸一化矩形卷積窗Fig.1 Plots of the first four normalized rectangular convolution windows

2 周期信號均值型參數窗函數加權測量的性能分析

2.1 周期信號矩形卷積窗加權均值測量誤差

設周期信號g(t)所含諧波的最高次數為K，其正弦級數展開式為：

(17)

代入式(2)，均值A的1次均值測量為:

(18)

其誤差對應各高次諧波的線性迭加，隨時間變化的均值為0，所以1次平均測量A1(t)為均值A的為無偏測量。當T0等于T時，sinc函數的值為0，均值測量不存在誤差。另外由于sinc函數的絕對值小于1，即便T0不等于T，平均測量對各次諧波均能起到抑制作用。

可以看出，1次平均的效果相當于用sinc(kT0/T)分別對各高次諧波進行衰減。為了進一步提高均值的測量精度可以繼續用A1(t)替代式(2)中的g(t)求平均得到A2(t)，以此類推進行逐次平均，均值的p次平均測量為:

(19)

由于周期信號均值的p次平均測量與p階矩形卷積窗加權測量相等，上式也即周期信號均值的p階矩形卷積窗加權測量的結果，且與A1(t)一樣也是均值A的為無偏測量。

式(11)表明p階矩形卷積窗可視為由p個窗寬為T0的相同矩形窗的相互卷積，其窗寬為pT0。為了對照不同的窗函數對周期信號均值的加權測量效果，一個基本前提條件就是它們應具有相同的窗寬。為此引入周期信號的歸一化窗寬ρ，它表示窗寬與信號周期T的比值，則式(19)可以寫為:

(20)

其中,

αpk=sincp(kρ/p)

(21)

式(21)中，αpk為k次諧波的傳遞系數，它是歸一化窗寬ρ和諧波階次k的函數。t時刻周期信號均值的測量誤差由式(20)的第2項給出:

(22)

誤差隨時間起伏變化，相應的標準差為:

(23)

由式(22)和式(23)可以看出，各傳遞系數集中體現了均值的測量誤差，因而非常適合對矩形卷積窗加權均值測量的性能進行分析。

圖2(a)—(d)分別為1～4次諧波時，1～4階矩形卷積窗對應的傳遞系數與歸一化窗寬ρ的關系。對1階矩形卷積窗(點線)，在ρ為整數處，所有諧波的傳遞系數均為0；對2階矩形卷積窗(點劃線)，在ρ為2的整數倍處，所有諧波的傳遞系數均為0；對3階矩形卷積窗(劃線)，在ρ為3的整數倍處，所有諧波的傳遞系數均為0；對4階矩形卷積窗(實線)，在ρ為4的整數倍處，所有諧波的傳遞系數均為0。也就是說，對p階矩形卷積窗，在ρ為p的整倍數處，即當窗寬為p個信號周期的整倍數時，所有諧波的傳遞系數均為0，均值的加權測量無誤差。

應用中一方面要減小周期信號均值的測量誤差，同時還要提高信號分析的時效性，為此p階矩形卷積窗的窗寬總是取為等于或盡可能接近p個信號周期。

圖2 諧波傳遞系數與矩形卷積窗歸一化窗寬Fig.2 The harmonic transfer coefficients vs. the normalized width of rectangular convolution window

2.2 周期信號矩形卷積窗與典型窗加權均值測量比較

當p階矩形卷積窗的窗寬等于p個信號周期時，均值測量誤差為0。但由于信號周期是變化的，同時系統的時鐘周期又是常數，因而實際中矩形卷積窗的寬度難以恰好取為信號周期的整數倍，這就帶來均值的異步測量誤差。為了表現加窗過程中的這種時間不同步，引入相對頻偏:

ν=(f-f0)/f0=(T0-T)/T

(24)

當p階矩形卷積窗的窗寬等于pT0時，則各次諧波的傳遞系數可表示為:

(25)

當相對頻偏ν非常接近0時，上式近似為:

(26)

均值測量的誤差也可用Ap(t)的標準差描述:

(27)

可見，周期信號均值的p階矩形卷積窗加權測量的誤差近似與相對頻偏的p次方成正比。因此基于矩形卷積窗對周期信號進行加權可以有效降低均值的測量誤差，矩形卷積窗的階次越高、相對頻偏越小效果越明顯。圖3為基于式(25)給出的矩形卷積窗(自上向下的點線、點劃線、劃線和實線分別對應1階、2階、3階和4階矩形卷積窗)的窗寬在接近pT0時，基波傳遞系數的幅值與相對頻偏ν(-2.5%～2.5%)的關系。實際上，由式(26)可知當相對頻偏很小時諧波傳遞系數的幅值與諧波的次數近似無關。

圖3 諧波傳遞系數與相對頻偏的關系Fig.3 The harmonic transfer coefficients vs. the relative frequency deviation

加窗是對信號進行頻譜分析的常用方法，針對不同用途人們已經提出了各種形式的窗函數。這些窗函數自然也可以用于周期信號的均值測量。通過比較卷積窗函數與其他窗函數對周期信號加權后的諧波傳遞系數，評價各窗函數對周期信號加權均值測量的性能。我們對各個典型窗函數[7-8]通過數值計算進行了測試，結果表明在相對頻偏很小時矩形卷積窗的傳遞系數明顯小于同寬的其他窗的傳遞系數。圖4為p階(2～4階)矩形卷積窗與同屬p個周期窗寬的典型窗函數加權后基波(左圖)和3次諧波(右圖)的傳遞系數與相對頻偏的關系。(a)和(b)分別對應2階矩形卷積窗(實線)與同屬2周期窗寬的Hann窗(點線)和Hamming窗(劃線)；(c)和(d)分別對應3階矩形卷積窗(實線)與同屬3周期窗寬的3項Ⅰ類Rife-Vincent窗(點線)和3項最小Nuttall窗(劃線)；(e)和(f)分別對應4階矩形卷積窗(實線)與同屬4周期窗寬的4項Ⅰ類Rife-Vincent窗(點線)和4項最小Nuttall窗(劃線)。在幾個子圖中，當|ν|<2%時矩形卷積窗(實線)對應的諧波傳遞系數的幅值最小，且當ν趨于0時矩形卷積窗對應的幅值遠小于其他窗對應的諧波傳遞系數的幅值。

圖4 矩形卷積窗與典型同寬窗函數加權后基波和3次諧波的傳遞系數與相對頻偏的關系Fig.4 The transfer coefficients vs. the relative frequency deviation by weighting rectangular convolution windows and other typical windows

3 正弦信號有效值的矩形卷積窗加權測量

以正弦信號有效值的測量為例，說明矩形卷積窗加權求均值的有效性。設正弦信號為:

(28)

式(28)中,U為交流信號的真有效值。取上式平方后信號為中間信號:

(29)

該信號同樣是周期信號，其均值的平方根即為正弦信號的有效值。由式(10)，u2(t)均值的p階矩形卷積窗(窗寬為pT0)加權測量為：

(30)

而有效值的p階測量為：

(31)

由式(20)，有效值平方的均值為：

(32)

當相對頻偏很小，上式中的第二項遠小于第一項，故交流電壓信號有效值的測量為：

(33)

該有效值測量的標準差為：

(34)

實際中對信號的采樣應滿足采樣定理，對信號頻率的預估應盡可能接近實際周期。為了進一步驗證理論的有效性，通過式(30)對式(28)給出的信號進行數值計算。其中信號在一個預估周期內的采樣點數為50，信號的相對頻偏取值范圍為-2.5%～2.5%。圖5中自上而下分別為1階、2階、3階和4階矩形卷積窗加權有效值測量的相對誤差，實線為理論值，“+”為數值計算的結果，二者非常吻合。隨著矩形卷積窗階數的提高，有效值加權測量的相對誤差迅速下降。如相對頻偏為1%時，1階、2階、3階和4階矩形卷積窗有效值加權測量相對誤差的數量級分別為10-2，10-4，10-6，10-8的數量級。

圖5 有效值測量的相對誤差與相對頻偏的關系Fig.5 The relative errors of RMS measurement with the relative frequency deviation

4 結論

本文始于可有效抑制周期信號均值測量異步誤差的逐次平均思想，導出了在理論上與逐次平均等價的周期信號均值型參數的矩形卷積窗加權測量方法。借助諧波傳遞系數定量分析了矩形卷積窗加權測量的誤差，明確了其應用條件。周期信號均值型參數的矩形卷積窗加權測量誤差隨矩形卷積窗階次的提高呈指數下降，通過與相同周期窗寬的窗函數進行比較表明，周期信號均值型參數的矩形卷積窗加權測量在測量精度上具有顯著優勢。基于2～4階矩形卷積窗對有效值的加權測量進行了理論分析和數值計算，驗證了周期信號均值型參數矩形卷積窗加權測量理論的正確性和有效性。