均勻帶電正方形平面中心軸線上電場的計算

趙亞運，李方犁

(廣東理工學院，廣東 肇慶 526100)

1 引言

求均勻帶電體電場強度的分布是大學物理中靜電場的重要部分，通常用直接積分或高斯定理的方法來解答。求均勻帶電圓盤中心軸線上的電場強度是大學物理中特別經典的例題，對其熟練的掌握和理解不僅是物理思維的體現也是高數計算能力的展示，近些年對其相關的研究已有多種方法和文獻[1-4]。在大學物理教材中，不同思路處理題目往往有不同解法，但很多時候由于計算復雜等問題限制了學生思維的發散能力，并固化教師教學講題視角。而Mathematic 作為一款功能強大的數學軟件，在計算、畫圖和語言編程等方面都有很好的應用，是目前使用最廣泛的數學軟件之一。其簡單方便和易操作性，在大學物理的教學研究中有非常好的應用前景[5-8]，可有效避免大學物理中思維的局限性；特別是在圖形繪制如畫波函數、質點運動圖形和干涉衍射圖樣以及積分計算方面和大學物理有很高的契合度，可以有效地處理物理中的問題，降低學生物理學習的門檻。因此，在均勻帶電圓盤和正方形線框中心軸線上電場求解的基礎上，本文結合Mathematic 軟件的繪圖和積分計算能力，用三種思路方法求解面密度為σ，邊長為2d的均勻帶電正方形平面中心軸線上距離為a處P點的電場強度。

2 計算均勻帶電正方形平面中心軸線上電場強度的三種方法

2.1 點電荷電場強度矢量疊加法

第一種方法，將均勻帶電正方形看作是無數連續點電荷組成，因此中心軸線上P 點的電場即為這些點電荷在P 點電場強度的矢量和。首先建立一個三維空間的直角坐標系，讓正方形位于XOY 平面如圖1 所示，則中心軸線沿Z 軸方向。在X 軸、Y 軸上取微元dx、dy，將Q 處dx與dy所圍微元面ds看作點電荷dq，則

圖1 XOY 平面

令PQ=r，則dq在P 點的電場強度

根據正方形平面關于X 軸和Y 軸對稱性可知平面在P 點的電場強度沿Z 軸方向，則EP為每個點電荷在P 點沿Z 軸方向分量的矢量和如圖2。若∠OPQ=θ，則P 點的電場dEP=4·dE·cosθ。因為，則

圖2 每個點電荷Q 在P 點沿Z軸方向分量的矢量和

利用Mathematic 軟件對積分部分計算，輸入：Integrate[(x^2+y^2+a^2)^(-3/2),{x,0,d},{y,0,d}]，考慮到d大于零，輸出如圖3：，則

圖3 Mathematica 程序

即為均勻帶電正方形平面在中心軸線距離為a處P 點的電場強度大小，方向沿Z 軸方向。

2.2 均勻帶電直線電場強度矢量疊加法

第二種方法，將均勻帶電正方形平面看作是無數連續帶電直導線組成，因此中心軸線上P 點的電場即為這些連續均勻帶電直導線在P 點電場強度的矢量和。如圖4，將正方形平面置于三維直角平面坐標系中，在X 軸上x 處的C 點取寬為dx，長為AB（與Y 軸平行，大小為2d）的矩形微元面ds（ds=2d·dx），將其看為一均勻帶電直導線，則AB 的線密度λ=σds·2d=σ·dx。根據對稱性可知，P 點位于AB 中垂線上，則P 點的電場強度是無數連續與Y 軸平行的均勻帶電直導線在中垂線上P 點的電場強度在Z 軸上分量的矢量和。根據大學物理教材中均勻帶電直導線外某點的通用公式：

圖4 三維直角平面坐標系

令PC=r則AB 在P 點的電場強度：

故正方形平面在P 點場強：

利用Mathematic 軟件計算積分部分結果如圖5，則，沿Z 軸方向。

圖5 Mathematica 程序

2.3 均勻帶電線框電場強度矢量疊加法

第三種方法，將均勻帶電正方形平面看作是連續帶電正方形線框組成，因此中心軸線上P 點的電場即為連續均勻帶電正方形線框在P 點電場強度的矢量和。首先要計算一個電量為q，邊長2c的均勻帶電正方形線框在中心軸線距離為n的P 點電場強度，如圖6 根據對稱性可知線框在P 點電場強度是每條邊在P 點場強于Z 軸方向分量的矢量和。結合均勻帶電直導線外某點的通用公式計算可得：

圖6 示意圖

沿Z 軸方向。利用和均勻帶電圓環軸線電場到圓盤軸線電場求解相同方法，則均勻帶電正方形平面在P 點的電場強度大小：

利用Mathematic 軟件計算積分部分結果如圖7,令a＞0 化簡得：

圖7 Mathematica 程序

Mathematic 軟件可以通過輸入指令方便快捷的得到函數曲線圖以及三維曲面圖等，但本文主要用到的是其自帶的圖形繪圖功能繪制了一些簡單圖形，如圖1、2、4 和6；另外是對其積分和雙重積分計算功能的應用，如圖3、5 和7。

3 計算結果的驗證

三種方法都算出邊長為2d的均勻帶電正方形平面在中心軸線距離a處P 點的電場強度為：。當a→+∞時，EP=0，此時正方形平面可視為點電荷，在無窮遠處電場強度為0，與理論相符合；當d→+∞時，，此時正方形平面為無限大均勻帶電平面，電場分布與理論值相一致。

4 結論

本文通過Mathematic 軟件的繪圖和計算功能，用點、直線和線框三種思路求解出均勻帶電正方形線框中心軸線上某點電場強度；計算結果都相同，并與理論極限條件結論相一致，可以用于豐富教材案例。基于文中Mathematic 軟件的使用，它不僅可以拓展大學物理中解題的思路，也可以為該軟件在大物中的應用提供實例參考，甚至為教師教學提供新方向。