優化問題結構 引領深度學習
——《多邊形的內角和》教學

【教學內容】

蘇教版四年級下冊第96、97頁。

【核心問題】

多邊形的內角和與邊數有什么關系？

【教學準備】

課件、各種多邊形。

【教學過程】

一、設疑引入，激活思維

1.復習回顧。

師：回憶一下，在前面的學習中，我們認識了哪些多邊形？

生：我們認識的多邊形有長方形、正方形、三角形、平行四邊形和梯形。

生：還有五邊形和六邊形等等。

師：（出示三角形）我們已經掌握了三角形的哪些知識？

生：我知道三角形有三條邊、三個角。

生：三角形的內角和是180°。

2.設疑引入。

師：（出示十二邊形）這是一個十二邊形，你知道這個十二邊形的內角和是多少度嗎？看來有點困難，遇到這樣復雜的問題，可以怎么辦呢？

生：可以從簡單想起。

師：今天我們就一起研究多邊形的內角和。（揭示課題）我們從幾邊形開始研究呢？

生：四邊形。

二、小組“合學”，有序探究

1.引發猜想。

師：長方形和正方形都是四邊形，它們的內角和是多少度？

生：長方形和正方形四個角都是直角，所以內角和是90°×4=360°。

師：根據這一特點，你能作出大膽的猜想嗎？

生：我猜想“所有四邊形的內角和都是360°”。

2.“合學”研究。

師：是不是所有四邊形的內角和都是360°呢？需要動手驗證一下。老師為每組準備了不同的四邊形，想想如何驗證？再動手試一試。

師：哪位同學愿意先來匯報你們組的研究結果？

生：我們組研究的是梯形，我先將梯形四個內角標出來，然后將它們撕下再拼在一起（如圖1），正好是一個周角，所以這個梯形的內角和是360°。

生：我是將梯形分成兩個三角形（如圖2），一個三角形的內角和是180°，兩個三角形就是180°×2=360°。

圖1

圖2

追問：為什么要將四邊形分成兩個三角形呢？

生：因為我們已經知道三角形內角和是180°，將四邊形分成兩個三角形，就能算出四邊形內角和的度數。

師：這位同學將四邊形內角和的問題轉化為三角形內角和的問題來解決很巧妙。（板書：轉化）

生：我們組研究的是平行四邊形（如圖3），先用量角器量出四個角的度數，然后將它們相加：65°+115°+65°+115°=360°。

生：我們組研究的是這樣的四邊形（如圖4），除了前面的方法，我還有一種方法，將這個四邊形分成四個三角形，用180°×4=720°，然后減去中間的四個角，所以用720°-360°=360°。

圖3

圖4

生：我不太贊同你的想法，你將四邊形分成四個三角形，如果將這四個三角形繼續分，還會得到八個三角形，這樣就把問題弄復雜了，我認為只要分成兩個三角形就可以了。

3.比較歸納。

歸納：剛才大家用自己的方法研究了不同四邊形的內角和，不管是量、拼還是分，發現四邊形的內角和都是360°。

4.深入探索。

師：五邊形的內角和你還能繼續研究嗎？

（學生動手操作，組內交流，然后組織反饋）

生：我把五邊形分成三個三角形（如圖5），每個三角形的內角和是180°，三個三角形的內角和就用180°×3=540°。

生：我將五邊形分成一個三角形和一個四邊形（如圖6），用180°+360°可以算出五邊形的內角和是540°。

圖5

圖6

生：我認為圖5的方法就是將圖6的方法中四邊形再分成兩個三角形。

生：我更喜歡圖5的方法。把五邊形分成一個三角形和一個四邊形，如果邊數再增加，出現的情況就很復雜了，所以不如都分成三角形反而顯得簡單。

師：老師也贊同你的想法，通過分割的方法把五邊形轉化成了三個三角形，根據三角形的內角和來計算五邊形的內角和，這種方法比較簡潔。

師：同學們在匯報時，很少有同學用量或拼的方法，為什么呢？

生：因為五邊形的角太多了，撕開來再拼比較麻煩，五個角拼在一起，也不能知道是多少度。

生：如果用量的方法，既麻煩又不準確。

小結：研究五邊形的內角和時，發現用分的方法比較簡便，分成了三個三角形，得到五邊形的內角和是540°。

師：那六、七、八邊形……的內角和可能是多少度呢？你能想辦法求一求嗎？老師給大家準備了這幾種圖形，請每位同學挑選一種進行研究。

生：我研究的是六邊形，六邊形可以分成四個三角形，內角和是180°×4=720°。

生：我研究的是七邊形，七邊形可以分成五個三角形，內角和是180°×5=900°。

生：我研究的是八邊形，八邊形可以分成六個三角形，用180°×6=1080°。

師：現在你能解決課前提出的“十二邊形的內角和是多少度”這個問題了嗎？

生：12-2=10，180°×10=1800°。

師：你是怎么想到用12減2的？

生：其實這是有規律的……

三、總結規律，聚焦明理

1.總結規律。

師：剛才說其中是有規律的，是什么規律呢？

生：我發現分成三角形的個數可以用邊數減2。求多邊形的內角和，我們可以用（邊數-2）×180°。

師：同學們真棒！知道這個規律后，你還能求出多少邊形的內角和？

2.聚焦明理。

師：你知道為什么三角形的個數比邊數少2 嗎？仔細思考，相信大家一定會有新的發現。

生：我發現有幾條對邊就能分出幾個三角形。

生：任何一個多邊形的頂點都能和對邊形成三角形，每個頂點都有兩條邊是相鄰的，不能得到三角形，因此分出三角形的個數就比邊數少2。

師：同學們真了不起，不僅能夠自己探索和發現規律，還能悟出其中的道理。掌聲送給自己！

四、總結回顧，結構反思

師：今天我們一起研究了多邊形的內角和，大家回憶一下一開始我們遇到了什么問題？我們又是怎樣解決的？

生：我們開始遇到求十二邊形的內角和是多少度，遇到這樣的復雜問題，我們從簡單想起，從四邊形內角和開始研究。

師：然后我們又研究了哪幾種多邊形，發現了什么規律？

生：我們接著研究了五邊形、六邊形、七邊形和八邊形的內角和，發現了“多邊形的內角和=（邊數-2）×180°”這一規律。

生：我們還明白了分成三角形的個數比邊數少2的道理。