Sobolve空間中范數的一個注記

劉紅軍

【摘要】本文主要在學習張恭慶主編的《泛函分析講義》之后，討論Sobolve空間中范數滿足三角不等式的一點注記。

【關鍵詞】Sobolve空間 范數 三角不等式

【基金項目】貴州師范大學博士啟動基金（11904/0517078）。

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）42-0139-02

一、Sobolve空間的定義

設Rn是歐氏空間， n≥1，Ω為Rn中的有界連通開集， u∈Cm（Ω），其中m是一個非負整數。設實數p滿足1

‖u‖ = u（x） dx = ‖ u‖ （1.1）

將Cm（Ω）的子集S=u∈Cm（Ω）|‖u‖ <∞

按照模（1.1）完備化，得到的完備化空間稱為Sobolve空間[1][2]，記為H （Ω）。它在偏微分方程論中起著非常重要的作用。特別當p=2時，H （Ω）簡單地記成H （Ω）張恭慶等人所編寫的《泛函分析講義》中所說不難驗證（1.1）中‖·‖ 是一個范數，事實上要證明它是一個范數，其中三角不等式的證明并非顯然。文中我們將給出這個三角不等式證明的一種方法，即任取u，v∈C （ ）需要證明‖u+v‖ ≤‖u‖ +‖v‖ 成立。

二、幾個引理

引理1（H？觟lder不等式）設函數f（x），g（x）∈L 則有‖fg‖ ≤‖f‖ ·‖g‖ 成立，其中1

引理2（Minkowski不等式）設函數f（x），g（x）∈L ，實數p滿足1

對于H？觟lder不等式和Minkowski不等式已經有很多的證明方法，下面給出Minkowski不等式證明的一種簡單敘述。

證明：已知函數f（x），g（x）∈L ，則已有f+g∈L ，fg∈L 。再根據范數定義，有

‖f+g‖ = f（x）+g（x） dμ（x）

= f（x）+g（x）·f（x）+g（x） dμ（x）

≤ f（x）+g（x） ·f（x）+g（x） dμ（x）

= f（x） ·f（x）+g（x） dμ（x）+ g（x） ·f（x）+g（x） dμ（x）

=Ⅰ+Ⅱ

其中Ⅰ= f（x） ·f（x）+g（x） dμ（x），Ⅱ= g（x） ·f（x）+g（x） dμ（x）。

根據引理1的H？觟lder不等式，以及實數q滿足 + =1，可以得到Ⅰ≤ f（x） dμ（x） f（x）+g（x） dμ（x）

= f（x） dμ（x） f（x）+g（x） dμ（x）

=‖f‖ ·‖f+g‖

同理，可得Ⅱ≤‖g‖ ·‖f+g‖

因此，結合上面的式子，我們可以推出‖f+g‖ ≤‖f+g‖ ·‖f‖ +‖g‖ ，再結合 + =1得出Minkowski不等式的證明。

三、三角不等式的證明

下面給出Sobolve空間中范數的三角不等式的證明，即得到如下問題：

問題：設u，v∈C （ ），是否存在不等式‖u+v‖ ≤‖u‖ +‖v‖ （3.1）成立？

證明：任取u，v∈C （ ），根據Sobolve空間中范數的定義以及引理2中的Minkowski不等式，可以得到

‖u+v‖ = ‖ （u+v）‖ = ‖ u+ v‖

= ‖ u‖p+‖ v‖ ·‖f+g‖ ≤‖f‖ +‖g‖

回顧數列的Minkowski不等式，設數列a 和b ， 有‖a +b ‖ ≤‖a ‖ +‖b ‖ = a 考慮數列a 和b ，其中設a =‖ u‖ 和b =‖ v‖

利用上面數列的Minkowski不等式，可以得到‖a ‖ = a = ‖ u‖ ，‖b ‖ = b = ‖ v‖ ，以及‖a +b ‖ = a +b = ‖ u‖ +‖ v‖

再利用上面的分析及其記號，我們還可以得到

‖u+v‖ ≤ ‖ u‖ +‖ v‖

=‖a +b ‖ ≤‖a ‖ +‖b ‖

= ‖ u‖ + ‖ v‖

=‖u‖m，p+‖v‖m，p

因此不等式（3.1）成立。這也就證明了Sobolve空間中的范數滿足三角不等式，證畢。

關于Sobolve空間中的范數有以下兩點說明：

（1）如果對于多重指標和偏導數不熟悉的話，我們不妨考慮一元函數u，范數（1.1）就可以改寫成：

‖u‖ = u （x） = ‖u ‖ （3.2）

其中u （x）表示函數u的n階導數， u （x）=u（x）。特別的，當p=2，m=1以及Ω=[a，b]時，范數（3.2）就變成了

‖u‖ = u （x） dx

= u （x） dx+ u '（x） dx

= u （x） dx+u '（x） dx

（2） 在Sobolve空間中還可以定義與‖·‖ 等價的范數，‖u‖' = ‖ u‖ = u（x） dx 對于上述中的范數‖·‖' 很容易驗證它滿足三角不等式，事實上‖·‖' 與‖·‖ 是等價的。

參考文獻：

[1]張恭慶，林源渠. 泛函分析講義[M].北京：科技出版社，2007.

[2]陳志華. 近代分析基礎[M].北京：科學出版社，2006.