靜電場中電場強度的求解方法研究

唐鴿 劉桂香

摘 要：在靜電場中，解決靜電場的重要內容為解決電場強度。為了使學生的思維發散開來，提高學生解題分析能力，本文總結了計算靜電場的七種方法及其適用條件。

關鍵詞：靜電場;格林函數;電勢;分離變量法;高斯定理

電場不是可感知的，不是肉眼看得見的，不是以物理形式存在的。所以我們在電場的計算中可以運用它本身的性質去證明它的存在和自然界的本質。我們常用求解靜電場有如下七種方法：

1 通過場強的定義式E=Fq0計算場強

通過場強的公式可以知道：在電場中，某點的場強和該點的單位正試驗電荷的電場力相等。以下幾點是使用該公式需注意的地方：

（1）在電荷分布確定時，點試驗電荷的帶電量不影響該點場強的大小。

（2）在電場中任意一點，該點試驗電荷的正負影響了該試驗電荷的受到的電場力的方向。

（3）E是一個有方向、大小，但不分正負的量。該公式最主要的用途是，用來定義場強和引入場強E，通常在計算過程中，會利用庫侖定律：

2 依據場強疊加原理計算場強

計算多電荷的電場強度，將點電荷的場強公式與場強疊加原理相結合，計算了多電荷的場強。以下兩種問題主要通過這個方法來解決：①點電荷體系，用于表示空間中存在多個帶電體，而需要不考慮電體的大小，任何帶電體都可視為點電荷。點電荷系統由一組點電荷組成。當點電荷體系存在場點中是一個獨立體時，該點的綜合場強就是他們場強的矢量和。②電荷連續分布，此時意味著帶電體不再能視為場點的點電荷，但每個帶電體都能視為是N個點電荷疊加起來的。微元帶的電荷量為dq，并對其他的帶電體也進行了處理，依據場強疊加原理，該場點的合場強可以求解出來。獲得微元可以分三種類：①體模型，體密度ρ和電量dq=ρdv;②面模型，面密度為σ和電量dq=σds;③線模型，線密度η和電量dq=ηdl.體現了基本的物理思想，發揮了根本性的的用途，被廣泛的應用。按道理來說，只要是已知電荷分布的靜電場，場強都可以計算出來。因為上述公式是一個矢量積分，所以在計算問題的過程中，它將具有一定程度上的對稱性，解決問題的難度將急劇減小。

3 高斯定理求電場強度

（1）用Gauss theorem求解電場強度的前提條件是它必須要具有對稱性。球面對稱，或者軸對稱和平面對稱都可以，也就是只有當閉合面上各部分場強都相等的情況下，才可以運用Gauss theorem來求解出電場強度E。要不然的話，雖然同樣會適合Gauss theorem，但是它的情況將會比較復雜，這將導致場強求不出來。

（2）用適當的曲面為高斯面，可以從積分號里提取E出來。

選擇高斯面的三個原則：

①它必須是個簡單的幾何面來作為高斯面;

②使電力線垂直于高斯平面的各個部分，或與電力線形成一個固定的角度，且平面上所有點場強大小要都一樣，此時，E能從積分號提取出來;

③所求的場點必須都要在高斯面上。

利用上面兩個公式，普通的邊值問題只需求出V區域內的格林函數就可以求出來。當上述公式中的ρ（x）=0的時候，Laplace的解就是這個方程。求解格林函數是非常困難的，需要求出解析解，區域必須是幾何形狀的，但這個方法很少使用。

5 分離變量法

使用分離變量法，第一，需要給定邊界結合恰當坐標系的坐標面，或與坐標平面分段重合;再就是，在坐標系中，能用多個函數的積表示待求偏微分方程的解，坐標系中的每個函數都是只是坐標的函數。然后再運用分離變量法，把偏微分轉化為常微分，并解決該方程。此種問題能用解析形式給出的前提是它的邊界形狀是一個簡單的幾何圖形。在不同的情況下會有不一樣的解法，取決于坐標系建立的是否恰當。Laplace的通解在笛卡爾坐標系中表示如下：

拉普拉斯方程通解在圓柱坐標系中二維場表示為：

在圓球坐標系中的通解為：

其余的問題是通過邊界條件來求解這些解中的常量，由此可以解出滿足邊界條件的特解。通過分離變量法可以得到的解是精確值，但是它的解法十分困難與復雜。

6 鏡像法

鏡像法是求解格林函數法之一。勢邊值問題是說，在區域V中的電荷分布確定的條件下，給出邊界條件，并將區域V中的電場，記錄邊值問題①，如果能找到另一個邊值問題②，電荷分布確定，則計算勢或電場以及電場的分布是很好的。同一區域的電荷與邊值問題的電荷相同，其邊界條件在相同條件下是相同的。根據它的唯一性定理，邊值問題①、②在V區域中的電場大小是一樣的，也就是說，它們是一個等價的替代問題。鏡像法用于求解以下四種情況：

（1）點電荷在導電體周圍的電場大小;

（2）點電荷在導體球周圍的電場大小;

（3）具有平行線電荷的無限長的圓柱導體周圍的電場大小;

（4）點電荷在無限大的介質平面的電場大小。

鏡像法是一種等效替代法。此方法比分離變量法比較起來顯得更加容易，該問題的精確解更容易得出，但是它只能用來解一些小范圍比較特殊的邊界問題。

7 限差分法

限差分法是相對比較容易的一種數值解法，它將把需要求解的區域分成許多個小網格，并把Laplace方程變為網格節點的電位有限差分方程組。邊界點的電位值確定，用迭代法或超松弛法得到網格點電位的近似解。如果把求解區域劃分成更加小更加多的網格，通過計算機來求解，基本上可以達到所需的任何精度。

有界的空間區域內存在無散度源且無旋度源的場強——泊松方程的求解：

這個方程叫Poisson equation。對此形式，只要得到Poisson equation在此區域上的解，再求解求梯度，就能得到要求的靜電場場強。具有自由電荷區或有恒流區域的靜電場的場強可以求解。

學會并利用很多的方法來求解靜電場，它把學生的思維發散開來，把解題分析能力提高。這么多的計算，看到底要用哪種方法來解決靜電場會更加的合適，需要根據實際問題來具體探討。關于靜電場問題中的物理圖型與物理模型，如果能被很好的運用，對于發展學生的推理分析的能力就顯得格外的重要。

參考文獻：

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