高等數(shù)學(xué)中不等式證明的方法示例

摘 要：不等式證明問題是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，針對不等式的證明問題，本文分析并總結(jié)了高等數(shù)學(xué)中證明不等式的主要方法及其解題思路，并輔以典型例題，使學(xué)生能夠系統(tǒng)地掌握不等式的證明方法。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);不等式;證明

不等式是研究數(shù)學(xué)問題的重要工具，也是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容。不等式的證明也是考研試題中的重要考點(diǎn)，也是難點(diǎn)。很多學(xué)生對不等式問題缺乏系統(tǒng)的思考和總結(jié)。本文舉例說明了不等式證明的常用方法及適用情況，使學(xué)生更好地掌握不等式的證明技巧。

1 利用函數(shù)的單調(diào)性

利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，常將不等式進(jìn)行恒等變形以便于構(gòu)造輔助函數(shù)f（x），在判斷輔助函數(shù)f（x）的單調(diào)性時，若判斷f′（x）的符號困難，則可考慮求f″（x）甚至f（x）來遞推確定。當(dāng)然，若此時無法確定導(dǎo)數(shù)符號，則說明此方法失效，應(yīng)改用其他方法。

3 利用拉格朗日中值定理

利用拉格朗日中值定理證明不等式的關(guān)鍵在于滿足定理的兩個條件，通過觀察不等式經(jīng)過恒等變形可以化成函數(shù)值之差的形式，可考慮用拉格朗日中值定理，并合理設(shè)定f（x），再根據(jù)ξ的取值范圍對f′（ξ）進(jìn)行估計，進(jìn)而推導(dǎo)出所證不等式。

4 利用泰勒公式

這種方法適合于題中所給（或能推導(dǎo)出）條件f″（x）存在且>0（或<0）的命題，此時只能利用帶拉格朗日余項的泰勒公式證明不等式，關(guān)鍵是在哪一個點(diǎn)將函數(shù)用泰勒公式展開，通常展開點(diǎn)一般選取已知導(dǎo)數(shù)信息最多的點(diǎn)。然后根據(jù)題設(shè)對展開式的余項進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，導(dǎo)出所證不等式。

種方法是高等數(shù)學(xué)中證明不等式的常用方法，不等式的證法因題而異，靈活多變，我們應(yīng)該具體問題具體分析。要想熟練掌握其中的技巧，我們要多思考多總結(jié)，才能快捷地解決不等式的證明問題。

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作者簡介：楊雪（1982-），女，吉林長春人，長春工業(yè)大學(xué)碩士研究生，吉林工商學(xué)院助教，研究方向：最優(yōu)化理論與應(yīng)用。