初中幾何“路徑最短問(wèn)題”的探究與解決策略

陳隆田

摘要：初中幾何“路徑最短問(wèn)題”，近年來(lái)備受中考命題的青睞，成為中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)與考點(diǎn)。本文中筆者對(duì)幾何“路徑最短問(wèn)題”的原理、路徑的類型、起點(diǎn)終點(diǎn)的類型進(jìn)行分類，運(yùn)用圖形變換，等效點(diǎn)、等效線段的轉(zhuǎn)換，解決“路徑最短問(wèn)題”的策略。

關(guān)鍵詞：幾何公理;路徑最短;圖形變換;等效點(diǎn);線段

中圖分類號(hào)：G633.7?????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1992-7711（2020）10-075-2

2018年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)試卷中頻頻出現(xiàn)“最短路徑問(wèn)題”，如廣西貴港、山東濱州泰安、天津、湖北黃岡……“路徑最短問(wèn)題”涉及知識(shí)較多，具有很強(qiáng)生產(chǎn)生活實(shí)踐應(yīng)用價(jià)值。筆者正視熱點(diǎn)，結(jié)合自己教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，細(xì)致深入地進(jìn)行探究，形成自己解決“最短路徑問(wèn)題”策略，教學(xué)中借助幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)化、明晰化優(yōu)勢(shì)，使“路徑最短問(wèn)題”專題教學(xué)取得良好效果。

“最短路徑問(wèn)題”多以填空題、選擇題進(jìn)行考察，分值4～5分，難易程度為0.1～0.3，屬于學(xué)生較難掌握、解決的問(wèn)題。

有鑒于此，筆者將從以下幾個(gè)方面來(lái)探究“最短路徑問(wèn)題”以及解決策略。

一、“最短路徑問(wèn)題”的三個(gè)主要理論依據(jù)

1.線段最短

公理：連接兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短。簡(jiǎn)稱：線段最短。

筆者解讀：公理“兩點(diǎn)”即兩個(gè)定點(diǎn)，因此，公理為解決兩個(gè)定點(diǎn)之間最短路徑問(wèn)題提供理論依據(jù)。同時(shí)，它還能拓展解決，圓外定點(diǎn)到圓周上動(dòng)點(diǎn)最短距離問(wèn)題。如下圖所示：

2.垂線段最短

公理：直線外一點(diǎn)到直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短。簡(jiǎn)稱：垂線段最短。

筆者解讀：運(yùn)用本公理能解決直線外一定點(diǎn)到直線上的所有點(diǎn)即直線上動(dòng)點(diǎn)之間的路徑最短問(wèn)題。同時(shí)它還能拓展解決，圓周上動(dòng)點(diǎn)到圓外定直線的最短距離問(wèn)題。如下圖所示：

3.三角形三邊關(guān)系定理

定理：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

筆者解讀：根據(jù)該定理，三角形的第三邊長(zhǎng)度受到一端相連的兩條定長(zhǎng)線段限制，這也說(shuō)明了公共端點(diǎn)的兩條定長(zhǎng)線段的另外兩個(gè)端點(diǎn)之間的路徑距離范圍在兩條線段之和與之差之間。當(dāng)兩條線段中短的線段完全重合在長(zhǎng)的線段上時(shí)，線段另外兩個(gè)端點(diǎn)之間的路徑最短距離就是兩條線段之差。因此，三角形的三邊關(guān)系定理的拓展能解決，公共端點(diǎn)的兩條定長(zhǎng)線段另外兩個(gè)端點(diǎn)之間的最短路徑問(wèn)題。如下圖所示：

二、“路徑最短問(wèn)題”的類型

1.路徑類型分類

一條線段、“V”型折線、“Z”型折線、三角形周長(zhǎng)型與星型三條線段之和等等。

2.點(diǎn)類型分類

（1）定點(diǎn)+過(guò)程性動(dòng)點(diǎn)+定點(diǎn);（2）定點(diǎn)+過(guò)程性動(dòng)點(diǎn)+動(dòng)點(diǎn);（3）動(dòng)點(diǎn)+動(dòng)點(diǎn)

三、解決“最短路徑問(wèn)題”的基本步驟

1.第一步

觀察路徑類型，確定起點(diǎn)、終點(diǎn)的點(diǎn)類型。

2.第二步

利用圖形變換（軸對(duì)稱、全等、平移、旋轉(zhuǎn)等）對(duì)應(yīng)線段相等性質(zhì)把路徑中某些線段進(jìn)行等效轉(zhuǎn)換，使原路徑變成向兩個(gè)方向伸展的連續(xù)折線，再“拉直”折線。

3.第三步

確定某一定點(diǎn)為路徑的起點(diǎn)，根據(jù)終點(diǎn)的類型來(lái)確定路徑最短的理論依據(jù)。

四、掌握解決“最短路徑問(wèn)題”的幾個(gè)“必殺技”

1.關(guān)于等效點(diǎn)、等效線段

利用圖形變換（軸對(duì)稱、全等、平移、旋轉(zhuǎn)等）得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)線段，由于作用相同、數(shù)量關(guān)系確定，暫且稱為等效點(diǎn)、等效線段，這是實(shí)現(xiàn)最短路徑有效轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵。

2.各種類型路徑的分解轉(zhuǎn)換

（1）“V”型折線、“Z”型折線、三角形周長(zhǎng)型路徑：以過(guò)程性動(dòng)點(diǎn)所在的直線為對(duì)稱軸，做起始定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接得到等效線段，使“V”型折線、“Z”型路徑變換為向兩個(gè)方向伸展的連續(xù)折線，再“拉直”路徑。

（2）星型三條線段之和：通過(guò)繞其中一個(gè)定點(diǎn)將其中一個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)60o，使之拆解為向兩個(gè)方向伸展的連續(xù)折線，再“拉直”路徑。

3.原理判斷與選擇——關(guān)鍵看起點(diǎn)、終點(diǎn)的類型

（1）如果起點(diǎn)、終點(diǎn)都是定點(diǎn)，那就利用“線段最短”原理。

（2）如果起點(diǎn)是定點(diǎn)，終點(diǎn)是在直線上的動(dòng)點(diǎn)，那就利用“垂線段最短”原理來(lái)解決。

（3）如果起點(diǎn)是定點(diǎn)，終點(diǎn)是在定圓上的動(dòng)點(diǎn)，那就利用“線段最短”拓展原理來(lái)解決。

（4）如果起點(diǎn)是定圓上的動(dòng)點(diǎn)，終點(diǎn)是在定直線上的動(dòng)點(diǎn)，那就利用“垂線段最短”拓展原理來(lái)解決。

（5）如果公共端點(diǎn)的兩條定長(zhǎng)線段另外兩端的兩個(gè)點(diǎn)，那就利用“三角形兩邊之差小于第三邊”拓展原理來(lái)解決。

4.關(guān)于隱形圓的運(yùn)用

當(dāng)終點(diǎn)沒(méi)有明確的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，就要考慮是否在隱形圓上運(yùn)動(dòng)。認(rèn)真挖掘題目的已知條件。如：四點(diǎn)共圓、“直徑所對(duì)圓周是直角”等方法發(fā)現(xiàn)隱形圓的存在。

5.關(guān)于幾何畫(huà)板在解決“路徑最短問(wèn)題”中的作用

運(yùn)用幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)化、明晰化的優(yōu)勢(shì)，能生動(dòng)形象地呈現(xiàn)路徑變換過(guò)程，從而提高課堂上解決“最短路徑問(wèn)題”的有效性。

五、具體實(shí)例分析

例1：如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，E、F分別是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，BE=CF，連接BF、DE，求BF+DE的最小值。

簡(jiǎn)析：路徑“BF+DE”看似不滿足以上任何一種路徑，但根據(jù)已知條件，連接AE，顯然△ABE≌△BCF，得出AE=BF，因此，等價(jià)路徑“AE+DE”就是“V”型了。由于過(guò)程性動(dòng)點(diǎn)E在直線BC上，所以作A關(guān)于直線BC對(duì)稱點(diǎn)A′，實(shí)現(xiàn)A與A′等效，AE=AE′，從而把原來(lái)“V”型路徑轉(zhuǎn)化向兩個(gè)方向伸展的連續(xù)折線，“拉直”就得到最短距離。由于點(diǎn)類型是“定點(diǎn)+過(guò)程性動(dòng)點(diǎn)+定點(diǎn)”，故利用“線段最短”原理，即A′D為最短路徑。本題運(yùn)用三角形全等、軸對(duì)稱兩種的幾何圖形轉(zhuǎn)換，實(shí)現(xiàn)一條線段的兩次等效轉(zhuǎn)化。

例2：如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB=120°，∠B=∠D=90°，AD=4，AB=3，點(diǎn)M、點(diǎn)N分別是邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，求△AMN周長(zhǎng)的最小值。

簡(jiǎn)析：本題路徑屬于三角形周長(zhǎng)型，封閉的三條變化的線段需要“拆解”。發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)M、N分別在直線BC、CD上，所以要分別做定點(diǎn)A關(guān)于直線BC、CD的對(duì)稱點(diǎn)A1、A2，得到AM=A1M，AN=A2N，因此實(shí)現(xiàn)封閉的三條變化線段“拆解”向兩個(gè)方向伸展的連續(xù)折線。本題通過(guò)兩次的軸對(duì)稱神奇地實(shí)現(xiàn)了一個(gè)定點(diǎn)對(duì)稱變出兩個(gè)定點(diǎn)，故本題點(diǎn)類型真正屬于“定點(diǎn)+過(guò)程性動(dòng)點(diǎn)+定點(diǎn)”。

例3：如圖，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=3，AC=4，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF的中點(diǎn)，求PM的最小值。

簡(jiǎn)析：本題路徑類型是一條線段，點(diǎn)類型是兩動(dòng)點(diǎn)，看似無(wú)從下手。認(rèn)真閱讀題意，不難發(fā)現(xiàn)：四邊形AEPF是矩形，連接AM，A、M、P三點(diǎn)共線，并且MP=12AP，所以AP是MP等效線段，確定線段AP最小值即可。由于線段AP是“定點(diǎn)+動(dòng)點(diǎn)”，根據(jù)“垂線段最短”原理，當(dāng)AP⊥BC時(shí)，求出AP的長(zhǎng)度就解決了PM的最小值。

例4：如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=4，BA=3，動(dòng)點(diǎn)F在邊AC上運(yùn)動(dòng)，連接BF，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BF于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D，求A、E兩點(diǎn)之間距離的最短距離。

簡(jiǎn)析：本題路徑是一條線段，點(diǎn)類型：定點(diǎn)+動(dòng)點(diǎn)。由于動(dòng)點(diǎn)不在直線上運(yùn)動(dòng)，所以要研究動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡。根據(jù)題意∠ACB=90°，并且對(duì)著定長(zhǎng)線段BC。故此，根據(jù)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”推導(dǎo)得知E的運(yùn)動(dòng)軌跡：以線段BC為直徑的圓周。因此可利用“線段最短”的拓展原理解決。連接BC的中點(diǎn)O（即圓心）與A，且與圓交于H，當(dāng)D運(yùn)動(dòng)到H時(shí)，AH的長(zhǎng)度就是AE的最小值。

例5：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，點(diǎn)D在以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓上一點(diǎn)，連接BD，點(diǎn)M為BD中點(diǎn)，求線段CM長(zhǎng)度的最小值。

簡(jiǎn)析：本題路徑類型是一條線段，點(diǎn)類型為：定點(diǎn)+動(dòng)點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)軌跡不確定。綜合考慮已知條件，取AB的中點(diǎn)N，連接AD、MN、CN，發(fā)現(xiàn)MN=12AD，CN=12AB，均為定長(zhǎng)，且有公共端點(diǎn)。根據(jù)“三角形的三邊關(guān)系”定理拓展得知，當(dāng)D運(yùn)動(dòng)到使MN與CN重合位置時(shí)，CM長(zhǎng)度的最小值。

例6：如圖，矩形ABCD中，BC=12，AB=4，P是矩形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值。

簡(jiǎn)析：本題路徑類型是星型的三條線段之和，點(diǎn)類型非常規(guī)類型。把其中一個(gè)三角形（如△ABP）繞定點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)60°。得到△ABP≌△AB′P′和△APP′是等邊三角形，從而實(shí)現(xiàn)AP=PP′， BP=B′P′。這樣原星型的三條線段之和就轉(zhuǎn)化為向兩個(gè)方向伸展的連續(xù)折線，“拉直”后路徑本質(zhì)上是：兩定點(diǎn)之間的線段最短。由此可見(jiàn)凡路徑為星型的三條線段之和的問(wèn)題要用旋轉(zhuǎn)60°的方法得以實(shí)現(xiàn)路徑轉(zhuǎn)化，全等和旋轉(zhuǎn)是實(shí)現(xiàn)線段等效轉(zhuǎn)化的“利器”。

本文只是對(duì)初中幾何“路徑最短問(wèn)題”探究和解決策略的粗淺思考，囿于文章篇幅以及實(shí)例材料的局限，對(duì)問(wèn)題研究深度不足，方法策略不夠豐富，以期繼續(xù)深入完善。

（作者單位：福建省福州第三十中學(xué)，福建 福州 350008）