非歐幾何帶給我們的啟示

韓志濤

【摘要】歷史上有一些事件影響深遠，這樣的事件之所以影響深遠，是因為它們改變了人們的觀念，然而歷史上還沒有哪個事件像非歐幾何這樣深刻地改變了人們的世界觀，帶給人們的是空前絕后的震撼，本文闡述了非歐幾何的基本原理和它的影響，起到了用歷史警示后人的作用。

【關(guān)鍵詞】歐式幾何 ?非歐幾何 ?相對論 ?黎曼幾何

【中圖分類號】G64 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2020）17-0229-02

非歐幾何帶給數(shù)學(xué)的是震撼，同樣的，帶給物理學(xué)以及宇宙學(xué)的都是前所未有的震撼，因為它徹底地改變了人們的常識和觀念，至今仍然有著無窮的魅力。什么是非歐幾何呢？

歐幾里得的《幾何原本》至今仍然是中學(xué)平面兒何的基石。《幾何原本》五條公設(shè)中，前四條都容易驗證，比方說，過平面上的兩個點，可以而且只能連一條直線。但是人們發(fā)現(xiàn)，第五公設(shè)“在平面上，過直線外一點，可以作一條平行于原來線的直線并且只能作一條直線”，這個結(jié)論很難用什么方法驗證。

可以看出，歐幾里得本人也不太相信這一公設(shè)，所以總是盡量避免直接引用它去證明其他問題。因此在《幾何原本》中，前28個命題的證明中沒有用到第五公設(shè)，直到第29個命題時，才不得不用第五公設(shè)。

1815年，羅巴切夫斯基開始研究第五公設(shè)，經(jīng)過10年的冥思苦想，公開聲明，人們不能用其他公設(shè)、公理來證明第五公設(shè)，并得到了一條與第五公設(shè)相反的公理，即經(jīng)過直線外一點，不是只能作一條，而是至少可以做兩條直線和已知直線平行。由其他原來公設(shè)，公理和修改了的公理體系，形成了新的非歐幾何學(xué)，其中的嚴(yán)格證明類似于歐幾里得幾何：這種新的幾何學(xué)稱之為羅巴切夫斯基幾何。

從羅巴切夫斯基建立的公理體系，通過邏輯推理的，可以得出與歐幾里得幾何完全不同的定理。

“如兩個平行線之間的距離不一樣”;

“三角形三個內(nèi)角之和居然小于180°等”;

“沒有矩形存在”;

“彼得格拉斯定理不再成立，需要換成更復(fù)雜的公式”;

“三角形的面積不能任意大”。

看到這些命題，人們一定會很驚訝，這些命題符合我們的生活經(jīng)驗嗎？非歐幾何到底是什么？有什么用呢？

高斯很早就提出了非歐幾何的輪廓。但是，他生前始終沒有發(fā)表這一成果，高斯的同學(xué)伏爾剛·鮑耶曾經(jīng)研究第五公設(shè)，并且終其一生，毫無成就，內(nèi)心充滿了失望。其子約·鮑耶也去鉆研這一難題，而且在彼此并沒有通訊的情況下發(fā)表非歐幾何的成果，但是比羅巴切夫斯基遲了幾年。因此，約·鮑耶也成為非歐幾何的創(chuàng)始人之一。

約·鮑耶得到了新的幾何，稱之為絕對空間中的幾何，許多結(jié)果與高斯的結(jié)果是一致的，如正弦定理為：

羅巴切夫斯基發(fā)表非歐幾何以后得到的是什么呢？他得到的并不是榮譽，而是人們的冷嘲熱諷，人們并不接受他的思想，而是把它當(dāng)作奇談怪論，不切實際的東西，人們認為歐式幾何才是這個世界的真實描述，羅巴切夫斯基備受挖苦與攻擊，他們說，歐幾里得兩千多年前給我們留下的巍巍寶殿的基石被人挖去，這座神圣的殿堂會倒塌。學(xué)報呈報給俄國科學(xué)院后，也被審稿的院士輕率的認為，不值得科學(xué)院去注意而否定了。可見傳統(tǒng)的觀念多么強大。

繼羅氏幾何后，德國數(shù)學(xué)家黎曼在1854年又提出了新的非歐幾何，這種幾何中：同一平面上的任何兩直線一定相交。同時，還對歐氏幾何的其他公理做了部分改動。在這種幾何里，有不同于歐氏幾何的地方，三角形的內(nèi)角和大于兩直角。人們把這種幾何稱為橢圓幾何。

為了考查更一般的幾何，黎曼考慮了一般的度量：

這種空間具有常數(shù)曲率，是非歐幾何很好的模型。

可以想象一個球面，球面是沒有直線，球面上兩個點之間的最短線是大圓，而大圓和大圓都是相交的。任意三個大圓構(gòu)成的三角形，內(nèi)角的和超過180度。

人們要問傳統(tǒng)的幾何與羅巴切夫斯基幾何不同之處是什么呢？主要是公理系統(tǒng)，第五公設(shè)變成了 “在平面內(nèi)，從直線外一點，至少可以做兩條直線或者兩條以上和這條直線平行”，只有這么一個地方做了改動，其他公理基本保持不變。但是由于平行公理替換了，經(jīng)過同樣的演繹推理，得到的一連串新的幾何命題卻是讓人目瞪口呆，因為和歐式幾何內(nèi)容完全不同。

現(xiàn)在來看兩種幾何，羅氏幾何中除了一個平行公理之外，其他的都是歐式幾何的存在的公理。因此，一個幾何命題是否正確主要是看它是否涉及到平行公理，如果不涉及平行公理，則它在歐式幾何中是正確的，在羅氏幾何中也同樣應(yīng)該是保持正確性的。相反，在歐式幾何中，一個命題只要涉及到平行公理，在羅氏幾何中應(yīng)該都不能夠成立，他們都應(yīng)該有了新的幾何意義。由于違反常識，羅氏幾何中的很多幾何定理不像歐式幾何那樣容易被人們接受。但是，數(shù)學(xué)家們研究發(fā)現(xiàn)，用歐式幾何中的事實，作一個直觀“模型”來解釋羅氏幾何應(yīng)該是可行的。

偉大的數(shù)學(xué)家高斯離開世界以后，人們在整理他的書稿時，吃驚地發(fā)現(xiàn)，高斯也曾經(jīng)深入地研究了非歐幾何，由于高斯的無與倫比的威望和才能，人們對非歐幾何的責(zé)難的聲音才漸漸地微弱了，非歐幾何，一改過去長期無人問津的局面，開始獲得數(shù)學(xué)家的普遍注意和深入研究，并且取得了許多新的成果，學(xué)術(shù)界高度評價和一致贊美羅巴切夫斯基，他的獨創(chuàng)性研究也就得到廣泛承認，人們稱贊他為“幾何學(xué)中的哥白尼”。

德國偉大的數(shù)學(xué)家黎曼在十九世紀(jì)創(chuàng)立了黎曼幾何。黎曼幾何中的一條定理是：在同一平面內(nèi)任何兩條直線（這里指的是測地線）都應(yīng)該有公共點。在黎曼幾何學(xué)中，平行線是不存在的，它的另一條公設(shè)講的是：直線（測地線）可以無限延長，但總的長度是有限的，即曲線可能是封閉的。如球面上的大圓都是有限的長度。

雖然這個世界上有了非歐幾何，有了黎曼幾何，但是這些幾何的意義是什么，是純粹的數(shù)學(xué)上的邏輯上的游戲，還是能夠在現(xiàn)實生活中找到它的真實的用途。如果沒有現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，那么這種幾何就是一種邏輯推理，一種數(shù)學(xué)游戲，它的意義僅僅是正確而無用的邏輯，到底是什么呢，不論非歐幾何函數(shù)黎曼幾何，作為一種數(shù)學(xué)工具，自從被發(fā)現(xiàn)就一直被擱置起來，束之高閣，無人問津。直到愛因斯坦登上歷史舞臺。

愛因斯坦在二十世紀(jì)初先是創(chuàng)立了狹義相對論，然后創(chuàng)立了廣義相對論。在廣義相對論里，近代黎曼幾何得到了重要前所未有的應(yīng)用。黎曼幾何構(gòu)成了廣義相對論中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和基本的框架。在廣義相對論里，偉大的物理學(xué)家愛因斯坦改變了關(guān)于時空均勻性的觀念，即他認為時空只是在充分小的空間里，近似性地均勻的，但是，整個物理世界，整個時空卻是不均勻的。黎曼幾何的觀念恰恰解釋了物理學(xué)的這種性質(zhì)。愛因斯坦的這一發(fā)現(xiàn)，為非歐幾何，黎曼幾何找到了生活中的模型，讓人們第一次感覺到了震撼。

他的發(fā)現(xiàn)，徹底改變了人們的世界觀，徹底的改變了人們熟悉的世界，震撼了人們心靈，改變了人們的傳統(tǒng)觀念，是一個轟動世界的事件。

長期以來，人們太熟悉周圍的世界了，人們已經(jīng)習(xí)慣于世界是平坦的、平直的，時間是均勻的流逝的，可是，愛因斯坦的相對論讓人們認識到，我們熟悉的東西不一定是正確的，愛因斯坦的相對論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是黎曼幾何，是非歐幾何，這是羅巴切夫斯基，高斯，約·鮑耶的努力的結(jié)果，也是愛因斯坦的幸運。很多歷史上的發(fā)現(xiàn)，由于沒有相應(yīng)的數(shù)學(xué)，而不得不推遲，而愛因斯坦是幸運的，在他創(chuàng)立相對論的時候，數(shù)學(xué)家已經(jīng)為他準(zhǔn)備好了需要的數(shù)學(xué)工具。反過來，羅巴切夫斯基，高斯，約·鮑耶這些數(shù)學(xué)家也是幸運的，他們潛心研究的數(shù)學(xué)，由于愛因斯坦的貢獻，使得這個數(shù)學(xué)不單單的邏輯上的推演，不單單是一種邏輯游戲，而是在現(xiàn)實生活中能夠找到它的原型。這樣的相輔相成的優(yōu)美的故事真的是千古流傳。

人們研究了2000多年的第五公設(shè)引起了十九世紀(jì)非歐幾何的產(chǎn)生與發(fā)展，這個發(fā)展引起了人們對數(shù)學(xué)本質(zhì)的深入探討，非歐幾何對現(xiàn)代自然科學(xué)、現(xiàn)代數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)哲學(xué)的發(fā)展影響巨大：像當(dāng)年的日心說一樣再次震撼人們的心靈，徹底的改變了人們的觀念。使人們對客觀世界的認識產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍。

非歐幾何的重大意義在于，幾何基礎(chǔ)的研究，從而從根本上改變了人們的幾何觀念、物理觀念、時空觀念，幾何學(xué)的研究對象發(fā)生了很大的變化，最初是圖形的性質(zhì)，后來是抽象空間，更一般的數(shù)學(xué)空間形式，一個嶄新階段幾何的研究和發(fā)展進入了抽象研究階段。

隨著非歐幾何的產(chǎn)生，一些重要數(shù)學(xué)分支誕生并且發(fā)展起來。

一個重大問題的解決，往往需要許多代人的共同努力，才能取得成功，而后人總是“站在前人的肩膀上”的。

今天，人們把這種新的幾何叫作羅氏幾何，為什么呢？人們普遍認為非歐幾何的第一個發(fā)現(xiàn)者是數(shù)學(xué)家高斯。但是在整個過程中，只有羅巴切夫斯基面對狂風(fēng)暴雨無所畏懼，他始終沒有屈服輿論的壓力，堅定地相信自己的幾何學(xué)的創(chuàng)新思想的正確性和革命性，以自己的實際行動表現(xiàn)出捍衛(wèi)真理的堅定性和徹底性。而鮑耶則在受到打擊的時候退縮，高斯始終不敢公開發(fā)表自己的成果。因此，人們沒有把非歐幾何叫作高斯幾何或者鮑耶幾何，而是稱為羅巴切夫斯基幾何。并且把羅巴切夫斯基宣讀論文的那一天，1826年2月23日，定為非歐幾何誕生的日子。

參考文獻：

[1]M.克萊因著.《古今數(shù)學(xué)思想》，上海科學(xué)技術(shù)出版社，1979年.

[2]亞歷山大洛夫等著.《數(shù)學(xué)——它的內(nèi)容、方法和意義》，科學(xué)出版社，1962年.

[3]黃漢平.《飽經(jīng)磨難的“非歐幾何”》，科學(xué)家雜志，1986年第6期.

[4]李心燦，黃漢平著.《數(shù)壇英豪》，科學(xué)普及出版社，1989年.