仿生時延放大系統的設計及特性分析

張雅瓊， 于豐寧， 塔 娜， 饒柱石

(上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室， 上海 200240)

越來越多的應用領域對微型聲定位裝置提出了高精度的要求[1-3].盡管微機械加工技術逐漸成熟，微型裝置卻很難實現高精度定位，這是由于其定位線索導致的.信號到達不同傳感器間的強度差和時間差，與傳感器陣列的孔徑成正比，普通的傳感器陣列可以通過擴大孔徑的方式提高其定位性能；然而對于微型定位裝置，由于受到空間尺寸的限制，陣列孔徑難以擴大.一個可能有效的方法是放大傳感器陣列接收信號間的強度差和時間差，這種方法等效于擴大陣列孔徑，而這一研究思路源自于一種小型寄生蠅——奧米亞棕蠅.

奧米亞棕蠅是一種具有超強定位能力的寄生蠅，雖然其耳間距僅為0.5 mm左右，卻能憑借寄主發出的叫聲準確地對其進行定位[4].研究表明，這種能力得益于其耳間一種特殊的耦合結構.該結構可有效放大兩耳間接收信號的強度差和時間差，其效果等于將耳間距擴大了數十倍，從而獲得了超強的定位能力[5].受奧米亞棕蠅耳間耦合結構的啟發，許多學者進行了微機電系統(MEMS)的設計及開發.Miles等[6-7]開發了一款具有低背景噪聲、高靈敏度的MEMS指向性傳聲器.Kuntzman等[8]與Hall等[9]開發了MEMS指向性傳聲器，并利用多個壓電傳感端口實現了聲壓及壓力梯度的同步測量.Liu等[10]模擬生物耦合結構，進行了微型聲定位裝置的開發，并在實驗室條件下對裝置的定位效果進行了驗證.Wilmott等[11-12]采用兩個互成一定角度的MEMS傳聲器實現了空間聲源定位.Masoumi等[13]通過力-電類比進行了耦合電路的設計，并將其應用于天線陣列，構成了具有信號差異放大功能的耦合天線陣列.Xu等[3， 14]將耦合電路應用于傳聲器陣列，并利用耦合傳聲器陣列輸出信號間的幅值差異實現了聲源定位.王慶生等[15]和Yang等[16]將耦合模型擴展到了三維及更高維，并通過機械結構[15]及模擬電路[17]的形式實現了多個輸入信號間的強度差及時間差的放大.

本文通過求解高維耦合模型的輸出響應，深入研究了耦合模型時延放大特性與參數之間的關系，為高維耦合模型的設計提供了一套參數選擇原則.考慮到機械結構及模擬電路的參數難以根據測試環境進行調節、測試聲源受到限制等情況，基于高維耦合模型，通過算法實現了一個多輸入多輸出的線性時延放大系統.系統參數可根據聲源頻率靈活調節，實現對時延放大倍數的精準控制.實驗結果表明，該系統可用于實現小孔徑陣列接收信號間時延的放大，能夠有效地提高其定位精度.

1 力學模型

奧米亞棕蠅耦合耳朵力學模型能夠實現兩個輸入信號間的時延放大，為了將這一時延放大機制應用于多個輸入信號，建立了一個n維耦合模型，其結構示意圖如圖1所示.其中，m為質量；k與kc(下標c表示耦合)為剛度；c與cc為阻尼；fi(i=1,2,…,n)表示施加在第i個質量單元上的力激勵；xi為該質量單元的位移響應.該耦合模型由n個相同的質量-彈簧-阻尼系統組成，每兩個系統之間通過扭簧與阻尼連接，即第i個系統分別與其余n-1個系統耦合.該耦合模型是一個自由度為n的振動系統，當n=2時，該耦合模型退化為自由度為2的振動系統，即文獻[5]中的奧米亞棕蠅耦合耳朵力學模型.

圖1 n維耦合模型

圖1所示的n維耦合模型的動力學方程可以表示為

(1)

式中：

(2)

(3)

cii=c+(n-1)cc

(4)

kii=k+(n-1)kc

(5)

(6)

系統的響應是由穩態響應以及瞬態響應組成的.由于阻尼的存在，隨著時間的延續，瞬態響應將逐漸減小直至消失，系統最終只剩下穩態響應.因此，這里只討論系統的穩態解，通過模態分析法[18]獲得系統響應

(7)

式中：

ξ1=[c+(n-2)cc]/(2ω1m)

ξ2=[c+(2n-2)cc]/(2ω2m)

ω為聲源頻率.該系統有n階無阻尼固有頻率，前n-1階數值相等，均為ω1；第n階為ω2.因此，當系統在頻率ω1處振動時，有n-1階振動模態，這些振動模態的阻尼比為ξ1；而當系統在頻率ω2處振動時，有唯一的振動模態，對應的模態阻尼比為ξ2.

2 時延放大特性

對于聲激勵，作用于質量單元上的力與該處的聲壓成正比.考慮遠場單頻聲源，由于質量單元間的距離很小，激勵力將具有相同的幅值及微小的時延差異，可以表示為

fi=A0ejω(t-τi)

(8)

式中：A0為幅值；τi為時延，表示聲波到達質量單元i與耦合模型幾何中心的時間差.因此，各激勵力的時延滿足以下關系

(9)

定義fi與fp間的時延為聲波達到兩個質量單元的時間差，記為輸入時延，表示為

τin_ip=τi-τp

(10)

兩個質量單元位移響應間的時延，記為輸出時延，可以表示為

τout_ip=

(11)

式中：Im(·)和Re(·)分別表示取虛部以及取實部運算.

假設質量單元間的距離遠小于聲波波長，那么可以進行以下小角度假設

(12)

根據式(12)，式(11)可以表示為

(13)

由式(13)可知，輸出時延只與相對應的激勵力的時延有關，而與其余激勵力的時延無關.在二維耦合模型中，由于τ1+τ2≡0，輸出時延只與輸入時延有關，而與各激勵力的時延無關；然而對于高維耦合模型，只有當式(13)分母中的第3項等于0時，即系統參數滿足條件：

(14)

輸出時延才只與輸入時延有關，而與各激勵力的時延無關.為了便于計算，令上式等于η，并將其代入式(13)，則輸出時延可以表示為

τout_ip=ητin_ip

(15)

式(15)意味著通過選擇合適的耦合參數，耦合模型可以看作一個多輸入多輸出的時延線性放大系統.系統的時延放大倍數為η，不受聲波入射角度的影響，而只與聲源頻率及耦合參數有關.將滿足式(14)的頻率定義為系統的設計頻率，并記為ω0.

為了保證系統的線性放大特性，需要合理設計耦合參數.為了使η>1，同時考慮多自由度振動系統的實際物理意義，根據式(14)可得到

ω0<ω1<ω2

(16)

將式(14)改寫為如下形式

(17)

將式(17)代入式(16)可以得到

ξ2/ξ1<η<(ξ2/ξ1)2

(18)

根據式(18)，為了使η>1，阻尼比需滿足關系

ξ2/ξ1>1

(19)

同時，考慮振動系統的實際物理意義，阻尼比需滿足條件ξ1,ξ2∈(0,1).由于振動系統的阻尼比決定了瞬態響應的衰減時間，為了盡快進入穩態響應階段，兩個阻尼比應盡可能選得比較大，可將ξ1的范圍設置為0.1<ξ1<0.4，然后根據η并結合式(18)設計ξ2.繼而根據ω0、η、ξ1和ξ2，利用式(14)獲得ω1和ω2.最后利用式(7)計算系統的耦合參數(m、k、c、kc、cc).需要指出的是，5個未知變量間只存在4個約束條件，將有無窮多組滿足條件的耦合參數，為了方便計算，我們令m=1 kg，其余4個變量可通過式(7)唯一確定.

上述研究建立在式(12)小角度假設成立的基礎上，不失一般性，對影響式(12)成立的聲源頻率、輸入時延及放大倍數進行討論，研究這些因素對系統時延放大特性的影響.以n=3為例，假設耦合模型各質量單元布置如圖2所示，質量單元1與2、3的間距d=0.03 m.τin_12與τin_13和聲源方位角α與俯仰角θ的關系可以表示為

(20)

式中：c0為聲速.

表1 系統參數

圖3 輸出時延的計算結果與理論值比較

首先，在相同放大倍數下，研究聲源頻率對系統輸出時延的影響. 假設ω分別為100π、1 000π 以及2 000π rad/s，選擇η=5，根據上述方法設置系統參數，如表1所示.當θ=20°，α=0°～90°時， 由式(11)計算獲得的輸出時延如圖3所示.其中，理論值(TV)曲線由式(15)獲得.由圖3可知，τout_12與τout_13的計算結果呈現相同規律：當ω=100π rad/s時，計算結果與理論值重合；而隨著ω增大，計算結果逐漸偏離理論值曲線.這說明對于有放大倍數要求的時延放大系統，其測試頻率不能無限增大.

圖2 耦合模型與聲源的幾何位置關系

Eip=ητin_ip-τout_ip

(21)

圖4 不同放大倍數下的平均近似誤差對比

上述分析說明，聲源頻率、輸入時延及放大倍數均會影響系統的時延放大特性，在實際應用中，應結合聲源頻率、測試條件及需求，合理選擇放大倍數，保證近似誤差在可接受的范圍內.

3 時延放大系統的實現

上述時延放大系統有多種實現方式，如利用MEMS技術開發新型傳感器，或通過力-電類比技術設計模擬電路.考慮到機械系統與電路系統的參數難以根據聲源頻率進行調節，通過一套算法來實現上述時延放大系統的功能.該算法是通過程序控制的方式實現的，系統的設計頻率可以根據輸入信號的頻率靈活地調節，從而適應不同頻率的聲源.該算法需要與聲信號接收裝置配合使用，其輸入信號為接收裝置的輸出信號.默認算法輸入是單頻信號或可近似為單頻信號處理的窄帶信號，對于寬頻聲源，默認信號已經過窄帶濾波器處理.

圖5 算法流程圖

算法流程如圖5所示.首先，對輸入信號進行快速Fourier變換分析獲得信號的頻譜信息，用于設置ω0；同時，根據測試條件及需求設定η；接著，根據ω0和η，參照系統參數選取方法，確定ω1、ω2、ξ1及ξ2；然后，通過式(7)得到k、kc、c、cc及m(m=1 kg)；最后，將這組參數和輸入信號一起輸入到系統響應求解模塊，根據式(1)，借助數值計算方法，獲得時延放大系統的輸出.數值計算方法有很多，采用計算速度較快，同時求解精度較高的Newmark-β法.

4 實驗結果與分析

以n=3為例，對上述時延放大系統進行了實驗驗證.該實驗是在消聲室和控制室共同完成的，實驗裝置如圖6所示.消聲室測試系統如圖7所示，由一個陣列架和一個置于遠場的揚聲器構成.揚聲器由控制室內的信號發生器控制，產生一個頻率為500 Hz的聲音信號.陣列架上固定著3個傳聲器(BSWA MPA416)M1、M2與M3，用于接收該聲信號，并將其轉換為電信號輸入到數據采集器中.傳聲器的布置見圖2，不同聲源方位通過調整位于陣列架下方和后方的旋轉臺得到，兩個旋轉臺均由一臺控制器控制.數據采集器將采集到的信號輸入電腦，通過上述算法獲得時延放大系統的輸出信號.信號采樣頻率為102.4 kHz，采樣點數為 32 768.

圖6 實驗裝置示意圖

圖7 消聲室測試系統

當聲源位于(θ,α)=(20°,135°)時，數據采集器的輸出信號，即時延放大系統的輸入信號如圖8(a)所示.其中，A′0為歸一化后的幅值.為了較清晰地展示信號波形，設定時間顯示長度為7 ms.根據輸入信號的頻譜分析，設置ω0=1 000π rad/s，選擇η=5，系統參數如表1所示.時延放大系統的輸出信號如圖8(b)所示，其中t為采樣時間.從圖8(a)中可以發現，由于傳聲器之間的距離十分微小，3個輸入信號幾乎重合在了一起；而圖8(b)中輸出信號間的時延清晰可見，這說明時延放大系統能夠有效地放大信號間的時延.觀察圖8(b)可以發現，輸出信號的初始部分并不穩定，這是由瞬態響應引起的，但由于阻尼的作用，輸出信號迅速趨于穩定，且穩定后的信號具有與輸入信號相同的頻率.

圖8 輸入信號與輸出信號的時域圖對比

圖9 輸入時延與輸出時延的估計結果

為了進一步驗證系統的時延放大特性，探究時延放大對聲源定位的影響，對聲源位于不同方位的情況進行了研究.保持θ=20°不變，α=0°～45°，間隔角度為5°.利用基本互相關方法對時延放大系統的輸入時延及輸出時延進行估計，估計結果如圖9所示.圖9中，輸入時延理論值τin_12與τin_13由式(20)計算得到，輸出時延理論值τout_12與τout_13由式(15)計算得到.從圖9(b)可以看出，對于所有的聲源方位，輸出時延都明顯大于輸入時延，且估計結果與理論值曲線吻合良好，驗證了時延放大系統的有效性.在圖9(a)中，隨著α減小，τout_12的估計結果逐漸偏離理論值曲線.這主要是由兩方面因素導致的：① 輸出時延與理論值間存在一定的近似誤差(見圖3(a))，該誤差影響相對較??；② 測試系統存在一定的加工、安裝及測試誤差，使得聲源方位與設置值間存在偏差，該誤差稱為系統誤差.在實際應用中，由于系統誤差往往可以通過誤差補償的方式進行消除，這里不做討論.觀察圖9(a)和(b)可以發現，對于不同的聲源方位，時延估計結果可能相同，這意味著時延分辨率將限制聲源的方位分辨能力.此外，由于時延放大系統的作用，輸出時延對聲源方位變化的靈敏度提高，時延分辨率的影響被削弱，這意味著時延放大系統將有利于提高聲源的定位精度.

(22)

圖10 有無時延放大系統時的定位誤差對比圖

有無放大系統的定位誤差對比如圖10所示.從圖10中可以看出，無放大系統時，誤差波動較大；而引入放大系統后，誤差波動明顯減小，但隨著α減小，誤差有增大的趨勢，這主要是由系統誤差引起的.除去系統誤差較大的方位(θ,α)=(20°,0°)，經過時延放大系統處理，定位誤差都得到了明顯的降低，說明時延放大系統有效地提高了聲源的定位精度.

5 結語

高維耦合模型可將輸入信號間的時延進行線性放大，但是放大倍數受到耦合參數及聲信號頻率的影響.本文提出的耦合模型參數設計原則，可確保在不同聲信號頻率下均能取得理想的時延放大效果.通過算法實現了該耦合模型的時延放大功能，使得耦合參數可以根據聲源頻率進行靈活調節，從而精確地控制時延放大倍數，克服了機械系統與電路系統中參數不便于調節的缺點.對時延放大系統進行了實驗驗證，表明該系統能夠按預期放大接收信號間的時延，并有效地提高小孔徑陣列的定位精度.