一種基于PID控制算法的分布參數法壓縮式空氣源熱泵模型

龔光彩, 黃喜文, 周富玉

(1.湖南大學土木工程學院，長沙 410082；2.上海建筑設計研究院有限公司，上海 200040)

空氣源熱泵以其使用方便、能源利用率高、不產生環境污染等特點在中國廣大地區得到了廣泛的應用?？諝庠磯嚎s式熱泵系統包括單級壓縮式空氣源熱泵和多級壓縮式空氣源熱泵。在進行空氣源熱泵研究時，做實驗的成本相對較高，耗時長，所以很多學者選擇建立數學模型來進行仿真模擬。

許多學者提出了多個模型來模擬空氣源熱泵的性能，但這些模型主要采用集總參數法建立。如王偉等[1]通過集總參數法建立了單級壓縮式空氣源熱泵的聯合數學模型，通過實驗數據驗證，模型誤差在10%以內。Caskey等[2-3]，在EES(engineering equation solver)中建立了雙級壓縮式空氣源熱泵的模型，來預測不同氣候下的熱泵性能。Chen等[4]建立了帶有中間換熱器的雙級壓縮式空氣源熱泵系統模型，并得出該系統不適宜于室外環境溫度在-20 ℃情況下使用。姚楊等[5]用分布參數法建立了空氣源熱泵冷熱水機組空氣側換熱器結霜的穩態模型，得到了影響結霜的主要因素。趙宗彬等[6]針對空氣源跨臨界CO2熱泵系統，采用分布參數法建立了氣體冷卻器、蒸發器和中間換熱器的數學模型,并將其耦合為整個系統的數學模型,通過實驗驗證了數學模型的計算結果。運用集總參數法構建整個單級和雙級壓縮空氣源熱泵模型雖然計算快速簡便，但集總參數法沒有考慮換熱器(蒸發器、冷凝器和中間換熱器)的有限傳熱問題，只有充分考慮換熱器的傳熱才能使模型更加符合實際的傳熱過程。分布參數法則考慮了換熱器的有限傳熱，但其計算量大且耗費時間長。

基于此，將比例積分微分(proportional-integral-derivative，PID)控制算法應用于分布參數法建立的換熱器模型和整體熱泵系統的計算模型，從而建立了一種基于PID控制算法的全系統循環分布參數模型。為壓縮式空氣源熱泵系統的仿真模擬提供一種快速又可靠的算法模型。

1 全系統循環分布參數法空氣源熱泵模型

1.1 熱泵模型

圖1為單、雙級壓縮式空氣源熱泵的物理模型。其中單級壓縮式空氣源熱泵模型的主要組件包括蒸發器、冷凝器、膨脹閥和壓縮機；雙級壓縮式空氣源熱泵模型的主要組件包括蒸發器、冷凝器、中間換熱器、低壓壓縮機、高壓壓縮機、一級膨脹閥和二級膨脹閥。采用分布參數法分別建立了單、雙級壓縮空氣源熱泵的整體模型，在模型循環計算中加入了PID控制算法，來減少模型計算過程中的循環量。

圖1 壓縮式空氣源熱泵物理模型Fig.1 Physical model of a compressed air source heat pump

雙級壓縮式空氣源熱泵模型計算是從高壓壓縮機的排氣出口的參數算起，這里假定了高壓壓縮機出口的排氣溫度。以此為起點，依次計算出冷凝器、中間換熱器、蒸發器、低壓壓縮機和高壓壓縮機模型的輸出參數，每個模型的輸入參數為上一個部件模型的輸出參數，最后計算出高壓壓縮機的輸出參數，將計算溫度與之前假設的溫度進行對比。如果前后兩個溫度的差值不滿足精度的要求，則將該差值作為輸入參數，代入PID控制模型中。經過PID控制器的比例、積分和微分環節得出一個新的假設的溫度代入整體熱泵模型重新計算，如果比例參數、積分參數和微分參數設置合理，前后溫度的差值的絕對值會逐漸變小，當其差值減小到設定精度值以下時，計算才會自動停止。圖2為基于PID控制算法的雙級壓縮式空氣源熱泵全系統循環分布參數模型的流程圖。

Tr為假定的高壓壓縮機出口的排氣溫度；j_Tr為計算的高壓壓縮機出口的排氣溫度圖2 基于PID控制算法的雙級壓縮式空氣源熱泵全系統循環分布參數模型的流程圖Fig.2 Flow chart of full-system cyclic distribution parameter model of two-stage compression air source heat pump based on PID control algorithm

1.2 冷凝器模型

在研究冷凝器的傳熱問題時，忽略了換熱管的軸向傳熱，將其看成是一維傳熱問題。管內制冷劑的流動視為一維均相流動，且不考慮壓降。采用分布參數法對換熱器建模時，將換熱器分成若干微元段，每一微元段的傳熱系數和制冷劑及空氣的熱物性參數都看成一個固定值，因此，每一微元段的換熱過程是按照集總參數法來計算的。每一個微元管段按照集總參數法計算之后，將各個微元管段相加即是總的換熱器的計算結果。如果換熱器管道長度的計算值與實際值不滿精度要求，將其誤差代入PID控制模型中，得到一個新的輸入參數進行下一個循環，直到計算結果與實際值之間的差值滿足設定精度才停止計算。圖3為冷凝器模型的計算流程圖。

Lc為冷凝器的實際管長；j_Lc為冷凝器的計算管長圖3 冷凝器模型計算流程圖Fig.3 Condenser model calculation flow chart

對冷凝器建立換熱模型時分為三個部分：空氣側的對流換熱過程、制冷劑側的對流換熱過程和在傳熱過程中空氣與制冷劑的能量守恒。

根據能量守恒定律，空氣與換熱管的對流換熱量等于空氣自身能量的變化量：

dl(Afη+Ao)[tw-(to+ti)/2]αa=macpa(tao-tai)

(1)

式(1)中：dl為微元管段的長度，m；Af為單位長度管段的管外翅片的外表面積，m2；η為翅片的傳熱效率，可以根據文獻[7]中的相關公式來計算；Ao為單位管長不含翅片的表面積，m2；tw為微元管段的管壁溫度，K；ti和to分別為微元管段入口處和出口處的空氣溫度，K；αa為微元管段空氣側的傳熱系數，W/(m2·K)，可以根據文獻[8]里的相關公式來計算；ma為空氣的質量流量，kg/s；cpa為空氣的定壓比熱容，kJ/(kg·K)。

根據能量守恒定律，制冷劑與冷凝器換熱管的換熱量等于制冷劑自身能量的變化：

dlAi[(Ti+To)/2-tw]αr=mr(hi-ho)

(2)

式(2)中：Ai為微元管段管內側單位長度的表面積，m2；Ti為微元管段入口處制冷劑的溫度，K；To為微元管段出口處制冷劑的溫度，K；αr為微元管段制冷劑側的換熱系數，W/(m2·K)。當制冷劑的狀態是單相流體時，制冷劑的對流換熱系數可以采用文獻[9]里的相關公式來計算；當制冷劑的狀態是兩相流體時，對流換熱系數可以采用文獻[10]里的相關公式來計算;mr為制冷劑的質量流量，kg/s；hi和ho分別為微元管段入口處和出口處制冷劑的焓，kJ/kg。

考慮到制冷劑與空氣之間總體的能量守恒，可以用式(3)來計算：

macpa(to-ti)=mr(hi-ho)

(3)

1.3 中間換熱器模型

在對套管式換熱器建模之前，要先判斷進入套管式換熱器的制冷劑的狀態。已設定內管的制冷劑是經過膨脹閥1絕熱節流之后的狀態，套管外的制冷劑是經過冷凝器而直接分流過來的狀態。因此，內套管的制冷劑的入口狀態可分為兩相態和過冷液態兩種狀態。考慮到冷凝器內可能換熱不充分的情況，外套管的制冷劑的入口狀態也可分為兩相態和過冷液態。圖4為中間換熱器微元段的廣義傳熱模型，圖5為中間換熱器的計算流程。

圖4 中間換熱器微元段廣義模型Fig.4 Generalized model of micro-element of intermediate heat exchanger

Lm為中間換熱器的實際管長；j_Lm為中間換熱器的計算管長圖5 中間換熱器的計算流程圖Fig.5 Calculation flow chart of the intermediate heat exchanger

對中間換熱器建模時，將內套管壁微元段的溫度均看作相等,不考慮熱量的軸向傳遞，熱量僅沿著垂直于管線方向傳遞，且也不考慮外套管與環境的換熱。

根據能量守恒定律，對于外套管，套管外制冷劑與套管管壁的對流換熱量等于套管外制冷劑自身能量變化量：

dlUwAw(trw-tw)=mrw(Hi-Ho)

(4)

式(4)中：Uw為微元段外管制冷劑的對流換熱系數，W/m2·K；計算方法與冷凝器的制冷劑側的換熱系數相同，這里不再累述；Aw為外管的單位管長內表面積，m2；Tw為外管制冷劑的溫度，K；tw為內外管壁的溫度，K；mw為流過外管的制冷劑的質量流量，kg/s；Hi為微元段外管的入口的焓值，kJ/kg；Ho為微元段外管的出口的焓，kJ/kg；

對于內管而言，內管制冷劑的換熱方程為內管制冷劑與管壁的對流換熱量等于內管制冷劑自身能量變化量為

dlUnAn(tw-Tn)=mn(Ho-HI)

(5)

式(5)中:Un為內管的制冷劑的對流換熱系數，W/(m2·K)；An為內管的單位管長內表面積，m2；Tn為內管制冷劑的溫度，K；mn為流過內管的制冷劑的質量流量，kg/m2；Ho為微元段內管制冷劑的出口焓值，kJ/kg；HI為微元段制冷劑的入口焓值，kJ/kg；

在建立內外管的能量平衡方程時，分兩種情況討論：當制冷劑為單相態時，制冷劑的焓變化量為制冷劑的顯熱變化量：

Hi-Ho=Cpr(Ti-To)

(6)

當制冷劑為兩相態時，制冷劑的焓值變化量為制冷劑的潛熱變化量:

Hi-Ho=γ(xi-xo)

(7)

式中：cpr為單相制冷劑流體的定壓比熱容，kJ/(kg·K)；Ti為微元段單相制冷劑流體入口的溫度，K；To為微元段單相制冷劑流體出口的溫度，K；xi為微元段兩相制冷劑流體入口的干度；xo為微元段兩相制冷劑流體出口的干度；

總體來看，內管制冷劑能量的增加量等于外管制冷劑能量的減少量:

mn(Ho-Hi)=mw(Hi-Ho)

(8)

1.4 蒸發器模型

蒸發器模型的建立方法與冷凝器相同，唯一的區別是制冷劑的入口狀態需要分過冷液態和兩相態兩種情況討論，這里不再累述。為了避免壓縮機內出現濕壓縮情況，通過調整蒸發器管長，增大換熱面積，保證蒸發器制冷劑出口狀態為氣態。圖6為蒸發器的計算流程。

Le為蒸發器的實際管長；j_Le為蒸發器的計算管長圖6 蒸發器的計算流程圖Fig.6 Flow chart of the evaporator

1.5 壓縮機模型

用分布參數法建立壓縮機的熱力學模型時：將制冷劑的壓縮過程按照時間分成若干個微小的過程，每一個微小的過程可以看作內部制冷劑的熱力學參數恒定。每一個微小過程的結束的制冷劑的參數就是下一個微小過程的初始參數。將所有微小過程的壓縮過程計算結束之后，再對所有微小的壓縮過程相加，即為整個壓縮機的模型。制冷劑的壓縮過程看作絕熱壓縮過程。

假定制冷劑氣體為理想氣體，因此該壓縮過程就變成了理想氣體的絕熱壓縮過程，可以表達為

(9)

式(9)中：Ti為吸入口制冷劑的溫度，K；To為排氣口制冷劑的溫度，K；Pi為吸入口制冷劑的壓力，Pa；Po為排氣口制冷劑的壓力，Pa；nr為制冷劑的絕熱指數。

2 實驗對比

2.1 單級壓縮式空氣源熱泵模型的對比

2.1.1 建立CPAD模型

CPAD是熱工系統研究領域的熱工仿真軟件，是研究熱力循環和熱力系統的有力輔助工具，該軟件內部有各種諸如壓縮機、膨脹閥、換熱器、內燃機、動力機等各種已經建成的熱力學模型，使用者只需在其中根據自己的需要直接組裝即可。圖7為利用CPAD所建立的單級壓縮式空氣源熱泵模型。

S1、S2、S3、S4分別為不同的管路；THR1表示膨脹閥；HTR1表示蒸發器；CMP1表示壓縮機；CLR1表示冷凝器圖7 CPAD建立的單級壓縮空氣源熱泵模型Fig.7 Single-stage compressed air source heat pump model established by CPAD

2.1.2 實驗測試方案和測試儀器

為了對比CPAD軟件建立的模型與用分布參數法建立的模型質量的好壞，于2018年1月在湖南省韶山市游客換乘中心進行了單級壓縮式空氣源熱泵系統的測試實驗。實驗所采用的單級壓縮式空氣源熱泵機組為廣州中宇冷氣科技發展有限公司生產的型號LSFR-16 1(ZD)的機組。熱泵機組的額定制熱量為17.25 kW，制熱工況下額定輸入功率為4.77 kW。冷凝器和蒸發器均為風冷式換熱器，壓縮機為定頻壓縮機。測試系統由壓力測量儀器，溫度測量儀器，流量測量儀器，電量測量儀器和數據采集系統組成。圖8為實驗測試場地。

圖8 實驗測試場地Fig.8 Experimental test site

冷凝器出口制冷劑流量用超聲波流量計測量，冷凝器和蒸發器進出口制冷劑的溫度用熱電偶測量，機組的耗電量通過智能電表測量。壓縮機進出口壓力用壓力傳感器測量。圖9為單級壓縮式空氣源熱泵實驗設備系統圖。

圖9 單級壓縮式空氣源熱泵實驗設備系統圖Fig.9 Single-stage compression air source heat pump experimental equipment system diagram

2.1.3 實驗結果分析

圖10為CPAD模型和分布參數法模型的相對誤差對比。通過觀察圖10，可以明顯看出采用CPAD建立的集總參數模型遠遠偏離了實驗結果；而用分布參數法建立的單級壓縮式空氣源熱泵模型與實驗結果擬合較好。經過計算實驗和模型模擬的數據，采用CPAD建立的模型的模擬結果和實驗數據的平均偏差為81.5%，產生的最大偏差為162%，最小偏差為14.9%；而采用分布參數法建立的單級壓縮式空氣源熱泵模型的計算結果與實驗數據的平均偏差為8.7%，產生的最大偏差為57.7%，最小偏差為0.7%。由此可見，采用分布參數法建立的單級壓縮式空氣源熱泵模型，由于考慮了制冷劑和空氣的狀態參數隨著溫度、壓力等條件的變化而變化，大幅度地降低了與實驗數據的誤差。由圖10可以看出，模擬計算結果的趨勢是制熱性能系數(COP)隨著蒸發溫度的降低而降低，而且其模擬數值也和實驗的結果很接近，偏差在可信的范圍之內。因此可以用本文模型來預測單級壓縮式空氣源熱泵的運行特性。

圖10 CPAD模型和分布參數法模型的相對誤差對比Fig.10 Comparison of relative error between CPAD model and distributed parameter method model

2.2 雙級壓縮式空氣源熱泵模型的對比

采用文獻[11]中的雙級壓縮式空氣源熱泵實驗數據進行驗證對比。采用估算法對文獻[11]中的數據進行讀數，并與模擬結果進行對比，將其相對誤差在散點圖上表示，如圖11所示。圖11模擬結果表明，用分布參數法建立的雙級壓縮式空氣源熱泵模型計算的COP的平均相對誤差4.91%，最大相對誤差發生在-24 ℃時，為18.3%；最小相對誤差發生在-2 ℃時，為0.07%。觀察圖11可知，在蒸發溫度為-15～0 ℃時，模型計算的COP更加接近實驗數據。對于高壓壓縮機的排氣溫度，模型模擬計算的排氣溫度的平均相對誤差為2.1%，最大相對誤差發生在0 ℃時，為8.6%；最小相對誤差發生在-4 ℃時，為0.2%。模型模擬的計算結果與文獻[11]中的實驗數據十分接近，且在-15～0 ℃，模型的精確度高于文獻[11]。因此可以用建立的模型對雙級壓縮式空氣源熱泵進行模擬優化研究。

圖11 模型模擬的COP、排氣溫度與實驗結果的相對誤差對比Fig.11 Comparison of the relative error between the simulated COP and temperature of the model and the experimental results

3 模型計算能力分析

圖12為雙級式壓縮空氣源熱泵系統循環計算過程。模型計算選擇的PID控制參數分別為比例參數Kp=0.4,積分參數Ki=0.001 5,微分參數Kd=0.02，計算精度設置為0.1 ℃。從圖12中可以看出，當迭代開始時，隨著迭代次數的增加，計算的排氣溫度與假定的排氣溫度之間的差值迅速減小，當迭代至5次的時候，已經滿足了計算精度的要求。由圖12可知，采用分布參數法和PID控制算法相結合，對壓縮式空氣源熱泵系統進行仿真模擬，不僅可以保證計算的精度，而且可以大幅度地提高計算的速度，節約模型計算的時間[12]。

圖12 雙級式壓縮空氣源熱泵系統循環計算過程Fig.12 Two-stage compressed air source heat pump system cycle calculation process

4 結論

通過分析，得到如下結論。

(1)首先采用分布參數法，建立了單、雙級壓縮式空氣源熱泵的熱力學系統模型，并將PID控制算法應用在模型的計算中，建立了一種基于PID控制算法的全系統循環分布參數模型。

(2)經過實驗數據的對比，單級壓縮式空氣源熱泵模型的模擬結果與實驗數據的平均相對誤差為8.7%，雙級壓縮式空氣源熱泵模型的模擬結果與實驗數據的平均相對誤差為4.91%，均具有不錯的計算精度，因此可以用本文模型對壓縮式空氣源熱泵系統進行模擬優化研究。

(3)本文模型中加入PID控制算法后，模型的運算速度明顯提升，克服了分布參數法建立的模型運行時間長的缺點。