對微積分學教育教學中構建學生“數學極限思想”的研究

王智勇 王春秀

摘? 要：文章針對努力實現“高職教育培養高素質技能型專門人才”的目標定位， 解讀數學極限思想概念和數學極限思想的本質特征，從古人數學極限思想萌芽到青年學生的認知模型和認知特質，探索出高等數學中的基礎模塊——微積分學的教育教學中構建學生“數學極限思想”的路線圖。

關鍵詞：極限思想;本質特征;認知模型;路線圖

Abstract： To achieve the object of cultivating many professionals with special skills and abundant competence， this paper firstly analyzes the concept of mathematic limits ant its essence. Next， according to college students' cognition traits， it finds out one route to building the thinking model of mathematic limit in giving a lecture on calculus.

Keywords： concept of mathematic limits; essence; cognition model; route

微積分學作為高等數學之基礎，絕不僅僅是解決問題的工具，其中蘊涵著博大的科學思想之一——“數學極限思想”，是數學教育教學不可忽視的，正如日本數學家、數學教育家米山國藏在其專著《數學的精神、思想和方法》中論述到：“無論對于科學工作者、教師人員，還是數學教育工作者，最重要的就是數學的精神、思想和方法，而數學知識只是第二位的。”[1]“如果教師們利用數學教科書，向學生們傳授這樣的精神、思想和方法，并通過這些精神活動以及數學思想、數學方法的活用，反復地鍛煉學生們的思維能力……縱然把數學知識忘記了，但數學精神、思想、方法也會深深銘刻于腦海里，長久地活躍于日常的業務中。”[1]可見，學生將數學知識忘卻了以后，剩下的核心成分是數學精神和數學思想方法。然而，現實狀況是，在高職高等數學教育教學中，普遍存在重視數學理論教學和數學理論應用教學，而忽視了“深深銘刻于腦海里”的起到重要教育意義的人文思想之一——“數學思想”。這種現狀，與“教書育人”的基本原則相悖，與習近平總書記提出的“三全育人”的總體要求不相適應，與高職教育培養高素質技能型專門人才的目標定位相差甚遠。挖掘高等數學教育教學中的數學思想，全方位多角度地開展學生思想素質教育，提高高職數學教育教學效能，成為高職院校數學教育工作者必須面對的課題。本文從數學極限思想的本質特征、青年學生的認知模型的視角，探索出高等數學中的基礎模塊——微積分學的教育教學中構建學生“數學極限思想”的路線圖。

一、數學極限思想概念和數學極限思想本質特征的解讀

（一）數學極限思想概念的解讀

所謂數學極限思想，是指用極限概念、極限性質、極限準則、極限公式和極限運算方法、極限分析方法，進行認識問題、判斷問題、邏輯證明問題、嚴密分析問題和解決問題的一種數學思想。“數學極限思想”構成的理論體系在于：

第一，數列極限概念及數學表達式;

第二，函數極限中的自變量六種變化過程及數學表達式;

第三，函數極限概念及數學表達式;

第四，極限性質和極限準則;

第五，極限運算法則和極限運算方法;

第六，函數極限的兩個重要極限公式：

第七，極限的一系列分析方法;

第八，無窮大、無窮小的概念，無窮小的性質，無窮大與無窮小的關系等。

（二）“數學極限思想”的本質特征

數學極限思想不僅貫穿整個微積分學理論，而且在高等數學的微分方程、級數理論、積分變換、概率論與數理統計等，以及建筑工程、機械工程、電子通信、信息工程、自動化控制工程等方面都有廣泛的應用。“數學極限思想”揭示了一系列對立統一及矛盾相互轉化的辯證規律：

第一、它揭示了無限與有限的對立統一關系。“無限”與“有限”是反映事物發展變化的不同程度，兩者既有聯系，又有本質的不同。例如，無限個循環小數的和，不是一般的代數和，把它定義為“部分和”的極限，就是借助于極限的思想方法，從“有限”來認識“無限”的，從“已知”世界探尋“未知”世界。例如：

第二，揭示了常量與變量的對立統一的關系。按照辯證唯物主義觀點，“變”是絕對的，經常的，永恒的，而“不變”是相對的。“變”與“不變”反映了事物變化發展與事物相對靜止的兩種不同狀態，但它們在一定條件下又可以相互轉化，這種轉化是“數學極限思想的有力杠桿之一”。例如，要求變速直線運動質點在某一時刻的瞬時速度，用初等方法是無法解決的，困難在于速度是變量。為此，人們觀察到很小很小的時間段內，速度改變也很小很小，把小時間段內的變速運動，看成勻速運動，用勻速代替變速，并求其平均速度，再把瞬時速度定義為運動時間段無限短的平均速度的極限。

第三，揭示了直線與曲線的對立統一的關系。“曲線”與“直線”有著本質的差異，但在一定條件下也可相互轉化，在生活中的木桶由等長的小矩形木板鑲成的，小矩形木板的寬為短直線段，而木桶的上下底面圓周為圓周弧線，在這里，“直線形”與“曲線形”實現了轉換。恩格斯在《自然辯證法》一束中感嘆道：“直線和曲線在微分中終于等同起來了。”[2]善于利用這種對立統一關系是處理數學問題的重要手段之一，例如直線形的面積容易求得，求曲線形的面積問題用初等數學方法是不能解決的。

第四，揭示了量變和質變的辯證規律。量變的積累，到達一定的程度能引起質變，質和量的互變規律是辯證法的基本規律之一。例如，生活中的蔬菜茄子，不是一個規則的圓柱體。當我們將茄子平放在菜板的平面上，用垂直于菜板的平面，不停地截茄子，任取其中的薄片茄子，仔細觀察，這一薄片茄子幾乎變成了一個薄薄的圓柱體。再把茄子截得越薄，則薄片茄子就無限接近一個規則的薄圓柱體，而規則的圓柱體的體積有公式計算，計算得來的體積，是一個近似值，進而將每個薄片茄子的體積（近似值）進行無限疊加（求和）后，再取極限（積分），就能計算出茄子的體積。這種“分割——取近視——求和——取極限”的過程中，就是數學極限思想的直接應用。

第五，揭示了近似與精確的對立統一關系，兩者在一定條件下也可相互轉化，這種轉化是高等數學應用于實際計算的重要訣竅。例如，微分的近似由變量比計算公式：

二、古代極限思想的萌芽與青年大學生的認知特質解讀

（一）古代極限思想的萌芽

在生產力落后的古代，我們的祖先對有限、無限問題認識不斷深化，逐漸形成數學極限思想的萌芽。公元前三世紀戰國時期出現的《莊子·天下篇》中有：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的名言，萌芽出了無限細分的極限思想;到了公元三世紀，我國三國時期的數學家劉輝，將莊子的無限細分的極限思想，用在了圓的面積的計算，他在《九章算術》中采用了正多邊形對圓周不斷分割，得出“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失”的無限逼近的數學極限思想方法。

（二）高職大學生的認知模型和認知特質的解讀

從認知的總體視角看，認知發展是從初級向高級，從簡單到復雜方向發展的。青年大學生歷經小學到中學系統的連續的學習和接受教育，認知得到極大的發展，其認知過程和認知能力，都是多層次的，多結構的。具體體現在：

（1）青年大學生們注意力的集中性和穩定性，得到了很好的發展，注意力達到成年人的水平;

（2）青年學生們記憶的自覺性和目的性，得到很大的提高，能堅持運用有意義的識記方法;

（3）青年學生們的理解能力也有很好的發展，對學習內容，能尋找內在聯系，抓住主題，分清重點;

（4）青年學生們的抽象思維能力在不斷發展，經歷了感知行動思維、具體抽象思維和抽象邏輯思維等階段。

（5）盡管青年學生們的這些認知能力具有個體差異性和觀察的不確定性，但是，學生們的認知水平都會遵循認知數學模型：

三、微積分學的教育教學中，構建高職學生“數學極限思想”的路線圖

（一）在微積分學的教學內容中挖掘“數學極限思想”

對學生而言，數學問題（案例）提出和思考的過程，數學概念的理解和建立過程，數學方法（性質或規則）的形成和運用過程，數學原理（定理）的理解和證明過程，數學規律的熟悉和掌握過程等，都是高職學生數學思想感覺、發現、提出、滲透、理解、提煉、歸納和逐步建立的過程，也是學生數學思想歸納、總結和深化的好時機，更是數學老師挖掘數學教學內容中的數學思想，對蘊含在不同數學教學內容中看似“碎片化”分散的數學思想，進行條理化和系統化整合的好路徑。例如極限理論知識教學中的數列極限概念及數學表達式、函數極限中的自變量六種變化過程及數學表達式、函數極限概念及數學表達式、極限性質和極限準則、極限運算方法，函數極限的兩個重要極限公式，以及極限的一系列分析方法等極限知識，不僅僅是構成極限理論知識和極限分析方法，而且蘊含了豐富的數學極限思想，有待數學教師在數學極限教育教學中挖掘出“數學極限思想”，有意識有目的進行數學極限思想教學;又如以數學極限理論知識為基礎，主要研究變量變化的速度和大小問題，建立導數和微分概念及微分學理論，是研究函數性態的有力工具，用微分學分析函數變化形態的過程中，離不開分析討論“常量與變量”、“連續與間斷”、“直與曲”、“凸與凹”、“極大與極小”、“最大與最小”等，用“數學極限思想”揭示的一系列對立統一的辯證規律。微分學的建立和微分學中蘊含的數學極限思想不僅對數學的發展產生了深遠的影響，而且滲透到自然科學、工程技術、社會經濟等各個領域。結合微分學應用的典型例題分析與講解，帶領學生在“用數學”解決實際問題中揭示“數學極限思想”，反過來又用“數學極限思想”分析解決實際問題。

數學極限理論知識、數學極限思想和數學極限方法三者，相互交織，融為一體，需要數學老師在數學教材中認真挖掘數學極限思想，有意識的深化“數學極限思想”的滲透;從極限理論知識、極限方法和極限思想的邏輯角度分析與把握，熟悉教材的知識體系與知識要點的脈絡、地位與作用、重點與難點，還要按照極限實例（案例）、極限概念的建立、極限理論知識的理解、極限計算等知識板塊的教學結構中，挖掘、尋找和總結“數學極限思想”;從數學極限的教學中提煉和概括極限思想，又把提煉和概括的極限思想反饋到極限理論知識的進一步理解、掌握和應用中，一步一步地積累學生的極限理論知識和形成學生自覺行動的數學極限思想，進而形成學生全面的極限理論知識和極限思想體系。

（二）在數列極限和函數極限的一系列概念形成的過程中滲透“極限思想”

數學極限概念的教學，是建立在已有的基礎知識和熟悉的典型事例的前提下，與學習理解新知識之間建立起內在聯系，包括數學極限問題的提出→極限概念初步形成→極限概念的建立→極限概念的概括和極限符號的準確表達等內容。教學中用幾何圖形的直觀表達，讓學生更容易理解抽象的極限概念及其表達式、極限性質和極限準則等，形成數學極限思想的初步印象;用典型的數學極限例題分析，幫助學生在用極限概念、極限性質、極限公式和極限運算方法解決問題的過程中，加深極限概念的理解，熟悉極限公式和極限運算方法的應用，逐步建立數學極限思想。

數學極限概念包括數列極限、自變量無限增大時函數的極限、自變量無限趨近于某一點時函數的極限、自變量無限趨近于某一點時函數的單側極限（即左極限和右極限）。人類對數學極限的認識，不是一蹴而就的，經歷了數學極限認識的萌芽→極限深入思考的困惑→極限概念的深刻認識與表達的過程。數學家對數學極限的認識和定義，進行了艱苦的探尋過程，直到19世紀，德國數學家威爾斯特拉斯提出嚴格化靜態化的極限定義，即為“ε-Ν”函數f（x）在x→∞時的靜態化極限定義：

數學家威爾斯特拉斯“ε-Ν”靜態化極限定義的成功，在于消除了歷史上關于極限各種模糊的表述，諸如“最終比”、“無限趨近于”、“無限接近于”等等，消除了歷史上形成的多年的“貝克萊悖論”。數學家威爾斯特拉斯極限定義中發明的“ε-Ν”數學語言表達方式的奧妙在于，正數ε>0（不論它多么小）是任意給定的，蘊含了辯證的邏輯思想：

其一，正數ε具有確定性，一旦給定，就不能變了;

其二，正數ε具有任意性，在選定之前，具有變化的特性，可以看成變量;

其三，只要給定正數ε，總存在正數y>b。即是說正數ε與正數y之間建立了某種對應關系，即函數關系。

這一嚴謹科學的極限定義，清晰地表達了函數極限中蘊含的“流動性，不確定性和無限性”思想和過程邏輯確定性思想;這一嚴謹科學的極限定義，具有數學語言獨特表達的抽象性，學生理解這一函數極限的定義有困難，教師在教學過程中，用生活中或發生過較容易理解的直觀的案例，多角度全方位的分析講解，引導學生理解和建立極限概念中的“流動性，不確定性和無限性”思想和過程邏輯確定性思想。

數列{xn}收斂于a的幾何意義：

1. 將數列{xn}中的項，放置于數軸上時，數列{xn}收斂于a就意味著對于無論多么小的正數ε，對于區間（a-ε，a+ε）（即為點a的領域 U（a+ε）），總存在正整數N，使得數列{xn}的點列x1，x2，x3，x4......xn......的第n個點xN，以后所有的點xN+1，xN+2，xN+3，......都落入鄰域 U（a+ε）內。

2. 如圖1所示

3. 數列{xn}極限定義中的正數ε，是任意給定的，正整數N是隨著正數ε的給定而確定的。

通過對數列極限的“代數分析”、“ε-Ν”極限定義分析、理解“ε-Ν”數列極限定義、數列{xn}收斂于a 的幾何意義分析，讓學生多角度全方位理解數列極限概念，多重理解數列極限和數列極限概念，不僅僅起到深入理解數列極限概念，而且加深了數列極限方法的掌握，建立了數學極限思想。

（三）在數學極限問題解決過程中深入揭示 “數學極限思想方法”

單純的教授數學方法，無論是在解答數學題，還是解決實際問題，學生很難做到熟練掌握，多數學生在很長時間段都停留在簡單的模仿階段，學到的數學方法也是一些“套路式”的方法。這些“套路式”的方法，缺乏活的“靈魂”或活的“思想”，難以舉一反三，靈活運用。

數學的特點之一，就是具有廣泛的應用性。學習數學的目的在于用好數學，在于用數學理論思考實際問題和解決實際問題，也就是數學老師引導學生學習數學理論的過程，一個應用數學理論探索實際問題與解決實際問題的過程，在這一過程中，有意識的有目的地深入揭示數學思想，有意識的有目的地總結出數學方法，將“數學思想”與“數學方法”有機結合，形成帶有規律性的科學的數學思想方法。數學思想方法一經形成，必然遵循數學原理和數學理論，完全可以指導實踐，完全可以反復用之于實踐，師生在思考、分析、探索和解決實際問題的過程中，反復運用科學的數學思想方法，不僅能提升他們解決實際問題的能力，而且還能夠深化高職學生的數學思想，對高職學生初步形成的數學思想進行整體化和系統化的作用，熟練師生解決問題的數學思想方法，解決實際問題的方法也就變得更有“靈魂”了。

（四）在不同階段的數學知識學習整理中，歸納、概括、總結和深化“數學極限思想”

數學極限思想的教學必須以數學極限知識和數學極限理論為載體，而數學極限思想又常常分布在許多不同的知識點中，在形式上看，數學極限思想體現出了一定的“分散”的特點。這種“分散”，不是簡單的分散，有的分散在數學概念的形成中，如“導數概念的形成”、“無窮小”、“無窮大”、“函數連續”、“定積分概念的形成”等;有的分散在數學問題的解決中，如“曲線上一點處切線的斜率”、 “曲線的曲率”、 “曲邊梯形面積”、“變速直線運動的路程”等;有的分散在數學問題的分析認識中，如“曲線連續與間斷分析”、“曲線性態分析”等;有的分散在數學新理論理解掌握中，如“級數理論”、“積分變換”、“中心極限定理”等。不同的數學知識和理論中蘊含“數學極限思想”方式不同，不同的數學知識和理論中“數學極限思想”的表達形式也不同，不同的數學知識和理論中“數學極限思想”的思維方式更不同。這種“數學極限思想”在數學知識結構中“分散”和表現方式“多樣”的特點，符合“高職大學生的認知特征”，有助于高職學生全方位多角度感悟、認知、理解和掌握數學極限思想;再從辯證法的視角看待，“數學極限思想”在數學知識結構中的“分散”，不是簡單的分開，而是體現在一系列數學概念中、一系列數學理論的結構中和一系列數學理論的應用中，數學課程教學中，既要認真挖掘不同數學知識結構中數學極限思想，又要及時地歸納、概括、總結、提煉和深化數學極限思想，將表現方式的“多樣化”特點的數學極限思想條理化、系統化、層次化和整體化，引導學生有層次地全面地理解數學極限理論知識和數學極限思想，更系統地和整體地思考數學極限概念的產生、極限的性質、極限形成的知識結構、有關極限新知識的展開……，怎樣證明？實質是什么？怎樣應用？等等，構建極限理論、極限思想及其應用的良好的認知結構。

五、結束語

數學極限思想方法蘊含了數學極限思想和數學極限方法，更是數學極限思想與數學極限方法的辯證統一。就現有的數學教材中，都沒有明確提出或單獨提出數學極限思想方法，而是將數學思想和數學方法融入數學教學內容中，滲透到教學的各個環節。教師在教學備課中不僅要鉆研數學教材，博覽數學文獻，而且還要將數學內容中的數學思想和數學方法揭示和挖掘出來，選擇好典型教學案例，結合學生實際，把數學極限思想方法列為具體的教學目的，把數學極限思想方法作為實現“教書育人”的重要內容，開展教育教學。在課程教學中，教師應重視數學思想方法的發現、提出、滲透、提煉、歸納、概括、總結、激活、深化和運用。“只有這樣，才能引導學生抓住數學思想的精髓，學到真正的知識，培養良好的數學思維能力。”[4]

參考文獻：

[1][日]米山國藏.數學的精神、思想和方法[M].四川教育出版社，1986：87-95.

[2]弗里德里希·馮·恩格斯.自然辯證法[M].學習出版社，1998：45-46.

[3]李心燦.高等數學[M].高等教育出版社，2008：55-56.

[4]曹一鳴.數學教學論[M].高等教育出版社，2008：280-232.