基于改進應變楔模型的大直徑樁基水平承載力分析方法

邢康宇，吳文兵，張凱順，劉 浩

(1.中國地質大學(武漢)工程學院，湖北 武漢 430074；2.中國地質大學(武漢) 巖土鉆掘與防護教育部工程研究中心，湖北 武漢 430074)

由于工程建設的需要，大直徑樁基礎的使用越來越廣泛[1]，尤其是多應用于大型橋梁和海上風電機組以承受水平荷載，這些結構物往往對大直徑樁基礎的側向位移有著較高的設計精度要求，因此準確計算大直徑樁基的水平承載力尤為重要。目前關于樁基水平承載力的計算方法有許多，比如m法[2]、彈塑性方法[3]、p-y曲線法[4]和應變楔模型[5]等傳統方法，主要根據樁身側向位移確定樁側徑向地基土反力，以計算樁基的水平響應。大直徑樁基的承載特性往往與中、小直徑樁基有著較大區別[6]，已有研究表明[7-9]，采用上述傳統方法計算得到的大直徑樁基水平承載力往往小于相應的原位試驗實測值，且這一誤差隨著樁徑的增加而變大?；谶@種現象，Liang等[8]基于有限元模擬結果提出了適用于大直徑單樁的p-y曲線；Kim等[9]對p-y曲線的極限地基土反力的計算進行了改進，以考慮樁徑的影響。然而，Gerolymos等[10]指出，對于大直徑樁等基礎的水平承載特性而言，樁側徑向地基土反力并不是抵抗基礎側向位移的唯一作用來源，基礎與地基土體由于接觸位移產生的樁側摩阻同樣發揮了作用。因此，樁側摩阻的影響在大直徑樁基的水平響應分析中不容忽視，而僅對p-y曲線進行修正不能直接反映樁側摩阻的影響。基于這種思想，一些學者將樁側摩阻和樁側徑向地基土反力單獨考慮，對大直徑單樁的水平響應進行計算。如Ashour等[11]基于應變楔模型[5]開展了樁側摩阻對樁基水平承載力的影響研究，但其所采用的應變楔模型忽略了樁身位移線性變化假設會造成的一些問題和矛盾[12]，且其所使用的地基土體應力-應變表達式也較為復雜，僅針對試驗用土而不適于推廣[13]；李洪江等[7]基于m法在樁基水平承載力計算中考慮了樁側摩阻的影響，其計算較為簡便，但無法考慮地基土的非線性力學特點；此外，Borden等[14]指出，大直徑樁基在水平荷載作用下樁底會發生轉動和位移，樁端土體會對樁底變形產生抵抗彎矩和剪力，將對大直徑樁基水平承載力的計算產生一定的影響。而這些研究[7,11]并未同時考慮樁側摩阻、樁端彎矩和樁端剪力對大直徑樁基水平響應的影響。竺明星等[15]基于p-y曲線法同時考慮了上述因素的影響，獲得了樁身位移與受力響應的半解析解，但計算方法較為復雜。

針對上述問題，本文在前人研究的基礎上，不同于p-y曲線法，將傳統的應變楔模型進行了改進，據此計算樁側徑向地基土反力，并考慮樁側摩阻、樁端彎矩和樁端剪力3個因素對大直徑樁基水平響應的影響，建立了基于改進應變楔模型的大直徑樁基水平承載力的計算分析方法。通過算例分析并與現場試驗的實測結果進行對比，驗證了本文方法的可靠性和準確性，在此基礎上進一步研究了樁側摩阻、樁端彎矩和樁端剪力對大直徑樁基水平響應的影響程度，探討了大直徑樁基水平承載能力隨樁徑變化的尺寸效應。

1 大直徑樁基水平響應的計算

1.1 考慮樁側摩阻的樁身側向位移的微分控制方程

大直徑樁基的受力與變形計算分析圖見圖1。以樁頂中點為原點建立坐標系，橫坐標y代表側向荷載作用下樁身產生的側向位移(m)，縱坐標z代表地基埋深(m)。圖中，D和Lb分別表示樁基的樁徑(m)和埋深段樁長(m);pt和Mt分別表示樁身泥面處承受的水平荷載(kN)和彎矩(kN·m)；p表示單位樁長承受的徑向地基土反力(kN/m)，分布在樁身上部和下部被動側，由樁側被動受壓土堆棧 產生，用以抵抗樁身側向位移；τv表示樁側單位面積承受的摩阻(kPa)，即樁側摩阻，由樁身與被動區土體之間產生的接觸位移所引起，將對樁身側向位移產生抵抗作用；Mb和Qb分別表示由樁端土體所產生的抵抗樁底變形的樁端彎矩(kN·m)和樁端剪力(kN)。

圖1 大直徑樁基的受力與變形計算分析圖Fig.1 Diagram for calculation and analysis of force and displacement of large diameter piles

傳統的樁基水平承載力計算方法往往僅考慮徑向地基土反力p的作用，而忽視了樁側摩阻τv、樁端彎矩Qb、樁端剪力Mb的作用，可能無法準確地計算大直徑樁基的水平承載力。本文將分別考慮上述因素，對大直徑樁基的水平承載力應進行計算。大直徑樁身單元體受力圖，見圖2。

圖2 大直徑樁身單元體受力圖Fig.2 Force analysis diagram of large diameter pile element

如圖2(a)所示，任取樁身長度為dz的單元體進行受力分析，其中Q、Q+dQ和M、M+dM分別為單元體上下界面承受的剪力(kN)和彎矩(kN·m)。由水平方向力的平衡，可得：

Q=Q+dQ+pdz

(1)

如圖2(b)所示，Ashour等[11]和李洪江等[7]指出，樁側摩阻τv沿單元體被動側截面的分布服從余弦函數，在截面θ=0處為最大值τvmax，隨著角度θ的增大而減小，在θ=±π/2處趨于0。截面任一角度θ處樁側摩阻τv(θ)可由公式τ(θ)=τvmaxcosθ計算。考慮樁側摩阻對樁身截面彎矩的影響，由圖2(a)中樁身單元體的彎矩平衡，對單元體下界面中心求矩，可得：

(2)

公式右邊的第二項即表示由樁側摩阻τv產生的抵抗彎矩Mr(kN·m)，令：

(3)

略去公式(2)中的高階小量，并結合梁的彎曲公式和公式(1)，可得到樁身側向位移的微分控制方程如下：

(4)

式中：EI為樁身抗彎剛度(kN·m2)；k為樁側徑向地基土反力模量(kN/m2)，k=p/y。

目前確定k值的方法有許多，其中m法[2]等線性方法便于計算，但其僅適用于樁身發生小變形的情況，無法考慮樁側土的非線性特點；p-y曲線法[4]雖可反映地基土的非線性特點，但求解較為繁瑣;應變楔模型[5]通過分析樁-土三維相互作用，可將土體應力-應變關系與樁身位移-土反力關系聯系起來，既能反映土體的非線性特點，且計算又較為方便，故本文利用應變楔模型計算k值。

1.2 改進的應變楔模型

應變楔模型最初由Norris等[5]提出，后經楊曉峰等[12]、Xu等[13]發展，將樁身線性位移假設修正為樁身非線性位移假設，但是所建立的修正應變楔模型僅適用于長徑比較大(樁徑較小)的樁基，僅將樁身位移零點上部被動側土體視為楔形受壓區，以此確定樁身上部楔形土體的k值，樁身下部土體的k值仍通過m法確定。但對于大直徑樁基而言，樁身抗彎剛度較大，樁身下部也將產生位移(見圖1)。因此，本文將大直徑樁基的下部樁側土體也視為楔形受壓區，將楊曉峰等[12]建立的修正應變楔模型進行了改進，推廣至大直徑樁基水平承載力分析中。

如圖3所示，樁側被動受壓區土體被簡化為三維楔形體，對于樁基礎埋深z處楔形土體水平截面有如下受力平衡表達式，從而建立了樁側徑向地基土反力p與楔形土體應力值之間的聯系[5]：

p=S1BCΔσh+2S2Dτh

(5)

圖3 改進的應變楔模型幾何形狀Fig.3 Geometry of modified strain wedge model

(6)

式中：φm為樁側土體的內摩擦角發揮值(°)，與土體的應力狀態相關；τhf為樁側極限水平剪應力(MPa)；φ為土體的峰值內摩擦角(°)。

三維楔形體幾何大小與樁基受荷水平相關，并呈動態變化，在達到極限承載狀態前的任一荷載水平作用下，楔形土體的動態底角βm(°)由下式確定[5]：

βm=45+φm/2

(7)

地基埋深z處楔形土體前置寬度BC可由下式確定：

(8)

式中：Z0為樁身側向位移為零位置對應的地基埋深(m)。

如圖4所示，假設樁身位移在基礎埋深范圍內呈非線性變化，并引入鄧肯-張模型[16]描述楔形土體的應力-應變狀態。同時，為了方便后面計算，結合有限差分法，將樁體與楔形土體進行均勻離散，離散長度為h，埋深段樁長為Lb，在其范圍內樁體與土體離散層數為mLb=Lb/h。依據差分原理、鄧肯-張模型和土體應變莫爾圓原理，任一荷載作用下離散點i處樁身位移yi、樁段i的轉角δi與對應土層i的內摩擦角發揮值φmi、水平應力增量Δσhi、應變εi的關系式如下：

(9)

(10)

根據土體應力發揮水平，由下式可確定土層i的內摩擦角發揮值φmi[5]：

(11)

楔形土體內樁側徑向地基土反力極限值pui(kN/m)可由下式計算：

pui=S1BCΔσhfi+2S2Dτhfi

(12)

圖4 改進的應變楔模型和樁身差分化Fig.4 Modified strain wedge model and discretion of the pile

1.3 樁側摩阻τv、樁端彎矩Mb和樁端剪力Qb的計算

樁身在側向位移過程中，由于土體徑向土壓力與接觸位移的作用，樁-土接觸面會產生切向摩擦力，因此樁側摩阻τv與土體徑向壓應力相關，由應變楔模型可確定土體徑向壓應力峰值σNmax(kPa)：

σNmax=S1BCΔσh/D+γ′z

(13)

進一步地，類似于公式(6)，樁-土接觸面的樁側摩阻最大值τvmax可由下式計算：

τvmax=2σNmaxtanφm≤σNmaxtanφ

(14)

式中：φm與土體應力水平有關，通過φm可以反映樁側摩阻最大值τvmax與土體徑向壓應力峰值σNmax的動態變化關系,將公式(14)代入公式(3)即可確定樁側摩阻引起的抵抗彎矩。Borden等[14]認為在計算大直徑樁基水平承載力時需要考慮樁端抵抗彎矩Mb和樁端水平剪力Qb的影響，關于樁端彎矩Mb的計算，可根據下式確定：

Mb=kbMδmLb

(15)

式中：δmLb為樁端轉角(rad)；kbM為樁端彎矩計算剛度(kN·m)，相應規范[17]中規定kbM可由公式kbM=kνIb計算，其中kν為樁端土體豎向反力系數(kN/m3)，kν=max{mLb,10m}[m為徑向地基反力比例系數(kN/m4)，可根據相關規范確定[2];Lb為樁基的埋深段樁長(m)];Ib為樁底截面的慣性矩(m4)，Ib=πD4/64。

Gerolymos等[10]認為樁端彎矩Mb存在極限值Mbu，竺明星等[15]根據樁端土應力分布規律確定了樁端彎矩極限值Mbu(kN·m)的計算公式如下：

Mbu=πD3qbu/24

(16)

式中：qbu為樁端土單位面積極限承載力(kN/m2)，可根據相應規范確定[2]。

此外，Gerolymos等[10]在研究箱型基礎水平承載能力時建議按下式計算樁端土體水平剪力Qb：

Qb=kbQymLb

(17)

式中：ymLb為樁端土體側向位移(m);kbQ為樁端土體水平剪力計算剛度(kN/m)，可由公式kbQ=2EsD/[(2-ν)(1+ν)]計算，其中Es為樁端土體彈性模量(kPa)。

本文基于公式(17)計算樁端土體水平剪力Qb，并考慮其極限值Qbu(kN)，由下式計算樁端剪力極限值Qbu：

式中：A為樁端截面面積(m2)。

1.4 計算流程

樁端彎矩和樁端剪力對大直徑樁基水平響應的影響可通過樁端的邊界條件進行考慮，由公式(15)和(17)可得樁底的邊界條件為

MmLb=Mb,QmLb=Qb

(18)

式中：MmLb和QmLb分別為樁底離散節點mLb處的彎矩(kN·m)和剪力(kN)。

樁頂自由時，樁頂邊界條件為

M0=Mt,Q0=Pt

(19)

式中：M0和Q0分別為樁身泥面處離散節點0處的彎矩(kN·m)和剪力(kN)。

采用有限差分法對方程(4)進行求解，由圖4所示，根據差分式與微分式的關系，結合樁基兩端邊界條件[見公式(18)、(19)]，可將樁身所有離散節點的位移方程(4)轉化為差分方程組：

[K][Y]=[P]

(20)

式中：[K]為(mLb+1)×(mLb+1)階樁身剛度矩陣;[Y]與[P]分別為(mLb+1)×1階樁身側向位移矩陣和水平荷載矩陣。

通過求解差分方程組(20)，即可得到樁身側向位移矩陣[Y]，差分法的具體計算步驟可參考文獻[18]。

綜上所述，利用改進的應變楔模型，考慮樁側摩阻、樁端彎矩和樁端剪力影響的大直徑樁基水平承載力分析方法的計算流程圖見圖5，據此本文編制了MATLAB求解程序。圖5中，初值矩陣[Y0]可按式[K0][Y0]=[P]計算，其中[K0]可按m法確定。值得注意的是，若采用p-y曲線法計算k值，則差分方程組(20)將變為復雜的非線性方程組，求解較為繁瑣，而當采用應變楔模型時，可將差分方程組(20)轉化為線性方程組，方便計算，這也體現了應變楔模型的計算優勢。

圖5 基于改進應變楔模型的大直徑樁基水平承載力分析方法的計算流程圖Fig.5 Flow chart of calculation procedure of the horizontal bearing capacity analysis method for large diameter pile base based on modified strain wedge model

2 算例驗證與影響程度分析

2.1 算例驗證

Bhushan等[19]開展了7根鉆孔灌注樁的現場水平荷載試驗，試驗樁分別位于3個地基土性質不同的場地中。其中，1～3號樁位于場地A，水平荷載施加在距泥面0.38 m處；4～5號樁位于場地B，6、7號水平樁位于場地C，水平荷載作用點均在泥面處。由于1～3號樁為擴底樁，故本文僅對4、5號樁和6、7號樁進行大直徑樁基水平承載力計算。場地B地基土為成層砂土，深度0～0.9 m為粉砂，深度0.9～5.5 m為泥質粉砂，土體密實度分別為77%和88%，土體重度均為16.5 kN/m3；場地C地基土也為成層砂土，深度0～1.8 m為粉砂，深度1.8～5.5 m為泥質粉砂，土體密實度分別為38%和92%，土體重度均為16.5 kN/m3。4、5號樁的樁徑分別為0.61 m和0.91 m，抗彎剛度EI分別為1.53×105kN·m2和7.6×105kN·m2;6、7號樁的樁徑分別為0.91 m和1.22 m，抗彎剛度EI分別為7.6×105kN·m2和2.45×106kN·m2。上述試樁埋置深度均為5.5m。

本文采用上述建立的基于改進的應變楔模型，

利用考慮樁側摩阻τv、樁端彎矩Mb和樁端剪力Qb影響的大直徑樁基水平承載力分析方法，計算了上述4組試樁樁身泥面處的水平荷載-位移曲線，并與現場試驗的實測結果以及不考慮上述因素影響的傳統應變楔方法的計算結果進行了對比，其結果見圖6。

圖6 不同試樁樁身泥面處水平荷載-位移曲線Fig.6 Load-displacement curves at the mud surface of different test piles

經計算，4號樁的相對樁長Lb/LT>4，屬于彈性長樁范圍，5～7號樁的相對樁長則為4>Lb/LT>2.5，屬于中短樁，其中LT=(EI/mb0)0.2[b0為計算樁徑(m)][2]。彈性長樁樁身下部水平位移接近于0，因此對于4號樁基水平承載力的計算，則不考慮樁端彎矩和樁端剪力的影響，僅考慮樁側摩阻的影響。依據地基土性質，經試算確定上述計算過程中場地B和C的樁端土單位面積極限承載力qbu的取值均為1 200 kN/m2，土體彈性模量Es的取值均為40 000 kPa，其余的計算參數見表1。

表1 場地B和C土體計算參數Table 1 Computed parameters of the soil of site B and C

由圖6可見，當完全考慮樁側摩阻τv、樁端彎矩Mb和樁端剪力Qb的影響時，本文計算結果與實測結果較為一致，證明了本文建立的大直徑樁基水平承載力計算方法的準確性；而當不考慮上述因素，按傳統的應變楔模型進行計算時，其計算結果對比實測值偏于保守的程度較大，當逐漸增加考慮τv、Qb和Mb的影響時，其計算結果也越來越接近實測值，因此τv、Mb和Qb對大直徑樁基水平承載力的發揮起到有利的作用。較傳統的分析方法，本文方法能更充分考慮地基土體承載力的發揮水平。

另外，由圖6還可以看出，對于同一試樁，當荷載較小、樁身發生小位移時，是否考慮上述因素影響的計算結果差別不大，而隨著水平荷載的增大，不考慮上述因素的計算結果偏于保守的程度顯著增加；當橫向對比4組試樁時，這一保守程度也隨著樁徑的增加而增大。因此，上述因素對樁基水平承載能力的影響程度除了與荷載大小相關以外，還與樁基直徑有密切聯系，這反映了樁基尺寸效應的作用。為了進一步分析樁基尺寸效應，下面分別開展了不同樁基尺寸下τv、Mb及Qb對樁基水平承載能力的影響程度研究。

2.2 樁側摩阻τv、樁端彎矩Mb和樁端剪切Qb對樁基水平承載能力的影響程度分析

按上述算例中場地C中的地基條件，采用本文方法對地基埋深均為5.5 m，樁身土體彈性模量E均為2.26×107kPa，樁徑分別為0.20 m、0.40 m、0.61 m、0.91 m、1.22 m和1.50 m的樁基水平承載力進行了計算，若以樁身泥面處位移20 mm為極限值，則可以計算得到不同樁徑下樁基的極限水平荷載Pu,見表2。

由表2可知，隨著樁徑的增加，樁基的極限承載能力也隨之變大(即樁基尺寸效應)。究其原因，除了樁徑增加以致樁身截面抗彎剛度提高的影響外，τv、Mb和Qb對樁基尺寸效應的發揮也有相應的影響(見圖6)。據此，本文將分析上述各個因素對樁基水平承載能力的影響程度。

表2 樁基極限水平荷載與樁徑的關系Table 2 Relationship between pile ultimate load and pile diameter

結合公式(3)，對公式(2)中的彎矩平衡式沿樁長z進行積分，可以得到下式：

(21)

式中：M(z)為樁身總彎矩(kN·m)；Mrc(z)為樁身累積抵抗彎矩(kN·m)，即抵抗彎矩Mr沿樁長的累積，反映了樁側摩阻τv對水平受荷樁彎矩的影響；MQ(z)為樁身剪力彎矩(kN·m)，由樁身內部剪力Q所形成。

圖7為樁身彎矩的分布規律。其中，圖7(a)為MQ(z)、Mrc(z)和總彎矩M(z)隨樁埋深的變化規律；圖7(b)為Mrc(z)隨荷載的變化規律。由圖7(a)可見，樁身累積抵抗彎矩Mrc(z)沿著樁埋深的增加逐漸累積增加，至樁底處達到最大值；樁身剪力彎矩MQ(z)與樁身總彎矩M(z)的分布規律類似，樁側摩阻所形成的抵抗彎矩Mr可以抑制MQ(z)的發展；樁身總彎矩M(z)因為Mrc(z)的存在而減小。由圖7(b)可見，隨著水平荷載的增加，樁身累積抵抗彎矩Mrc(z)隨之增加。

圖7 樁身彎矩的分布規律Fig.7 Distribution law of pile bending moment

因此，基于樁身累積抵抗彎矩的形成原因、分布特點，本文使用樁身底部累積抵抗彎矩最大值Mrcmax(kN·m)來衡量樁側摩阻τv對水平受荷樁承載能力的影響。

不同樁徑下，τv、Mb和Qb隨荷載水平(Pt/Pu)的變化情況，以及分別單獨考慮樁側摩阻τv、樁端彎矩Mb和樁端剪力Qb相較于不考慮上述各個因素影響時樁身泥面處側向水平位移的降低幅度Δys(%)隨荷載水平的變化情況，見圖8。

圖8 不同樁徑下τv、Mb和Qb對樁基水平承載能力的影響Fig.8 Influence of τv、Mb and Qb on horizontal bearing capacity of pile foundation with different pile diameters

由圖8(a)可見，對于樁側摩阻τv來說，當樁徑較小時(D=0.20 m)時，Mrcmax值趨近于零，側向水平位移的降低幅度Δys也很小，此時計算樁的水平響應時可不考慮τv的影響；而當樁徑較大(D≥0.40 m)時，Mrcmax值以及側向水平位移的降低幅度Δys隨荷載水平的增大而增大，且增加幅度隨著樁徑的增加而明顯增大，此時在計算大直徑樁基水平承載力時不可忽略τv的影響。由圖8(b)、(c)可見，對于樁端彎矩、樁端剪力來說，隨著荷載水平和樁徑的增加，Mb和Qb值也隨之增加，對側向水平位移的降低幅度Δys也呈現出類似的發展趨勢。圖8中Δys反映了上述各個因素對于大直徑樁基水平承載能力的提升程度。通過橫向對比圖8(a)、(b)和(c)可見，τv、Mb和Qb對大直徑樁基水平承載能力呈現出不同程度的有利作用，當工況為樁徑D=1.50 m、Pt=0.8Pu時，樁側摩阻τv的影響(約22%)較樁端彎矩Mb(約20%)的稍大，樁端剪力Qb的影響(約11.5%)最小，因此對于大直徑樁基水平承載力的計算不能僅考慮τv的影響，Mb和Qb的影響也不可忽視；上述各個因素對大直徑樁基水平承載能力的影響程度均隨著樁徑的增加而增大，樁基水平承載能力隨樁徑的提高(即樁基尺寸效應)不僅是由于樁身抗彎剛度的增大，τv、Mb和Qb也發揮了相應的有利作用，因此除樁身抗彎剛度外，樁基尺寸效應是τv、Mb和Qb共同作用的結果。由此可見，對于大直徑樁基水平承載力的計算，十分有必要考慮上述各個因素的影響。

3 結 論

(1) 基于改進的應變楔模型，提出了一種考慮樁側摩阻、樁端彎矩和樁端剪力的大直徑樁基水平承載力的計算分析方法，并通過與現場試驗的實測結果進行對比，驗證了本文方法的準確性。

(2) 樁側摩阻、樁端彎矩和樁端剪力對大直徑樁身水平承載能力的發揮起到了有利的作用，不考慮上述因素時，計算結果偏于保守，保守程度隨樁徑和荷載水平的增大而增加。

(3) 按形成原因，樁身彎矩分布可以拆分為樁身累積抵抗彎矩和樁身剪力彎矩兩部分，樁身總彎矩因為樁身累積抵抗彎矩的存在而減小。

(4) 除樁身抗彎剛度外，樁基尺寸效應是樁側摩阻、樁端剪力和樁端彎矩3個因素共同作用的結果，各個因素的影響程度與樁徑的相關性較大，且樁側摩阻的影響最大，樁端彎矩次之，樁端剪力的影響最小，對于大直徑樁基水平承載力的計算，建議采用本文方法綜合考慮上述各個因素的影響。