多模式并聯機構操作模式變換方法研究

單彥霞 張建偉 于靖軍 韓雪艷 李仕華

(1.燕山大學機械工程學院， 秦皇島 066004； 2.燕山大學里仁學院， 秦皇島 066004；3.燕山大學河北省并聯機器人與機電系統實驗室， 秦皇島 066004； 4.北京航空航天大學機器人研究所， 北京 100191)

0 引言

多模式并聯機構(也稱多操作模式機構)作為一種可重構并聯機構受到了許多學者的關注[1]。多模式機構又稱為運動分岔機構[2-4]，其主要特性是在運動過程中通過約束奇異點改變運動特性，進而變換操作模式，進行變自由度的重構[5]。多模式機構可以利用較少的驅動器實現較多的操作模式，并且操作模式變換時不需要拆卸機構，具有變換時間少的優點[6]。

近年來，多模式機構的研究主要集中在構型綜合和可重構分析。在構型綜合方面，KONG等[7-8]根據變自由度支鏈提出了一種綜合多模式機構的通用方法，并綜合出了一系列多模式機構；方躍法團隊[9-11]通過將含約束奇異特性的單環閉鏈與串聯支鏈結合得到一類特殊的可重構混聯支鏈，并綜合出了一系列多模式機構。在可重構分析方面，文獻[12-13]利用對偶四元數表示平臺位姿，并結合運動學映射分析了SNU 3-UPU并聯機構的操作模式；KONG等[14-15]則利用四元數來表示平臺的姿態，對4自由度3-RER多模式機構和一種具有平面三自由度和3T1R自由度操作模式的變自由度機構進行了可重構分析。上述研究的機構可重構分析都是利用代數幾何對機構的約束方程進行分析，只是約束方程建立的方法有所不同。

多模式機構在構型綜合以及可重構分析方面已經得到了廣泛的研究，但是關于多模式機構的驅動器布置方式以及操作模式間變換的研究并不多見。驅動副數量影響著可以實現的操作模式數量，驅動副的選取也會對機構奇異的特性產生影響，機構中的奇異點往往是自由度切換點，必須考慮如何正確過渡[16]。KONG等[7]提到，驅動關節的最佳選擇和從一種操作模式切換到另一種操作模式的方法仍然是開放問題。CHABLAT等[17]給出了3-PRPiR機構不同操作模式之間轉換的方法，并通過可鎖運動副實現多操作模式。劉偉等[18]綜合了一種新的多模式機構，并通過在支鏈上增加輔助驅動副，實現并聯機構運動模式之間的變換。

現有的多模式機構模式間變換方法還存在對通過約束奇異實現多模式變換的適用性問題。本文結合整體運動/力約束性能指標[19]提出一種實現多模式機構操作模式間變換的方法。該方法采用TCI(Total constraint index)確定機構的近似約束奇異空間，只在該空間內啟動輔助驅動，以實現不同操作模式間的平穩變換，為多模式機構的應用奠定理論基礎。

1 機構可重構分析

機構處于約束奇異時的位形稱為變換位形。操作模式為描述動平臺運動類型的連續位姿集合[7]，也可看作是被約束奇異曲面分割的工作空間的子空間[5]?？芍貥嫹治隹梢缘玫蕉嗄Ｊ綑C構的各種操作模式及操作模式間的變換位形。

使用對偶四元數能更系統地描述動平臺的位姿[20]，對偶四元數可以表示為

Q=x0+x1i+x2j+x3k+ε(y0+y1i+y2j+y3k)

(1)

式中ε——對偶因子，滿足ε≠0且ε2=0

其系數滿足

x0y0+x1y1+x2y2+x3y3=0

(2)

(3)

利用式(3)，任意倍數的λQ(λ≠0)均可轉換為Q，因此滿足式(3)的Q可一一映射為7維射影空間PR7中的點(x0,x1,x2,x3,y0,y1,y2,y3)，式(2)可以看作為PR7中的6維二次曲面S，又稱為Study二次曲面[21]，該6維曲面上的點與剛體在3維空間中的位姿一一對應，齊次變換矩陣M表示為

(4)

式中R——旋轉矩陣p——位移

如圖1所示，通過上述映射，并聯機構的工作空間就可以描述為Study二次曲面上的曲線，曲線p1、p2分別表示操作模式M1、M2的工作空間，并交于變換位形點T，通過位置反解得到的函數f可映射到兩種模式的關節空間q1、q2。

圖1 多模式機構工作空間與關節空間的映射Fig.1 Mapping of workspace and joint space of multi-mode mechanism

1.1 操作模式分析

圖2 多模式并聯機構結構示意圖Fig.2 Structural diagram of multi-mode parallel mechanism

數學上操作模式是機構約束方程的所有相同的不可約正維解的集合，可通過建立多項式約束方程，進行準素分解得到[22]。如圖2所示，包含n個支鏈的n自由度非冗余并聯機構，若假設動平臺的位姿在PR7的坐標為(x0,x1,x2,x3,y0,y1,y2,y3)，則可以建立3類約束方程求解動平臺的位姿：

第1類為Study二次曲面方程g1和歸一化方程g2，即式(2)和式(3)。

第2類為關節參數約束方程gi，描述動平臺位姿與驅動關節參數之間的關系

gi(t,x)=0 (i=3,4,…,n+2)

(5)

其中t=(t1,t2,…,tn)

x=(x0,x1,x2,x3,y0,y1,y2,y3)

式中t——機構驅動關節輸入參數

x——動平臺位姿

第3類為幾何結構約束方程gj，用于描述支鏈關節對動平臺運動的約束限制

gj(x)=0 (j=n+3,n+4,…,2n+2)

(6)

利用代數幾何理論[23]將式(2)、(3)、(5)、(6)組成多項式理想I=〈g1,g2,…,g2n+2〉，先對不含常數項的方程組成的多項式理想J=〈g1,gn+3,gn+4,…,g2n+2〉進行分析，通過數學軟件Maple中多項式理想庫PolynomialIdeals的PrimeDecomposition函數對其進行準素分解

(7)

確定理想I的代數簇為

(8)

其中Ki=Ji∪〈g2,g3,…,gn+2〉

代數簇V(I)可以理解為理想I中方程的公共零點，即該機構整個工作空間，而V(Ki)正是約束奇異曲面分割工作空間后的子空間，即操作模式。每個理想Ki對應一種操作模式Mi，將操作模式Mi對應理想的代數簇V(Ki)代入式(4)可得到這種操作模式的齊次變換矩陣M，通過分析矩陣M可得機構在操作模式Mi時的運動類型。

1.2 變換位形分析

機構的變換位形可通過對各操作模式求交集獲得，操作模式Mi和操作模式Mj的變換位形i∧j的代數簇為

i∧j=V(Ki)∪V(Kj)

(9)

如果交集不為空則該交集為操作模式Mi和操作模式Mj的變換位形，此時機構處于約束奇異狀態。

2 多模式機構驅動空間求解

并聯機構驅動布置方式會影響機構的奇異性、剛度和運動/力傳遞特性等，通常會優先選擇基座副或靠近基座的運動副、移動副作為驅動副[24-25]。將驅動副進行排列組合，構成基礎驅動空間S0。在操作模式Mi下，基礎驅動空間S0中所有合理的驅動組合Acta，稱為操作模式Mi的驅動空間Si。

變換位形的驅動空間是指既可以擺脫奇異位形又可控地進行兩種操作模式間變換的合理驅動組合。為實現Mi和Mj兩種操作模式，驅動的選擇須同時滿足2種操作模式的驅動要求，且能夠消除變換位形i∧j的約束奇異。因此，變換位形的驅動空間Sij為

Sij={Acta∩Actb|Acta∈Si,Actb∈Sj}

(10)

即可得到變換位形下的輔助驅動組合Actc。

支鏈內的約束奇異產生局部自由度時，需要添加額外的驅動來消除該局部自由度，使機構可以從一種操作模式變換到另一種操作模式。

將滿足機構所有操作模式及變換位形要求的驅動組合構成機構的驅動空間，并從中選出最優的驅動組合。驅動組合的優選原則為：①盡量選擇機座副、移動副作為驅動副。②應優先選擇最少驅動副數量的驅動組合。③選擇的驅動副在機構中的位置應盡量對稱。

3 操作模式變換

3.1 近似約束奇異空間

多模式機構在奇異位形及其附近會失去控制。文獻[19]提出了整體運動/力約束特性指標TCI，用于評價并聯機構距離約束奇異位形，范圍為[0,1]，0表示機構處于約束奇異位形。其計算方法如下：

計算輸入端運動/力約束特性指標ICI(Input constraint index)

(11)

式中 $Cij——第i支鏈中第j個約束螺旋

$Rij——第i支鏈中第j個受限運動螺旋

計算輸出端運動/力約束特性指標OCI(Output constraint index)

(12)

式中 $Ci——動平臺受到的第i個約束螺旋

Δ$Oi——第i個虛擬輸出螺旋

整體運動/力約束特性指標TCI為

(13)

機構在約束奇異位形附近時約束性能較差，本文以κ=0.3為閾值，即圖1中的虛線c，將約束奇異位形附近κ<0.3的工作空間稱為近似約束奇異空間。

3.2 操作模式變換的過程

圖1中關節空間中的實線表示主動輸入參數，虛線表示被動關節參數。在近似約束奇異空間內，可采用冗余驅動的方法實現操作模式間的平穩變換。操作模式間的變換可分為3個階段：

(1)操作模式Mi進入近似約束奇異空間時，如圖1中關節空間中的粗實線所示，啟動輔助驅動組合Actc，操作模式Mi不變，機構按Mi的反解驅動。

(2)到達變換位形時，機構從操作模式Mi變換為操作模式Mj，機構按操作模式Mj的反解驅動。

(3)操作模式Mj離開近似約束奇異空間時，關閉輔助驅動組合Actc。

機構從操作模式Mi變換到操作模式Mj的流程如圖3所示。

圖3 操作模式變換流程圖Fig.3 Flow chart of operation mode transformation

4 實例分析

以SNU 3-UPU機構的兩種操作模式變換為例，分析其變換過程。

4.1 可重構分析

SNU 3-UPU機構由動平臺、定平臺以及3條完全相同的UPU支鏈構成，如圖4所示。每個U副由2個相互垂直相交的轉動副構成，其中與平臺相連的轉動副稱為U副第一轉動副U1，與P副相連的轉動副稱為U副第二轉動副U2。平臺上的U副均勻布置在等邊三角形頂點，U副中的第一轉動副平行于平臺，且指向平臺圓心。定平臺外心圓半徑為r1，動平臺外心圓半徑為r2，支鏈的兩個U副Ai與Bi之間的距離為di。

圖4 SNU 3-UPU并聯機構簡圖Fig.4 Diagram of SNU 3-UPU parallel mechanism

文獻[13]對SNU 3-UPU并聯機構進行可重構分析并得到了9種操作模式，其中2種復數理想對應的操作模式是3T模式的特例，其余7種操作模式如表1所示。

表1 操作模式Tab.1 Operation configurations

各操作模式對應的機構一般位形如圖5所示。由圖5可以看出，在M1、M2、M3操作模式下會出現P副超出其工作范圍或運動副間產生干涉的問題。因此分析其他4種操作模式間的變換，得到4種變換位形，如表2所示。

圖5 SNU 3-UPU機構的操作模式Fig.5 Operation modes of SNU 3-UPU mechanism

以3T操作模式和2T1R操作模式之間的變換為例，說明確定合理驅動及實現模式變換的過程。

4.2 SNU 3-UPU機構驅動空間分析

4.2.1操作模式的驅動空間

根據第2節的輸入選取原則，選取各支鏈機架上的U副第一轉動副U1，第二轉動副U2以及移動副P為驅動副，且各支鏈中僅選取一個驅動副，經排列組合可得到機構的基礎驅動空間S0，共10種驅動組合方式，如表3所示。

表2 變換位形Tab.2 Transformation configurations

表3 SNU 3-UPU的10種驅動組合Tab.3 10 Actuation combination of SNU 3-UPU

注：帶下劃線的運動副為選取的驅動副。

圖6 3T模式的螺旋系分析Fig.6 Screw system analysis of 3T mode

操作模式M4和M5的驅動空間為S4、S5。模式M4有3個平移自由度，建立支鏈坐標系A1X1Y1Z1，如圖6所示。X1軸與第一轉動副U1軸線重合，Y1軸與第二轉動副U2軸線重合，Z1軸按右手法則確定。

根據螺旋理論，支鏈約束螺旋$i(i=1,2,3)為平行于Zi軸的約束力偶。驅動螺旋與非驅動副運動副旋量的互易積為0，且與所有約束力線性無關。

選擇不同的驅動副對應的驅動螺旋及幾何描述如表4所示。

表4 3T模式的驅動螺旋Tab.4 Actuation combinations of 3T operation mode

由表4可知，該操作模式下合理的驅動空間為S4={Act 1, Act 2, Act 3, Act 4, Act 5, Act 6, Act 7, Act 8, Act 9, Act 10}，即表3中的10種驅動組合均滿足該操作模式的驅動要求。

同理對模式M5進行分析，其支鏈螺旋系以及約束螺旋系如圖7所示。對表4所列驅動螺旋進行線性相關性分析可知，該操作模式合理的驅動空間為S5={Act 7, Act 8, Act 9, Act 10}，即表3中的4種驅動組合滿足該操作模式的驅動要求。

圖7 2T1R模式的螺旋系分析Fig.7 Screw system analysis of 2T1R mode

4.2.2變換位形的驅動空間

圖8 變換位形的螺旋系分析Fig.8 Screw system analysis of transformation configuration

根據式(12)可得該變換位形的驅動空間為

(14)

4.3 3T模式與2T1R模式間變換

4.3.1近似約束奇異空間

(15)

式中φ——繞Z軸的轉角，(°)

對應位姿隨時間的變化曲線如圖9所示。

圖9 SNU 3-UPU機構動平臺位姿變化曲線Fig.9 Position and pose change curves of moving platform of SNU 3-UPU

分析3T模式與2T1R模式的近似約束奇異空間。在3T模式下(圖6)，3-UPU機構存在3個約束力偶旋量$Ci和3個輸入端單位受限運動旋量$Ri，分別為

(16)

式中sij——與螺旋$ij指向相同的矢量

bi——固定坐標系原點O到Bi的矢量

將式(16)代入式(13)可得機構在不同動平臺高度時XY平面的TCI指標性能圖譜，如圖10所示。

圖10 SNU 3-UPU機構在3T模式時的TCI指標性能圖譜Fig.10 TCI performance atlases of SNU 3-UPU mechanism in 3T mode

分析2T1R模式的近似約束奇異空間(圖7)。3-UPU機構存在3個約束力線矢旋量$Ci和3個輸入端單位受限運動旋量$Ri，分別為

(17)

將式(17)代入式(13)可得機構在動平臺繞Z軸不同轉角時XY平面上的TCI指標性能圖譜，如圖11所示。

圖11 SNU 3-UPU機構在2T1R模式時的TCI指標性能圖譜Fig.11 TCI performance atlases of SNU 3-UPU mechanism in 2T1R mode

機構在3T和2T1R操作模式下沿軌跡運動時的TCI指標變化曲線，如圖12所示。機構在3.48 s時到達近似約束奇異空間，由式(15)可得，此時動平臺中心點在基坐標系中的位置為(8.54, 5.19, 6.08)mm；機構在t=5 s時TCI指標值為0，機構處于奇異位形；機構在5.36 s時離開近似約束奇異空間，此時動平臺中心點在基坐標系中的位置為(6.66, 7.45, 0)mm，繞Z軸的轉角φ為19.30°。

圖12 SNU 3-UPU機構在沿軌跡運動時的TCI指標變化曲線Fig.12 TCI change curves of SNU 3-UPU mechanism moving along trajectory

4.3.2模式間變換

3T模式機構的位置反解為

(18)

2T1R模式機構的位置反解為

(19)

模式變換時驅動副輸入曲線如圖13所示，θ1為輔助驅動啟動后的轉角，θ2為輔助驅動關閉后的轉角。在t為0～3.48 s時，機構處于3T模式，輸入式(18)中d1、d2、d3位移進行驅動；在t=3.48 s時，進入近似約束奇異空間(圖中黃色區域)，啟動輔助驅動，輸入參數為θ1=atan2(y,z)；在t=5 s時，到達變換位形，輸入式(19)中d1、d2、d3位移進行驅動，輔助驅動的輸入參數變為θ2=90°；保持輔助驅動輸入參數為θ2=90°不變，直到t=5.36 s離開近似約束奇異空間，關閉輔助驅動。

圖13 3T模式與2T1R模式之間模式變換時的輸入曲線Fig.13 Input curves transforming between 3T mode and 2T1R mode

4.4 仿真分析

圖14 SNU 3-UPU機構的仿真模型Fig.14 Simulation mode of SNU 3-UPU mechanism

建立SNU 3-UPU機構的仿真模型，如圖14所示，動平臺U副中心所在圓的半徑為50 mm，定平臺U副中心所在圓的半徑為100 mm。導入ADAMS中，并按4.3節分析結果設置驅動副參數。

動平臺X、Y、Z方向的位移和Z軸轉角隨時間變化的曲線如圖15所示。由圖15可知，與預定的運動軌跡圖9一致，證明按照該方法驅動可以實現SNU 3-UPU機構3T操作模式與2T1R操作模式之間的平穩變換。

圖15 SNU 3-UPU機構動平臺位姿仿真變化曲線Fig.15 Position and pose simulation change curves of moving platform of SNU 3-UPU

5 結論

(1)提出了一種多模式并聯機構的操作模式間變換方法。該方法基于整體運動/力約束特性指標TCI定義近似約束奇異空間，在該空間內通過添加輔助驅動的方式，實現操作模式之間的平穩變換。

(2)針對提出的方法，制定了不同操作模式間變換的流程，確定了驅動組合的優選原則，得到了合理的輔助驅動，并優選出機構的驅動空間。

(3)以SNU 3-UPU多模式并聯機構為研究對象，進行了可重構分析，得到7種操作模式和4種變換位形，實現了3T操作模式和2T1R操作模式間的平穩變換。