基于改進AK-MCS 法的船舶板架極限強度可靠性分析

羅文俊，王德禹*

1 上海交通大學海洋工程國家重點實驗室，上海200240

2 高新船舶與深海開發裝備協同創新中心，上海200240

0 引 言

近年來由于船舶的極限承載能力不夠，在高海情下，許多船舶出現了局部失效破損甚至引發整體斷裂的海損事故。因此，船舶的極限承載能力是船舶設計中需要重點考慮的方面。目前，國內外學者對于船舶的確定性極限強度的研究頗多，卻鮮有考慮諸多不確定因素的船舶極限強度可靠性研究。

蒙特卡羅（MC）法是計算可靠度最準確的方法，且適用于極限狀態函數為高維度、多峰、強非線性的情況。結合代理模型采用MC 法計算結構的可靠度，只需知道功能函數值的正負號即可，因此要求代理模型盡可能準確擬合極限狀態邊界。邱志平等[1]利用人工神經網絡構建近似模型獲得近似設計點，結合MC 模擬（MCS）計算結構可靠度。Rashki等[2]提出以MC 樣本點的概率密度值作為權重因子，篩選出位于失效區域的樣本點。張亮等[3]采用神經網絡擬合極限狀態函數，從而根據函數映射關系生成大量極限狀態函數值，然后通過MC 概率分析得到結構的可靠度。陳松坤等[4]以樣本點到極限狀態邊界的距離和權重因子同時作為篩選準則，篩選出極限狀態邊界附近的點訓練BP 模型。Xiao 等[5]開發了3 種學習函數，確保了大多數新選擇的訓練樣本點遠離現有樣本點，并且使其盡可能接近極限狀態函數，在不考慮初始樣本不確定性的情況下產生確定的結果。侯國祥等[6]采用神經網絡擬合應力函數，結合MCS 計算內燃機的可靠度指標。Lü等[7]提出結合Kriging模型和線性采樣的主動學習可靠性分析方法（AK-LS）法，通過構建的主動學習函數H 篩選出對提高Kriging 模型精度最好的樣本點，以較少的樣本點構造高精度Kriging 模型。Echard 等[8]提出了結合Kriging 模型和MCS 的主動學習可靠性分析方法（AK-MCS），引入了一種學習函數U，通過將失效面附近的點和預測誤差較大的點篩選出來，以較少的樣本點實現了對極限狀態邊界的高度擬合。Zheng 等[9]提出 基 于改進AK-MCS 中U 函數的可靠性分析方法，通過采用U 函數篩選出初步最佳樣本點，然后再篩選出與初步最佳樣本點預測值異號且距離其最近的樣本點，通過這兩點連線，生成n 個等分點，再通過U 函數篩選出這n+2 點中U 函數值最低的點,作為最佳樣本點加入訓練集更新Kriging 模型。

AK-LS 方法的優點在于采樣點分布在整個設計空間，全局預測精度好；不足之處是Kriging 模型的后期更新效率較低，收斂速度較慢。AK-MCS方法的優點在于采樣點主要集中在極限狀態邊界附近，極限狀態邊界的擬合精度高，且后期收斂較快；不足之處在于Kriging 模型前期全局擬合精度較低，導致更新效率較低，收斂速度較慢［11］。

本文將充分利用以上兩種基于主動學習的可靠性分析方法的優勢，采用新的序列采樣篩選準則UH，并使用K 折交叉驗證（K-fold cross validation）法作為序列采樣停止準則，提出改進的AK-MCS 方法，對船舶板架的極限強度可靠性進行研究。使用該方法評估船舶實際航行中局部結構失效破損概率，尤其針對船舶局部較危險結構進行可靠性研究。本文對于船舶板架極限強度可靠性的研究具有重大意義。

1 改進AK-MCS 方法

1.1 學習函數U

在AK-MCS 方法中，Echard 等［8］引入了一種學習函數U：

式中：G?(X)和σG?(X)分別為Kriging 代理模型預測值的均值和方差。通過計算所有樣本點的U 值，將U 值最小點作為下一個最佳樣本點加入到實驗設計（DOE），同時將G?(X)值接近于0 的點（即失效面附件的點）和σG?(X)值較大的點（即預測誤差較大的點）篩選出來，以更新Kriging 模型。這種方法的優點在于不需要優化算法來識別添加到DOE 的下一個樣本點，便于使用Matlab 建模軟件中的DACE 工具箱。

1.2 學習函數H

Shannon［10］在1948 年 提 出 了“信 息 熵”的 概念，信息熵是對信息的量化度量。熵隨著變量不確定性的增大而增大，分析變量所需的信息量也隨之增大。Lü等［7］提出了結合Kriging 模型和線路抽樣法（LS）的主動學習可靠性分析（AK-LS）方法，其中引入了基于信息熵的學習函數H：

式中：f(G?(X)) 為G?(X) 的正態分布概率密度函數；H(G?(X)) 為G?(X) 的 混 亂 度，可 以 用 來 判 斷G?(X)的不確定性。若某點的信息熵越大，預測越不準確，該樣本點對提高代理模型精度的作用越大。

1.3 樣本點篩選準則UH

AK-MCS 方法中，樣本點篩選準則采用學習函數U，通過計算所有MC 樣本點的U 值，選擇U值最小點作為最佳樣本點，加入DOE中更新Kriging模型。這種篩選準則的缺點是Kriging 模型前期更新效率較低，收斂速度較慢；優點在于采樣點集中在失效面附近，可有效提高Kriging 模型對失效面的擬合精度，且后期收斂較快。AK-LS 方法中樣本點篩選準則采用學習函數H，通過計算所有MC 樣本點的H 值，選擇H 值最大點作為最佳樣本點，加入DOE 中更新Kriging 模型。這種篩選準則的缺點是Kriging 模型的后期更新效率較低，收斂速度較慢；優點在于采樣點分布在整個設計空間，對于前期提高Kriging 模型的全局預測精度貢獻較大。

本文采用的篩選準則結合了這兩種學習函數的優勢。先使用U 函數篩選出少量分布在失效面附近的候選樣本點，然后采用H 函數從候選樣本點中篩選出對提高Kriging 模型精度貢獻最大的點。即結合兩種學習函數，在每一輪迭代中篩選出對提高Kriging 模型擬合極限狀態邊界精度貢獻最大的樣本點。這種新的篩選準則既能有效保證Kriging 模型的精度，又能提高效率，減少了調用功能函數的次數。

1.4 迭代停止準則

本文迭代停止準則采用K 折交叉驗證［5］。將原始DOE 數據均分成K 組，每個子集分別做一次驗證集，剩下的K-1 組子集作為訓練集，生成K 個代理模型。根據每個代理模型計算失效概率，迭代停止準則為

1.5 收斂準則

在MC 方法中，MC 樣本容量應足夠大才能確保失效概率的準確性。尤其是對于失效概率非常低的情況，需要大量MC 樣本點。可根據變異系數評估樣本點數量nMC對失效概率計算結果的影響［12］。

每次迭代停止時，需要對輸出的變異系數進行校核，以確保樣本容量足夠大。本文取變異系數C.O.VPf≤0.05。

1.6 改進AK-MCS 方法的計算流程

改進AK-MCS 方法（AK-MCS（UH））的建立具體步驟為：

1）在設計空間中采用MC 采樣生成樣本集S，所有樣本點均不調用有限元模型（FEM）。

2）生成訓練集。采用拉丁超立方（LHS）采樣生成少量樣本點，生成的樣本點調用FEM 計算得出響應集，建立初始DOE。

3）根據初始DOE，使用DACE 工具箱建立Kriging 模型。

4）用Kriging 模型預測S 集中樣本點的響應值，采用MC 法計算失效概率P?f。

5）采用樣本篩選準則UH篩選出最佳樣本點X。

6）開始停止迭代準則判斷。若滿足停止條件，則進入下一步，否則將樣本點X 加入DOE 中，返回步驟3）。重復上述步驟，直到滿足停止準則。

7）進行收斂準則判斷。檢查失效概率的變異系數C.O.VPf，保證該次試驗有足夠多的樣本點。若計算結果低于設定值，則輸出失效概率，流程結束；否則生成新的MC 樣本點，加入到S 集，返回步驟4），重復上述步驟，直至滿足收斂準則。

以上步驟的流程圖如圖1 所示。

在實際工程應用中，訓練集中樣本點的響應值往往需要通過耗時的有限元計算得到，訓練集過大意味著計算成本巨大。而本文方法致力于以最少的樣本點建立具有足夠精度的Kriging 模型，從而盡可能減少調用有限元模型的次數，縮減計算成本。

圖1 改進AK-MCS 方法流程圖Fig.1 Flow chart of improved AK-MCS method

1.7 算例展示

為驗證本文提出的改進AK-MCS 方法的有效性和適用性，引用了文獻［8］的一個非線性振蕩器數學算例，其物理模型如圖2（a）所示。采用不同可靠性方法計算對比。該振蕩系統的動態響應，如圖2 所示。

圖2 非線性振蕩器Fig.2 Nonlinear oscillator

該模型的功能函數為［8］

獻［8］。6 個變量均為各自獨立的隨機變量，其分布范圍如表1 所示。

表1 非線性振蕩器設計變量特性Table 1 Nonlinear oscillator design variable characteristics

基于MC 抽樣的7×104個樣本點，分別運用MC 法、AK-MCS（U）法、AK-MCS（H）法 以 及AK-MCS（UH）法等對樣本點進行求解，所得結果如表2 所示。

表2 非線性可靠性計算結果Table 2 Nonlinear reliability calculation results

表2 中，功能函數調用次數“24+70”為24 個初始樣本點加上70 個篩選樣本點。對比結果可以看出：AK-MCS（UH）方法計算的失效概率與MC法的結果一致，說明AK-MCS（UH）方法具有良好的計算精度；AK-MCS（UH）法僅調用了58 次功能函數，比AK-MCS（U）少調用了36次，比AK-MCS（H）少調用了42 次，顯著減少了功能函數的調用次數；AK-MCS（UH）的 計 算 時 間 為14 min，比AK-MCS（U），AK-MCS（H）的計算時間各減少了7和16 min，說明AK-MCS（UH）法提高了求解效率。

2 基于改進AK-MCS 法的船舶板架極限強度可靠性分析

由縱骨和橫梁組成的板架結構是船舶結構的主要組成部分，因此有必要校核船舶板架的極限強度。在求解船舶板架的極限強度時，材料特性、板厚及載荷等都具有一定的隨機性，會對船體板架極限承載能力的計算結果產生影響，因此需要對船舶板架結構極限強度可靠性進行研究。本文將基于改進的AK-MCS 方法對文獻中［13］一艘蘇伊士型油船的船底板架進行極限強度的可靠性研究，截取船舶中加筋板計算其在組合載荷下的失效概率。幾何模型如圖3 所示。

圖3 加筋板幾何示意圖Fig.3 Geometric diagram of stiffened plates

加筋板承受中拱彎矩σx，hg作用，底板承受橫向水壓力P。加筋板模型的功能函數為

G=σU-σx，hg（6）

式中：G＜0 為結構失效；σU為加筋板的極限承載能力，即在橫向壓力、縱向彎矩組合載荷下的極限強度，調用有限元模型計算；σx，hg為加筋板在中拱狀態下的實際承載壓力，可根據Shu 等［13］提出的經驗公式進行計算。

以上各式中參數含義如表3 所示。

表3 加筋板模型參數Table 3 Stiffened plate model parameters

該計算模型選用了縱向雙跨距的1/2+1+1/2單根加筋板模型，如圖4 所示。本模型同時考慮了幾何尺寸與外載荷的不確定性，加筋板模型參數如表3 所示。

圖4 加筋板有限元模型以及焊接初始變形（比例因子為50）Fig.4 Finite element model of stiffened plates and initial deformation of welding（scale factor is 50）

圖5 為尺寸取設計值時加筋板在極限狀態下的有限元計算結果。

從圖5（b），圖5（c），圖5（d）可知，板架的失效模式分別由梁柱屈曲失效、桁材腹板失效和加筋側傾失效3 種失效模式耦合組成。

圖5 加筋板極限狀態下有限元模型計算云圖（變形放大倍數為8）Fig.5 The finite element calculation cloud chart of stiffened plate under limit state（deformation magnification is 8）

本算例對比了文獻［4］的改進蒙特卡羅法（BP-MC）［4］和文獻［13］采用MCS 以及結合二階響應面的MC 模擬（RS-MC）計算的加筋板的失效概率。同時，采用AK-MCS（U）法，AK-MCS（H）法以及AK-MCS（UH）法對其進行求解，計算結果如表4 所示。

表4 加筋板可靠度計算結果Table 4 Stiffened plate reliability calculation result

由表4可知，改進AK-MCS方法（AK-MCS（UH））計算得到的失效概率最接近MC 方法的計算值，具有較高的計算精度。且僅需調用有限元模型181 次，比AK-MCS（U）法、AK-MCS（H）法 和BP-MC 法各少調用84，102 和38 次，是6 種方法中調用有限元模型次數最少的可靠性方法，有效降低了計算成本，對于船舶板架結構極限強度計算具有較好的適用性。

3 結 論

在工程實際應用中，通常保留了非常大的安全裕度，因此失效概率非常小。在此情況下，難以進行可靠性評估，尤其是當單次有限元模型仿真耗時較長時，計算成本將非常龐大。船舶結構極限強度可靠性分析具備以上特點，為此本文提出了改進AK-MCS 法，并將其應用于組合載荷作用下的船底板架極限強度可靠性分析，得到如下主要結論：

1）改進AK-MCS 法具有較高的求解精度和效率。以非線性振蕩器數學模型為例，驗證了該方法的可行性。可見，改進AK-MCS 法的計算結果與MC 法結果一致，且顯著減少了調用功能函數的次數和計算時間，在保證求解精度的同時提高了計算效率。

2）改進AK-MCS 法在船舶板架極限強度可靠性研究中具有良好的適用性和高效性，與MC法計算結果相比，計算誤差只有5%，與文中其他方法相比最接近于MC 法的計算結果，且調用有限元模型次數比原方法減少了32%，有效降低了計算成本。

本文所提改進AK-MCS 方法具有較好的繼承性，適用于其他行業的高可靠度工程結構問題，也可以與智能優化算法結合進行可靠性優化設計。