借助GeoGebra 的3D作圖功能認識空間解析幾何中的平面與曲面

閆 湛，楊付貴

(廣州工商學院，廣州 510000)

1 GeoGebra軟件簡介

GeoGebra軟件[1-2]誕生于2002年，是由美國佛羅里達州亞特蘭大學的Markus Hohenwarter教授設計出的一款結合幾何、代數、微積分和概率統計的免費動態數學軟件。不同于需要編程的MATLAB軟件，這款軟件簡單易學，作圖快捷高效，可以利用滑動條在3D繪圖區展示圖形動態的形成過程。目前的最新版本是GeoGebra 6.0，美中不足的是新版軟件導出中缺少了GeoGebra 5.0版本中的動畫模式。

2 借助GeoGebra,認識空間解析幾何中的平面和曲面[3-5]

2.1 借助GeoGebra,認識空間解析幾何中的平面

高等數學(同濟版)第8章第三節平面及其方程中提及到對于一些特殊的三元一次方程應該熟悉它們的圖形特點，但只靠語言的描述無法提高學生的想象力，因此，對這部分的描述利用GeoGebra軟件進行恰當舉例繪制，用以輔助教學，加深學生對特殊情況的理解。

例如：對于平面的一般方程Ax+By+Cz+D=0

當A=0時，方程成為By+Cz+D=0，法向量n=(0,B,C)垂直于x軸，方程表示一個平行于(或包含)x軸的平面，不失一般性，在GeoGebra軟件中拖動滑動條B、C、D使其值由-5變動到5，得到了如圖1所示的效果圖。同理，可在軟件中觀察Ax+Cz+D=0和Ax+By+D=0分別表示一個平行于(或包含)y軸和z軸的平面。

圖1 平行于(或包含)x軸的平面Fig.1 Plane parallel to (or containing) the x-axis

當A=B=0時，方程成為Cz+D=0，法向量n=(0,0,C)同時垂直于x軸和y軸，方程表示一個平行于(或重合于)xOy面的平面，不失一般性，在GeoGebra軟件中拖動滑動條C、D使其值由-5變動到5，得到了如圖2所示的效果圖。同理，可在軟件中觀察Ax+D=0和By+D=0分別表示一個平行于(或重合于)yOz面和xOz面的平面。

圖2 z=ycotα平面Fig.2 Plane of z=ycotα

2.2 借助GeoGebra,認識空間解析幾何中的曲面

2.2.1 借助GeoGebra,認識空間解析幾何中的圓錐面

圓錐面是由直線L繞另一條與L相交的直線旋轉一周所得的旋轉曲面。若在GeoGebra軟件中輸入函數z=ycotα，當確定了α值時，就會在3D繪圖區出現一個包含x軸的平面，如圖3所示。

圖3 平行于(或重合于)xoy面的平面Fig.3 Planes parallel to (or overlapping with) the xoy plane

圖4 圓錐面Fig.4 Conical surface

圖5 z=ycotα直線Fig.5 Line ofz=ycotα

輸入滑動條θ角度使空間中的直線能繞某一條直線轉動一周構成旋轉曲面，調出曲面命令：曲面(直線、旋轉角度、旋轉軸)即可得到如圖5所示的效果圖。

2.2.2 借助GeoGebra，認識空間解析幾何中的拋物柱面

圖6 拋物運動Fig.6 Parabolic motion

圖7 拋物柱面Fig.7 Parabolic column face

當滑動條a從-5變動到5時，母線就可以沿著拋物線運動，得到的運動軌跡就是拋物柱面，效果圖如圖7所示。