探討微積分中極限的計算方法

郎曉琴 帥昌浩

摘? 要：極限思想是微積分的基本思想，是一系列重要概念比如導數、連續、定積分等的理論基礎，也是很多問題的求解工具。正確掌握極限的運算方法和運算技巧，對學好高等數學具有重要意義。該文通過歸納和總結，主要介紹了求解極限的幾種方法，并針對每種方法給出了例題的解析，以期讀者能從中獲取一些解題的靈感，使解題思路更加清晰。

關鍵詞：微積分? 極限? 函數? 計算方法

Abstract： Limit thought is the basic idea of calculus， is the theoretical basis of a series of important concepts such as derivative， continuity， definite integral and so on， and Its also a tool for solving many problems. It is very important to master the method and skill of limit calculations correctly when we learn higher mathematics. By concluding and summarizing， this paper mainly introduces several methods to solve the limit， and gives some examples for each method， so that readers can catch some inspirations from solving the problems.

在微積分這門課程中，極限的概念占有重要的地位，并以各種形式貫穿全部內容，是微積分研究的重要工具，因此掌握好極限的求解方法是學好微積分的關鍵所在。該文就求極限的一些方法和技巧做一個比較全面的概括和總結，并通過舉例的形式對這些方法做一個說明。

1? 極限計算主要方法

利用函數的連續性求極限具體如下。

定理：若函數f在點x0連續，g在點μ0連續，μ0=f（x0），則復合函數g。f在點x0處連續。此方法簡單易行但不適合于f（x）在其定義區間內是不連續的函數，即f（x）在x0處無定義的情況。

9? 利用泰勒公式求極限

對某些較復雜的函數，用常規方法來做相對比較麻煩或者求不出來，利用泰勒展開式來求極限有時就顯得比較方便，實際上前面提到的無窮小替換方法只是用函數的一階泰勒展開式帶入，有些時候用一階泰勒展開式帶入是不夠了，需要用更高階的泰勒展開式帶入進去才起作用。在求極限時通常用到的是帶有皮亞諾型余項的麥克勞林公式：

在做的時候，根據不同的函數選擇合適的階數和余項。

例9：求極限。

思路分析：由于分母通過無窮小替換后是，所以分子中的泰勒展開式中只需要展開到含有這一項和的泰勒展開式中只需要展開到含有這一項就足夠了。將各自的泰勒展開式帶入后約掉，就很容易求出極限來。

10? 結語

以上方法是在高等數學里求極限的重要方法。在做求解極限的題目時，僅僅掌握以上方法而不能夠透徹清晰地明白以上各方法所需的條件也是不夠的，必須要細心分析仔細甄選。一個求極限的題目，所用到的方法也不止一個，大家在能夠融匯貫通，選擇出適當的方法，這樣不僅準確率高，而且會省去許多不必要的麻煩，起到事半功倍的效果。筆者作為學生，認識和理解水平有限，該文只是針對最常見的極限的計算方法展開討論，歸納總結了9種方法，所例舉的例子也相對簡單，希望這些計算方法對學習極限的同學有所幫助。

參考文獻

[1] 彭舟.數學分析同步輔導[M].3版.北京：高等航空工業出版社，2005：7.

[2] 張香云，王家軍.高等數學[M].3版.北京：中國農業出版社，2018：8.

[3] 同濟大學數學系.高等數學[M].7版.北京：高等教育出版社，2014：8.

[4] 李永樂，王式安.復習全書[M].5版.北京：西安交通大學出版社，2017：1.

[5] 楊國華.函數極限的計算方法和技巧歸納[J].數學學習與研究，2012，7（11）：83-84.