淺談在三角函數中靈活運用‘1’解題

張衛峰

三角函數是高中數學教材中的一個重點內容，也是高考數學?？嫉闹R點，也是學習地理學，物理學中力學電磁學的基礎，就像張景中院士指出：“在中學數學課程中，三角函數的內容至關重要，三角函數不僅是連接幾何與代數的一座橋梁，還是溝通初等數學與高等數學的一條通道?！币虼苏莆杖呛瘮档暮愕茸冃畏矫娴募记?，不僅在考試中能夠為解題節省很多時間，而且對學習數學知識和其他學科知識的學習都有著重要的意義。本篇論文只簡要的從下面幾個方面淺談如何靈活巧妙利用三角函數恒等變形處理“1”并解決相關問題。

1 利用特殊角的三角函數值等于1解題

在三角函數中，有一些特殊角的三角函數值等于1，例如，，，等，下面主要以常見?？嫉暮蜑槔齺碚勥\用公式解題。

1利用（）解題。

例1.化簡

分析：可能會有很多同學認為這已經是最簡形式，其實它還有更簡單的形式——利用兩角和的正切公式變化，這就需要對原式中的相關“1”用代換。

解：原式.

例2.求值

分析：第一種思路，利用代換式子中的“1”來求解;第二種思路，先根據兩角和公式求的值，然后代入中求值。

解法1：===

解法2：∵==

∴====.

例3已知=，求的值.

分析：只要深入挖掘題意，找到，聯想到公式=，問題便可迎刃而解。

解：∵===

∴===

例4.計算。

分析：當時，=

==2

解：原式=

=

2.利用解題.

例5求的值.

分析：由誘導公式=可得，=和===，而=1和，兩個不相關的式子，通過“1”聯系起來，便可對求值迎刃而解，起到事半功陪的效果。

解：===

====

2 利用含有“1”的三角函數等式進行解題

在三角函數中，許多等式中都含有“1”，例如，=1，等多個等式，但是就以最常考最常用的和=1為例來談靈活處理“1”，進行解題。

1.利用進行解題.

例6.求的值.

分析：我們觀察問題中的八個角，可以發現這些角兩兩互余的重要特征，便可聯想到誘導公式=并靈活運用，可將問題轉化到處理，問題便可輕松解決。

解：原式=

=

=

=

例7? 計算

分析：此題看似老吃天，無處下爪。只要我們善于觀察發現這一個重要特征，解決本題也就容易了，但當我們計算下去時會發現出現形式的式子，這樣我們就會聯想到誘導公式得到，從而就可得到，此問題就變得簡單易懂。

解：∵

∴

例8? 求證=

分析：此題中即含有正切有含有余切，要解決此問題，我們就要找到正切余切的聯系點問題就變簡單多了。若從左到右考慮化簡證明，則是遵循化繁為簡的原則，潛在的“1”是解決此問題的關鍵。

證明：式左=

=

=

∵式右=

∴

例9? 在中，求證

證明：當為直角三角形時，等式顯然成立。

當為非直角三角形時，

==

∵

∴=

∴

2利用=1進行解題

例10（2009遼寧高考題）已知，則=（? ?）

A.? ? ? ? ?B? ? ? C? ? ? ?D

分析：利用已知條件，我們很容易想到這道題需要進行“弦化切”，因此，我們利用已知整式中分母為“1”的條件，將“1”轉化為，從而進行解答。

解：

=

∵，∴，故選D

例11（2015年四川）已知則的值是__________

解：因為所以

∵

∴當時，.

例12? （2009年高考江西卷第5題）若則的值為（? ?）.

（A）? ? ? ? ? （B）? ? ? ? ? （C）? ? ? ? （D）-2

分析? 運用解題.

解析? 因為，所以

∴，選（D）.

例13化簡.

分析：原式分子中根號內出現的是的2倍，由此可以聯想到將“1”代換為，從而可用完全平方公式。

解：原式=

例14 求的值.

分析：

解：原式

例15求證=

分析：若式子左邊中的“1”用來代替，則可使式子左邊的分子配方變成，再將分母分解因式，分子分母便可約分化簡。

證明：∵式左=

∴

例16 已知，化簡.

分析：對于含二次根式的代數式化簡，主要是將根號下的被開方數配方成完全平方式，在利用二次根式的性質=進行化簡。觀察此題，利用進行代換.

解：原式=

=

=

=（∵，∴）

=.