淺談多元表征在概念教學中的策略應用

徐志浩

摘 要：小學數學四大領域中，絕大多數的學習對象都可以用實物情境、 教具模型、圖形圖表、言語、書寫符號這五種類型來進行表征（有的可以細分、延伸）。在數學概念教學中，利用多元表征可以多層次地抽象數學概念，多視角地歸納數學概念，多維度地建構數學概念，從而使學生的數學學習深度發生，促進學生數學思維的自然生長。

關鍵詞：多元表征;數學概念;正比例;數學學習深度

【認識】基于理論研究，走近數學多元表征

數學中的“數”主要是指數學中言語化表征，如文字、數字、式子、數學概念、數學性質、數學定理等;相應地，數學中的“形”主要是指數學中視覺化表征，如實物、教學模型、圖像、幾何圖形等。因此，數學學習中，對同一個數學對象，至少可以運用“數”和“形”兩類表征的多種形式表征，這就是數學對象的多元表征。

美國著名數學教育心理學家萊什（Lash）從數學表征在數學學習中交流、認知等作用出發，指出數學學習中有五種外在表征系統（如右圖）：

【窺探】基于問題研究，引領數學概念教學

1 多元表征——發展核心素養的有效載體

隨著課改的推進，如何發展學生的數學核心素養已成為一個關鍵的命題。筆者認為學生的數學核心素養的發展離不開數學概念的支撐，而數學概念學習的核心是理解，多元表征可以從多角度、多維度地幫助學生實現對數學概念的真正理解，使數學學習深度發生，從而發展學生的數學核心素養。

2 多元表征——理解數學概念的有效方式

筆者認為學生必須同時具備以下三個條件才能真正理解了一個數學概念：第一，他必須能將所學數學概念放入不同的表征系統之中;第二，在給定的表征系統內，他能夠很好地處理這個概念;第三，他必須很精確地將此概念從一個表征系統轉換到另一個表征系統中，即在不同的表征系統之間任意切換。

3 多元表征——提升數學思維的有效策略

多元表征，不僅僅給學生提供多元化問題解決方案，更重要的是培養學生多樣化思維方式和習慣，促進學生數學思維品質的全面提升。在學生經歷數學多元表征的過程中，通過不斷的表征轉換，將學生的數學思維水平從具體形象思維推向直觀想象和抽象邏輯思維層次，提升學生解決問題的策略水平和數學思維品質。

【深究】基于課例研究，探尋表征實施路徑

1 通觀教材，全面了解知識體系編排

1.1 基于學情現狀，縱向分析單元體系

以人教版為例，知識的結構性比較清晰，但知識的結構性不等于學生認知的結構化需求。雖然人教版教材中有圖、文、表格、圖像等，但知識的認知形式是以邏輯結構來表現的，因此，教材在結構編排上需要追根溯源，著力理解“課時知識內容”的邏輯性結構。

1.2 基于知識本質，橫向比較多版教材

雖然四個版本在學習“正比例”內容時安排了情境、圖表（像）、符號、言語等表征，但仔細品讀各版教材，我們會發現，這些表征呈現的順序各不相同：如人教版和青島版都在一個課時內進行多元表征進行正比例的理解;而北師大版本先理解兩個量的關系，再呈現圖像展開教學;蘇教版則通過兩個課時的呈現進行教學。但無論哪種方式，通過縱向的加深、橫向的對比，進行循環式表征，讓學生對“正比例”的本質進行理解，從而增強學生的認知過程。

2 整體設計，合理運用多元表征建構

2.1 縱向多元表征，多層次抽象數學概念

2.1.1 從情境表征走向圖表表征，探尋關聯變化，用表格展示數量變化關系。

[教學片段]

師：仔細觀察，誰來說一說加油機上的數據有什么變化？

師：為什么體積不斷變化，金額也隨之不斷變化呢？

生1：油量多了，需要的錢自然就多了。

生2：因為金額=油的單價×油的體積，油的體積越大，金額自然也大了。

師：可見，加油的體積和金額是兩種相關聯的量，體積變化，金額也隨著變化。

師：在生活中，你還能列舉出這樣的現象嗎？

師：同學們說得很好！行駛的距離和用油量，行駛的時間和距離，菜的重量和是總價，都是兩個相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨之變化。

師：為了便于同學們觀察，老師選擇了幾組數據，制成下表：

[教學反思]

本環節通過視頻展示加油機顯示屏體積和金額數據不停變化的生活實例，讓學生直觀感受到：油的體積和金額是兩種相關聯的量。接著讓學生列舉一些生活中的具體事例，學生從加油到汽車行駛中的耗油、汽車行駛時間與距離，以及買菜等，通過言語表征進一步理解兩種先關聯的量，一種量變化，另一種量也隨之變化。最后通過數據提取、列表表征，讓學生進一步感受到體積和金額變化的關系，為接下去的學習做好鋪墊。

2.1.2 從數量表征走向符號表征，探尋單值對應，用字母表示數學變化規律。

[教學片段]

師：如果將表格繼續畫下去，我們可以用什么方法表示體積和金額呢？

生：可以用字母X表示體積，用字母Y表示金額。

師：X和Y可以任意表示體積和金額？你也能說一組X和Y的數據嗎？

生1：X可以是7.00，此時Y是54.60。

生2：X可以是10.00，此時Y是78.00。

師：當X取一個數時，Y就是一個和它對應的數。怎么判斷Y對不對呢？

生1：用單價7.80元乘體積就知道了。

生2：也可以用Y的數值除以X的數值，看是否等于7.80元。

師：雖然體積變化，金額也隨之變化，但金額和體積的比值始終都是7.80。也就是

師：你能用字母表示他們之間的關系嗎？

生：

[教學反思]

本環節緊緊抓住兩種變化量的單值對應，在變化中尋找不變量，并能用字母表示它們之間的關系。教師在學生充分實踐的基礎上總結提出：用X和Y表示兩種相關聯的變化量，用k表示這兩種變化量對應的數的比值，如果Y/X=k（一定），我們就說X和Y是成正比例的量，它們的關系就是成正比例關系。在學生充分理解的基礎上進行總結，顯得水到渠成。

2.1.3 從符號表征回歸情境表征，密切聯系生活，準確判斷正比例關系。

[教學片段]

●師出示：王師傅生產零件的情況如下表：

（1）表中兩種相關聯的量是什么？你是怎么看出來的？

（2）寫出幾組相對應的工作總量和工作時間的比，比較比值的大小。

（3）工作總量和工作時間成正比例嗎？為什么？

●師出示：李師傅做同一種服裝，做的套數和用布米數如下表：

做的套數和用布米數成正比例嗎？為什么？

●師出示：先填表，再回答問題

（1）正方形的周長與邊長成正比例嗎？為什么？

（2）正方形的面積與邊長成正比例嗎？為什么？

[教學反思]

本環節設計三個逐漸深入的實踐應用，第一層次是引導性實踐應用，通過三個問題組成的問題串全面回顧關聯變化量的單值對應和數量關系，學會判斷兩個變化量成正比例關系的方法;第二層次為檢測性實踐應用，旨在檢測學生能否獨立應用所學方法對新情境兩個變化量進行判斷，看他們是否成正比例;第三層次為綜合性實踐應用，教材提供連個情境非常接近的實際例子，一個是正例，一個是反例，讓學生學會應用所學方法進行靈活正確判斷兩個變量是否成正比例。

2.2 橫向多元表征，多視角歸納數學概念

橫向多元表征可以盡量多地給學生提供概念的具體樣例，多角度呈現數學概念的外延特征，便于學生積累數學概念的感性經驗，引導學生多視角歸納“正比例”概念。

2.2.1 第一次對比

[教學片段]

師：仔細觀察，同樣是行程問題，你們發現有什么相同和不同的地方。

生1：兩輛車的速度不同，一輛每小時60千米，另一輛每小時120千米。

生2：表示第一輛車速度的線比較緩，還有一輛車速度的線比較陡。

師：同學們能用手勢比畫一下嗎？

生3：雖然這兩輛車的速度不同，但每一輛車都是勻速在行駛的。

師：誰能聽明白他的意思？

生：他的意思是表格內相對應的路程除以時間，都等于60或者120。

將兩個情境的各類表征進行對比，在對比中讓學生自主發現、探討、理解，只要是每個情境中路程與時間的比值始終相同，也就是一定，那么這兩個量就成正比例，并且通過圖像表征，更加直觀地感受到，雖然正比例圖像看上去不一樣，但本質還是在于兩個相關聯的量的比值一定。通過這樣的橫向對比，在不知不覺中將“正比例”概念及意義進行內化、鞏固。

2.2.2 第二次對比

[教學片段]

師：仔細觀察這兩個例子，你們發現有什么相同和不同的地方？

生1：兩個例子的情境不同。

生2：這兩個例子中兩個數據的比值都是60。

生3：雖然兩個量的比值都是60，但是兩條線傾斜地不一樣。

將兩個不同情境的表征進行對比，引導學生更為本質地觀察與發現，雖然情境不同，但每個情境中的比值都是一定的;雖然比值一定都是60，但是所呈現的圖像卻又不一樣。最重要的是讓學生在感受這些同與不同中發現，真正應該關注的還是兩個關鍵點，一是這兩個量是否關聯，二是這兩個量的比值是否一定。如果符合，無論情境如何、比的值如何、所成圖形中的線傾斜如何，都表示這兩個量成“正比例”關系。

綜上所述，多元表征學習能有效幫助學生深刻理解數學基本知識，扎實掌握數學基本技能，發展數學思維水平，積累數學活動經驗，促進數學核心素養的不斷生長，讓學生的數學學習深度發生。在數學教學實踐中，我們還需進一步加強研究，深入探討其教育實踐價值。

參考文獻：

[1] 吳恢鑾.《多元表征：賦予兒童自我建構概念的思維路徑》.

[2] 席愛勇.《多元表征學習：數學核心素養落地生根的有效范式》.

[3] 吳德娟.《多元表征下數學活動經驗的積累》.