“一題一課”，借助問題串創設問題情境

昆明市第二十四中學 云南省高中數學于雷名師工作坊 劉奕簽

一題一課，就是教師對一個典型問題或某個素材進行深入研究，挖掘內在的學習線索與數學本質，科學合理地組織學生開展數學學習活動，從而完成一節課的教學任務，達到多維目標的過程.問題是特殊的情境，通過設計問題營造教學情境，可以促使學生深入數學問題中，對相關知識有更深刻的理解，而問題串是靶向更明確的情境，通過設計問題串創設教學情境，可以讓數學知識場景化、情景化，讓學生在解決問題的過程體驗中充滿參與感和代入感.因此，在教學過程中，教師可以嘗試以問題串的形式創設教學情境，讓學生在可感知的情境中尋找數學知識的源頭，理解并應用數學知識.那么，我們該如何設計問題串呢？下面，筆者以高三復習課《函數的零點》為例進行說明.

一、以練代講，初設數學情境

在講授高三復習課《函數的零點》時，教師可以利用熱身小題先讓學生進行一個知識回顧.

例1 判斷下列結論是否正確.

（1）函數的零點就是函數圖象與x 軸的交點.（ ）

（2）函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線.若函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點，則f（a）·f（b）＜0.（ ）

（3）函數f（x）=2x3-3x+1 在（-2，2）只有一個零點.（ ）

創設意圖：由題目引入對知識點的復習，比單純復習定義、概念更讓學生有參與感和成就感.

二、一題多解，掌握通性通法

例2 判斷函數f（x）=lnx+1 的零點個數.

解法1：利用零點存在性定理進行解答.∵函數f（x）=lnx+1 的定義域為（0，+∞），在定義域上是增函數，且f（0.001）·f（1）＜0，∴它只有一個零點.

解法2：利用方程的解的知識進行解答.解方程f（x）=lnx+1=0，得x=e-1.∴函數f（x）=lnx+1 只有一個零點.

解法3：利用函數圖象交點的知識進行解答.將f（x）=lnx+1=0 轉化為y=lnx 和y=-1 兩個函數的圖象的交點問題，或轉化為y=lnx+1 和y=0 兩個函數的圖象（即y=lnx+1的圖象與x軸）的交點問題，即可使原問題得以解決.由圖1可知，函數f（x）=lnx+1 只有一個零點.

圖1

變式1：判斷函數f（x）=lnx-x+1 的零點個數.

圖2

解法2：對于本題，我們可以利用方程的解的知識加以解決，也可以利用函數圖象交點的知識加以解決，即將f（x）=lnx-x+1 轉化為y=lnx 和y=x-1 兩個函數的圖象的交點問題加以解決.求導可知，y=lnx 在（1，0）處的切線是y=x-1，進而可知它們的圖象只有一個交點（圖3）.

圖3

創設意圖：用“函數的零點”“方程的實根”“圖象的交點”這三組“近義詞”分別對應的不同方法解決同一個問題及其變式，可以讓學生在解決問題的過程中深刻理解這三個概念區別和聯系，從而讓學生掌握解決這類問題的通性通法.

三、自主編題，以情境創造意境

仿照例題解答上述變式題后，教師可以讓學生嘗試自己編題.在變式1 所給的函數f（x）=lnx-x+1 中加入參數a（a≠0），即可得到各不相同的變式題.

變式2：判斷函數f（x）=lnx-x+a 的零點個數.

變式3：判斷函數f（x）=lnx-ax+1 的零點個數.

變式4：判斷函數f（x）=alnx-x+1 的零點個數.

創設意圖：教師引導學生先進行自主編題，再開展合作探究，并對變式題進行解答和總結.在學生總結零點問題的解決方案、闡述本節課的收獲后，教師進行點撥升華.

四、后記

在“一題一課”中進行問題串設計，借助問題串創設問題情境，可以讓學生的思考由淺入深，提升學生的數學核心素養.該案例由一個主問題引入，以問題串創設問題情境，通過變式訓練及學生自主編題，完成了對知識的梳理和復習，融合了多種方法，對“零點”“交點”“根”這三個概念進行了一個整合.這樣的問題情境直達本節課的靶心，通過一題多解、多題歸一有效地提升了學生的思維層次，實現了學生在課堂上的高效學習.這一過程對素材進行了深挖掘、詳分析，大大提升了學生對問題本質的探索，有效地提升了學生的數學核心素養.