基于教科書中的閱讀材料，合理創設問題情境

昆明高新區第三中學 云南省高中數學于雷名師工作坊 唐明超

2019 年12 月進行的云南師大附中2020 屆高考數學第五次模擬測試第20 題是一道圓錐曲線題，由于學生的得分情況不理想而引起筆者的高度關注.經過與學生交流，筆者發現，學生學習完圓錐曲線的新課后，對橢圓具有“從一個焦點發出的光線經橢圓反射后，反射光線一定經過橢圓的另一個焦點”這一性質有一定的印象，而且在平時的練習中也碰到過直接利用該性質求解的相關試題，但是大多數學生卻不清楚該性質背后的數學本質以及該性質的證明方法，導致他們在有限的考試時間內無法完成對這類問題的思考與正確解答.基于此，筆者決定就該問題開展微專題教學，擬定課題名稱為《圓錐曲線的光學性質及其應用》.

1.教學內容及目標.

基于學生的實際學情，結合課程標準的相關要求，將本節課的教學內容及教學目標擬定為認識圓錐曲線的光學性質，掌握圓錐曲線光學性質的證明方法，能運用該性質解決一些實際問題.

2.教學內容與素養發展的關系.

通過閱讀材料提取關鍵信息，將文字語言轉化為數學語言，能夠很好地發展學生的數學抽象核心素養以及數學表達能力；基于數量關系與圖形特征構建合適的數學模型，能夠發展學生的數學建模核心素養以及用數學思維思考問題的意識；合理運用已有知識經驗證明該性質的過程可以有效地發展學生的邏輯推理與數學運算核心素養.

3.素材選取.

由于圓錐曲線的光學性質在普通高中人教A 版實驗教科書選修2－1 第75 頁“閱讀與思考——圓錐曲線的光學性質及其應用”一欄中有介紹，筆者將其選定為教學情境創設的素材，給學生布置課前自主學習任務，要求學生認真閱讀素材并提取關鍵信息.

4.情境創設.

將上述閱讀材料作為本節課的生活情境，引入課題.為了幫助學生提高自主學習效果，筆者特地設置了以下問題情境，目的在于給定指向明確的問題，讓學生弄清學習任務，并帶著問題去閱讀材料，尋找關鍵信息.

問題1：認真閱讀材料并提煉出電影放映機、探照燈、太陽灶的設計原理.

問題2：用數學語言描述電影放映機、探照燈、太陽灶的設計原理.

問題3：你能嘗試用數學知識證明這些原理嗎？能找到幾種證明方法？

教師引導學生歸納總結自主學習成果，得出以下三條圓錐曲線的光學性質：

性質1：從橢圓的一個焦點發出的光線經橢圓反射后，反射光線都經過橢圓的另一個焦點.

性質2：從雙曲線的一個焦點發出的光線，經雙曲線反射后，反射光線是散開的，就好像是從另一個焦點射出的一樣，也就是說，反射光線的反向延長線經過另外一個焦點.

性質3：從拋物線的焦點發出的光，經拋物線反射后，反射光線都平行于拋物線的對稱軸.

5.提出問題.

問題4：請展示一下你們的證明思路.

6.解決問題.

受思維定式的影響，大多數同學使用解析法進行證明，即證明其中一個焦點關于切線的對稱點，在過切點與另一個焦點的直線上.具體證明過程如下.

性質1 證明（解析法）：如圖1，設直線l 是過橢圓上除頂點外的任意一點P（x0，y0）的切線，切線l 的方程為.設F2關于l 的對稱點為C（x1，y1），則F2C 的中點P1在直線l 上，且直線F2C 與l 垂直.解得.同理，，∴C，P，F1三點共線.∴從F2發出的光線F2P 經直線l 反射后經過F1.

圖1

性質2證明（解析法）：如圖2，設直線l 的是過雙曲線上除頂點外的任意一點P（x0，y0）的切線，切線l 的方程為.求出焦點F2關于切線l 的對稱點C（x1，y1），計算，經計算可知.原問題得證.

圖2

性質3證明（解析法）：如圖3，設直線l 是過拋物線上除頂點外任意一點P（x0，y0）的切線，切線l 的方程為y0y=p（x+x0）.求出焦點關于切線l 的對稱點A（x1，y1），進而可以計算出，∴反射光線平行于x 軸.原問題得證.

圖3

問題5：同學們還能找出其他的證明方法嗎？

學生1：如圖1 所示，在剛才的證明過程中，我們還可以先求出一個焦點F2關于切線l 的垂線（法線）l1的對稱點D，再證明點D 在過切點與另一個焦點的直線PF1上.

學生2：材料中提示可以用導數法來證明，由此我們可以先求出切線方程，再根據垂直關系得出法線方程，最后再證明入射角等于反射角，即可使原問題得證.具體證明方法如下.

性質3證明：對拋物線C 的方程求導，得yy'=p.∴切線的斜率，法線的斜率∴由到角公式，得將代入，得tan∠FPC∴tan∠DPC=tan∠FPC，即∠DPC=∠FPC.原問題得證.

學生3：不用到角公式也可以證，結合幾何性質，利用兩點間的距離公式也可以得出答案.對于性質1 及性質2的證明，我們只需要證明PD=PF2或證明PC=PF2即可；對于性質3 的證明，我們只需要先證PF=PD 或PF=BF，均能得出入射角等于反射角.

解法點評：以上的解決問題的方法各有優劣.解析法容易想，但運算很復雜；導數法相對簡便，但求導的過程容易出錯.兩種思路都或多或少用到了幾何性質，但都沒有用到定義，因此教師還可以引導學生基于定義尋找證明該性質的方法，由于課堂探究時間有限，筆者將其設置成了課后拓展作業.

課后作業：通過交流、查閱文獻，尋找一種不同于解析法和導數法的證明方法，清楚地寫出證明過程.

7.教學反思.

問題來源于教學實際，自然而然；素材選自課本，追本溯源.基于教科書中的閱讀材料合理創設問題情境，引導學生發現問題、提出問題、思考并解決問題，可以有效利用高中數學教科書中的閱讀材料輔助教學，達到用活教材、開發教材潛能的目的，從而可以更好地服務教學，提高課堂教學的質量，發展學生的數學核心素養.在整個探究活動中，學生作為學習主體，經歷了閱讀材料并提取關鍵信息，將問題情境數學化、數量與幾何關系模型化，再基于元認知發展水平用數學思維思考并解決問題的整個過程，可以幫助學生更好地理解數學問題的本質、發展學生的探究能力，積累有益于學生個體發展的學習經驗，逐步形成用數學的眼光觀察世界、用數學的思維思考世界、用數學的語言表達世界的重要能力.