基于截面視角的一類問題情境創設

昆明市西山區第一中學 云南省高中數學于雷名師工作坊 陳國勇

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：基于數學學科核心素養的數學活動，應該把握數學的本質，創設合適的教學情境，提出合適的數學問題，引發學生思考與交流，形成和發展數學學科核心素養.創設合適的情境，提出合適的問題，是落實核心素養的關鍵.在時下的課堂教學中，教師們有時煞費苦心地創設情境，卻難以打開學生的心扉.誠然，“如何創設問題情境”已成為一線教師設計教學時首要思考的問題.下面，筆者以“用截面創設問題情境”為話題，談談自己的一點膚淺認識，以便與各位同仁交流.

一、用截面創設圓錐曲線緒言課的情境

圓錐曲線是高中教學的重要內容，蘊含著邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養.王尚志教授曾指出要重視圓錐曲線緒言課的教學.他在北京某中學調研時問高三學生：“圓、橢圓、雙曲線、拋物線都稱為圓錐曲線，它們和圓錐有什么關系呢？”當時學生并沒有給出準確的答案.落實核心素養要整體把握教學內容.作為每一章節起始部分的緒言，是整體把握該章內容、建立知識內在聯系的重要內容.在圓錐曲線一章的緒言課中，教師應順應圓錐曲線的起源背景，用平面去截圓錐進行情境創設.

案例1：圓錐曲線的起源.

情境與問題：如圖1，用一個平面去截圓錐，截口曲線（截面與圓錐側面的交線）會出現哪些形狀？

創設意圖：通過多媒體信息技術制作課件，調整平面的傾斜角度，使其截面出現圓、橢圓、雙曲線、拋物線，讓學生動態感知、整體把握圓錐曲線的生成過程，激發學生的學習興趣，順利開啟本章知識的學習.

圖1

二、用截面創設立體幾何發現定理的情境

定理課是立體幾何教學的重要課型，其教學內容是某個定理，通常蘊含著邏輯推理、直觀想象等核心素養.在教學中落實核心素養，關鍵在于把學生帶入定理的探究學習活動中.因此，創設情境，引導學生自然地去發現定理，是啟發學生思維的關鍵.

案例2：線面平行的性質定理.

情境與問題：如圖2，已知直線a 與平面α，且a∥α，用過a 的平面β 去截平面α，你有什么發現？

圖2

圖3

案例3：面面平行的性質定理.

情境與問題：如圖3，已知平面α 與平面β，且α∥β，用一個平面γ 同時截平面α 與平面β，你有什么發現？

案例4：面面垂直的判定定理.

情境與問題：如圖4，已知直線a 與平面α，且a⊥α，用過a 的平面β 去截平面α，你有什么發現？

創設意圖：高中階段立體幾何教學的一個重要任務是教學生學會邏輯思考.教材中對這幾個定理的教學，是在引導學生觀察現實生活中一些物體位置關系的基礎上進行的，無論是觀察長方體模型，或是直接以例題的方式給出，都不能讓學生很好地從點、線、面的位置關系去發現定理.因此，引入平面，從截面視角引導學生發現結論，過程自然流暢，更能揭示知識的本質.

圖4

三、用截面創設探究某一幾何體性質的問題情境

立體幾何的教學離不開研究幾何體的性質，使得設置合適的問題情境，引導學生進行深度思考、積極參與數學探究活動、積累數學活動經驗，是發展學生核心素養的有力抓手.然而，在設計教學時，教師?？嘤谌狈ψ匀坏囊暯莵韯撛O合適的情境，以致枉費心機，到最后落得學生思維得不到啟發、教師只能自圓其說的尷尬境地.此時，教師若能從截面的視角創設情境，不僅能使問題一般化，而且能打開學生思維的匣子.

案例5：正方體截面的探究.

圖5

情境與問題：如圖5，用一個平面截正方體，截面的形狀將會是什么樣的？

1.給出分類的原則（如按截面圖形的邊數分類），按照你的分類原則能得到多少類不同的截面？設計一種方案，找到截得這些形狀的截面的方法，并在正方體中畫出示意圖.

2.如果截面是三角形，你認為可以截出幾類不同的三角形（分別按邊、角進行分類）？為什么？

3.如果截面是四邊形，你認為可以截出幾類不同的四邊形？為什么？

4.還能截出哪些多邊形？為什么？

5.能否截出正五邊形？為什么？

6.能否截出直角三角形？為什么？

7.有沒有邊數超過6 的多邊形截面？為什么？

8.是否存在正六邊形的截面？為什么？

9.面積最大的三角形截面是哪個？為什么？

10.你自己發現的相關問題還有哪些？

創設意圖：用一個平面截正方體，截面的形狀將會是什么樣的？啟發學生提出逐漸深入的系列問題，引導學生完成探究、發現、證明新問題的過程，積累數學探究的經驗.

四、用截面創設立體幾何考試題的情境

作為承載邏輯推理及直觀想象核心素養的立體幾何，是高考考查的主干知識之一，近幾年所占的分值在22分左右.如何創設背景公平、體現立體幾何本質的試題情境，一直是命題者努力創新的方向.

案例6：（2018年全國Ⅰ卷理科第12題）已知正方體的棱長為1，每條棱所在的直線與平面α 所成的角都相等，則α 截此正方體所得截面面積的最大值為（ ）.

案例7：（2015年全國Ⅱ卷文理第6題）一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖6 所示，則截去部分與剩余部分體積的比值是（ ）.

圖6

創設意圖：以平面截正方體為情境進行設問，重點考查立體幾何中點、線、面的位置關系，突出考查考生的空間想象能力、運算求解能力和邏輯推理能力，體現的核心素養是直觀想象、邏輯推理、數學運算.

五、用截面創設立體幾何復習課的情境

在對立體幾何進行復習時，教師苦于資料多、時間緊、講得多、教得累，學生厭于知識碎、難掌握、作業多、時間少、學得苦，教與學都落入效果差的不良境地.此時，教師若能找準合適的角度創設情境，有效地整合例題、習題、真題，提出本質的問題進行變式追問，啟發學生運用所學立體幾何知識及研究問題的一般方法進行深度思考，發現問題、提出問題、分析問題、解決問題，讓學生有所體驗、有所收獲，就能提高復習的效果，改變不良現狀.

案例8：立體幾何復習.

我們先來看一下最近的考題：

1.（昆明市2020屆高三“三診一模”測試理科第10題）某同學在參加《通用技術》實踐課時制作了一個工藝品，如圖7 所示.該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為的正方體的六個面截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合）.若其中一個截面圓的周長為4π，則該球的半徑是（ ）.

圖7

2.（2020屆四省名校高三第二次大聯考第12題）在棱長為2 的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分別為A1D1，D1C1的中點，則過B，E，F 三點的平面，截該正方體所得截面的周長為（ ）.

圖8

再看書上的例題：

3.（人教A版數學必修2第28頁習題1.3A組第3題）如圖8，將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截出一個棱錐，求棱錐的體積與剩下幾何體的體積的比.

既然從“截面”視角命題是立體幾何的熱點，我們可以考慮從“平面截幾何體”的視角創設如下情境與問題，提高復習的效率.

情境1：用一個平面截棱長為a 的正方體.

問題：

1.截面的形狀有哪些？

2.你能畫出示意圖嗎？

3.這些截面中存在面積最大的截面嗎？若存在，最大截面的形狀是什么？面積是多少？周長是多少？

4.若截面把正方體分成體積相等的兩部分，這樣的截法有幾種？你能畫出示意圖嗎？

情境2：用平面（可用多個平面）截棱長為a 的正方體.

問題：

1.你能截出正四面體嗎？（畫出示意圖）

2.你能截出幾種不同的三棱錐？（畫出示意圖）

3.你能試著計算你截出的幾何體的表面積和體積嗎？

再次創設情境，進行變式追問，引導并鼓勵學生類比以上情境提出如下問題.

情境3：如圖9，若用一個平面分別截圓錐、圓柱、正四面體或直三棱柱，你能提出那些問題？你能嘗試解決自己提出的問題嗎？

圖9

創設意圖：深入研究課本中的習題與考題，從截面的視角創設情境，并進行有效整合、變式追問，引導學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題，鞏固立體幾何基礎知識，提升作圖、用圖、直觀想象等能力.

從截面視角創設情境、提出問題，相當于用點、線、面、體中平面這一要素作為參照，去類比發現問題、提出問題、分析問題、解決問題，能較好地揭示立體幾何的本質，讓學生動手操作、直觀感知，符合學生認識事物的基本規律，實為立體幾何中創設問題情境的一種有效方法，可以切實地提高教學的效率.