借助圖形活動(dòng)發(fā)展理性思維

朱衛(wèi)崢

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)各種教學(xué)活動(dòng)過(guò)程的結(jié)果。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需要在“做”的過(guò)程和“思考”的過(guò)程中不斷積淀，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷積累的。

一、經(jīng)歷操作，形成有條理的探究經(jīng)驗(yàn)

小學(xué)生的思維特征決定他們側(cè)重于親身經(jīng)歷所得到的感受，動(dòng)手操作能把抽象的知識(shí)轉(zhuǎn)化為形象化、直觀化。教師應(yīng)精心設(shè)計(jì)和組織學(xué)生經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)操作，在活動(dòng)過(guò)程中獲得多樣的學(xué)習(xí)感受和多方面的體驗(yàn)信息。

1.呈現(xiàn)豎著/橫著劃分的規(guī)律

師：我們先請(qǐng)這個(gè)同學(xué)介紹他的發(fā)現(xiàn)。

生：我發(fā)現(xiàn)橫著是4個(gè)點(diǎn)，有這樣的4行，算式就是4×4。

師：同樣是表示4個(gè)4，還可以怎樣分？

生：現(xiàn)在是豎著看的，一列有4個(gè)點(diǎn)，有這樣的4列，也是4個(gè)4。

2.呈現(xiàn)斜著劃分的規(guī)律

師：我們?cè)倏纯催@個(gè)同學(xué)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，哦，斜著也有規(guī)律的嗎？規(guī)律是什么？誰(shuí)看明白了？

生：斜著分，從1個(gè)點(diǎn)開始，一個(gè)一個(gè)點(diǎn)增加，加到對(duì)角線時(shí)，再又一個(gè)一個(gè)點(diǎn)減少，直到一個(gè)點(diǎn)為止。

師：誰(shuí)聽明白他的意思了？（一生重復(fù)）

師：恩，這個(gè)算式蠻有意思，誰(shuí)能解釋？（結(jié)合點(diǎn)陣圖將式子1+2+3+4+3+2+1中的加數(shù)與點(diǎn)子結(jié)合起來(lái)分析）

師：同學(xué)們?cè)儆^察一下，這個(gè)最大的數(shù)就是指哪幾個(gè)點(diǎn)？師生一起討論算式的意思。

生：最大的數(shù)表示的是斜著的對(duì)角線上的點(diǎn)，它和正方形點(diǎn)陣橫著、豎著的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是一樣的。（教師將“4”用不同顏色的改過(guò)來(lái)）

生：1+2+3+4+3+2+1，其實(shí)也是表示4個(gè)4

在討論中教師示范出4個(gè)4的意思。

1+2+3+4+3+2+1

二、分析運(yùn)用，積累豐富活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

那怎樣使學(xué)生認(rèn)識(shí)深刻？唯有還知識(shí)本來(lái)的面目，讓學(xué)生感受知識(shí)產(chǎn)生過(guò)程中的挑戰(zhàn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。教師在設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)時(shí)就該考慮將一個(gè)個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)環(huán)環(huán)相扣，引著孩子們的思維由一汩汩細(xì)流匯聚成汪洋的一片，思維的火花在不斷地碰撞中產(chǎn)生智慧的種子。整個(gè)過(guò)程，充滿思維的靈性，學(xué)生經(jīng)歷了被挑戰(zhàn)的過(guò)程，體驗(yàn)到了思考帶來(lái)的樂(lè)趣，領(lǐng)悟到了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力！

師：同學(xué)們非常能干，從這幅點(diǎn)陣圖中發(fā)現(xiàn)了3種規(guī)律，現(xiàn)在請(qǐng)用你自己發(fā)現(xiàn)的這些規(guī)律來(lái)研究第5幅圖的規(guī)律？請(qǐng)把你的想法在紙上表示出來(lái)。（學(xué)生獨(dú)立完成，然后同桌交流）

師：誰(shuí)來(lái)介紹你是怎樣研究第5幅點(diǎn)陣圖的規(guī)律的？

學(xué)生介紹，課件顯示5×5的正方形點(diǎn)陣，根據(jù)學(xué)生回答在課件上進(jìn)行三種規(guī)律的劃分，在黑板上完成板書：

25=5×5=1+2+3+4+5+4+3+2+1=1+3+5+7+9

師：三個(gè)算式，最終表示的都是？

生：有5個(gè)5的正方形點(diǎn)陣圖，總共有25個(gè)點(diǎn)。

對(duì)教材知識(shí)點(diǎn)的深入挖掘需要我們不斷地學(xué)習(xí)和反思。重視數(shù)學(xué)思想就是對(duì)“以不變應(yīng)萬(wàn)變”的追根溯源，即方法都是從思想中得到衍生的。但是，每節(jié)課的數(shù)學(xué)思想被提煉出來(lái)以后，怎樣將其從抽象的描述變?yōu)樾蜗蟮谋磉_(dá)，怎樣讓學(xué)生明白其精髓，怎樣巧妙合理地讓其在教學(xué)環(huán)節(jié)中得以凸顯，這常常困擾著大家。

三、推理驗(yàn)證，提升理性思維

學(xué)生的思維應(yīng)該是一直處于一種積極、愉悅的思考過(guò)程當(dāng)中，有了積極的思考，心底才會(huì)有所感悟。其次，數(shù)學(xué)思想的滲透在現(xiàn)如今的數(shù)學(xué)課堂上也被提高到一個(gè)越來(lái)越重要的位置上來(lái)，而本節(jié)課力圖要體現(xiàn)的就是在探索規(guī)律的過(guò)程中滲透數(shù)形結(jié)合的思想。

師：剛才我們已經(jīng)研究了第4幅、第5幅點(diǎn)陣圖的規(guī)律，如果是第8幅呢？你能直接用算式表示點(diǎn)的排列規(guī)律嗎？如果有困難，你也可以借助格子圖先畫出第8幅正方形點(diǎn)陣圖，再來(lái)研究。（學(xué)生思考并作業(yè)）

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)你是如何研究的？為什么？那還有不同的規(guī)律發(fā)現(xiàn)嗎？

生：64=8×8

=1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1

=1+3+5+7+9+11+13+15

師：大家都是這樣研究的嗎？你們的推理是不是正確呢？請(qǐng)看大屏幕，我們來(lái)驗(yàn)證一下。（課件演示第8幅點(diǎn)陣圖）

師：照這樣推理，第9幅正方形點(diǎn)陣圖又會(huì)是怎樣的？

1.第N幅正方形點(diǎn)陣圖的點(diǎn)總共有幾個(gè)呢？

生1：N×N

生2：1+2+3+…+N+…+3+2+1

生3：1+3+5+…（2N-1）

師：了不起！這可是你們初中要學(xué)習(xí)的等差數(shù)列，你都已經(jīng)知道了，真的很能干！

師：那如果現(xiàn)在有100個(gè)點(diǎn)組成了一幅正方形點(diǎn)陣圖，想象一下，會(huì)是什么樣子的？

師：看到1+2+3+…+50+…+3+2+1，你想到了怎樣的正方形點(diǎn)陣圖？總共有幾個(gè)點(diǎn)？看到1+3+5+7+9+11+13呢？1+3+5+7+…+35呢？

師：同學(xué)們真的很能干，通過(guò)研究自己發(fā)現(xiàn)了點(diǎn)陣中的3種不同規(guī)律，我們可以像這樣橫著、豎著、斜著、拐彎著去研究，從而列出不同的算式，但是這些方法之間也還是有聯(lián)系的，它們最終表示點(diǎn)的個(gè)數(shù)是一致的。

師：剛才我們研究的是正方形點(diǎn)陣中的規(guī)律，那長(zhǎng)方形和三角形點(diǎn)陣中又有怎樣的規(guī)律呢？請(qǐng)你獨(dú)立完成作業(yè)紙的第1、2兩題，做好的同學(xué)可以互相交流，教師巡視。

師：同學(xué)們，今天我們通過(guò)研究點(diǎn)陣中的規(guī)律發(fā)現(xiàn)了“數(shù)與圖形”之間還有這種巧妙的關(guān)系。你們的發(fā)現(xiàn)和兩千多年前古希臘的一個(gè)偉大數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的想法是一致的。（課件出示圖片）畢達(dá)哥拉斯對(duì)數(shù)的研究非常著迷，他認(rèn)為：數(shù)不但有量的多少，而且也具有幾何形狀。于是，他就把數(shù)想象成小石子或者小圓點(diǎn)，擺成點(diǎn)陣圖來(lái)研究。希望同學(xué)們能像畢達(dá)哥拉斯這樣喜歡數(shù)學(xué)、善于思考，也成為一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家！

總之，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，教師是學(xué)生經(jīng)驗(yàn)積累的開發(fā)者和引導(dǎo)者，因此教師要以研究者的心態(tài)，根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，選擇合適的教學(xué)活動(dòng)，優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，探尋數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)在課堂教學(xué)中實(shí)施策略。學(xué)生通過(guò)各種不同方式的學(xué)習(xí)活動(dòng)，才能達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與感悟，從而逐步積累，形成數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。