數字濾波器相位的理解

陳國泰 張賽男 付 爽

(福建師范大學福清分校 a.無損檢測技術福建省高校重點實驗室；b.電子與信息工程學院；c.海洋研究院，福建 福清 350300)

在《數字信號處理》課程教學中，濾波器這一部分的內容很大程度上集中在幅頻響應上，相頻響應這一內容講解得比較少。本文的目的是重新理解相位對濾波效果上的影響。

濾波器是一種最常見的信號處理形式，用來消除某些頻率并且改進其他一些頻率的幅值、相位或信號頻譜某些部分的群延遲[1]。濾波器可分為模擬濾波器[2]和數字濾波器[3]316。模擬濾波器與后端的模數轉換(ADC)采樣率無關，可以濾除寬頻帶信號，適用于做抗混疊濾波器。模擬濾波器有有源和無源之分。

無源模擬濾波器主要由電阻、電感和電容構成，有源濾波器主要由運放、電阻和電容構成。無源濾波器結構相對簡單，成本較低，有源濾波器雖然成本高，但濾波效果好，穩定度和精度較高。模擬濾波器的缺點是濾波器由元器件搭建，一旦搭建完成，很難修改濾波參數，并且阻帶最小衰減很難達到-60dB[4]。

隨著信息技術的發展，信號數字化在各領域得到廣泛應用。數字濾波器也是常用的數字信號處理方式。數字濾波器的參數容易修改，阻帶最小衰減很容易達到-60dB，精度和可靠性都很高。在線性系統中，數字濾波器在實際應用中由數字乘法器、加法器和延時單元構成。數字濾波器的缺點是受限于奈奎斯特采樣定理，與前端的ADC采樣率有關，所處理的信號頻率寬帶必須小于采樣率的一半，否則會出現頻率混疊。因此，在一些應用中，必須在ADC前端加上抗混疊的模擬濾波器以避免數字信號失真并導致系統的可靠性降低[4]。

在《數字信號處理》課程[5]中，盡管有提到相位問題，但相位在濾波中的作用并沒有深入講解。本文考慮在線性時不變系統中，關于數字濾波器相位的問題。

1 相位對波形的影響

在線性時不變系統中，滿足Dirichlet條件的任何一個實信號可以用三角級數來表示[6]。基于奈奎斯特采樣定理，這里假設考慮的實信號是平滑的，即實信號可以用有限個三角函數來表示。為了說明方便，用帶初始相位的余弦函數(如來表示實信號。圖1(a)是由在采樣率為100下的函數曲線，即由頻率為3和7的余弦波疊加而成。當頻率為3的余弦波發生延遲，延遲的相位為 時，這時疊加的波形如圖1(b)所示。雖然兩個具有相同的頻率成分，而且頻率成分的幅度也相同，但波形發生了變化，這對依靠波形表征的信號，如語音、圖像等而言，波形變化所表達的信息也發生了變化。當將用于表達圖1波形的數據用于表達圖像顏色時所表現的效果如圖2所示，可以看到明顯的不同，圖中上方的短線為圖2(a)和圖2(b)之間較大區別的位置。因此，在圖形處理中，相位會影響圖形的表達效果。

圖1 由繪出的波形

圖2 由數值作為顏色數據所繪出的圖形

2 FIR數字濾波器及其相位

在線性時不變的離散系統中，有限沖擊響應是在單位脈沖輸入下系統輸出的是有限長度的序列。當有限沖擊響應序列是對稱的時候，對應的數字濾波器具有線性相位特性[3]467。

假設有限沖擊響應實序列為h(n)(n=0,…,N-1)，則該序列的傅里葉變換為

當序列h(n)為偶對稱時，即h(n)= h(N-1-n)，有

故得

當序列h(n)為偶對稱時，即h(n)=-h(N-1-n)，同理可得

根據序列奇偶對稱性以及奇偶長度的不同，共有四種情況，每種情況通過分析在為0，π和2π處的函數值和對稱性，可以得到式(3)和式(6)在什么時候適合設計哪種FIR數字濾波器，如表1所示。

表1 不同對稱性和長度下所適合設計的FIR數字濾波器

根據上面的分析，沖擊響應為對稱序列的數字濾波器的相位是線性的，除了第一類和第二類線性相位的差別外，同一類之間有什么差別呢？這里結合例子來展示其差別。

從表1可知，四種情況都可以用于設計帶通濾波器。考慮一個信號為濾波器采用矩形窗函數，濾波器的階數分別為12和13，采樣頻率為100Hz，截止頻率分別為6Hz和14Hz，在Matlab[7]環境下利用filter函數實現濾波，濾波后去除結果中的前6個數據，這時由于濾波器作為因果濾波器事先做了時間上的平移。各種不同情況下的帶通濾波器的濾波效果，如圖3所示。

圖3 各種不同情況下帶通濾波器濾波的效果

從濾波的效果看，第一類線性相位下的兩種濾波器的濾波輸出波形很相似，如圖3(b)所示，同樣，第二類線性相位的兩種濾波器產生的濾波結果也很相似，如圖3(c)所示。圖3(d)是用第三種帶通濾波器對原始信號濾波的結果以及用第一種濾波器對相移90°后的原始信號(即濾波的結果，圖中結果表明了第三種濾波器對原始信號濾波相當于對于相移90°后的原始信號采用第一種濾波器進行濾波。圖3(d)中在t=0s附近兩條曲線不吻合的原因是在filter函數中初值為0，需要經歷12離散點(即濾波器長度減去1)后，濾波結果即非常吻合。實際上，四個濾波器在頻率幅度上是存在差別的，如圖4所示，偶對稱的偶數階濾波器在低通部分性能略差，通帶內也略有差別。總體上，在通帶內，四種濾波器的性能比較接近，在高頻方面有一些差別。當信號的頻率成分豐富時，濾波后的波形會存在一些差異。

圖4 四種FIR帶通濾波器的幅頻響應

圖3 (b)中第二種濾波器表現了其濾波結果的相位產生超前，這是因為實際濾波后的信號需要平移(12-1)/2=5.5點，但圖中實際向左平移了6個點，因此，相位超前了1/(2Fs)。圖3(c)中的第四種濾波器也是同樣的情況。這意味著當濾波器的階數為偶數時，濾波結果總會產生這樣的相位超前或延遲。

圖3(a)顯示了原始信號經過第一種帶通濾波器濾波，波峰和波谷的數量有減少，高頻的信息得到一定的去除，另外，也可以看出波峰值和波谷值的絕對值之間的差值也有所變小，這表明了低頻成分也得到了一定的去除。

從濾波器的結構來看，第二種濾波器序列是偶數階的偶對稱，濾波時相當于是對對稱位置的數據求和(或求平均)后再乘以權值，這種求和實際上是平滑操作，即濾除高頻信息的操作。第四種濾波器序列是偶數階的奇對稱，濾波時類似于對對稱位置的數據求微分后乘以權值，直流成分在這種濾波器下是會被濾除的，微分在圖像處理中用于邊緣檢測[8]，因此，可以保留高頻信息。第三種濾波器序列是奇數階的奇對稱序列，序列的中間位置元素為0，同樣具有濾除直流和低頻信息的效果。雖然第三種濾波器具有第四種濾波器的那種類似微分運算的操作，但由于濾波器序列的中間位置元素為0，造成這種類似微分操作是在更寬的范圍內進行，而且中間的元素沒有參與運算，因此，操作所得的信息是中低頻信息，高頻的信息被濾除。這就是第三種情況不能用于設計低通和高通的原因。在第一種濾波器設計中，濾波器序列是奇數階的偶對稱，中心位置的值占很大比重。濾波操作可以看成相關運算，在以正弦波(或余弦波)構成的信號下，顯然，低通濾波器的序列應該表現出相對比較平滑，高通的濾波器序列應該波動比較劇烈，帶通和帶阻濾波器也可以類推。第一種濾波器可以實現低通、高通、帶通、帶阻等四種濾波器。

3 IIR數字濾波器及其相位

汪芙平等[9]證明，IIR數字濾波器不具備實現線性相位特性，但在實際應用中，相位非線性變化不大的IIR數字濾波器可以近似為具有線性相位的，或者借助一個全通網絡來進行相位矯正[3]320。

N階IIR數字濾波器通常用z-變換函數表示為

其中，b(n)用于控制零點在z平面內的位置或偏離單位圓的程度，a(n)用于控制極點在z平面內的位置。穩定的系統要求極點必須在單位圓內。靠近單位圓的極點容易因量化誤差或其他誤差導致極點偏離到單位圓上或單位圓外，導致系統失效[3]618。

IIR數字濾波器的設計可以利用模擬濾波器的設計方法通過脈沖響應不變法和雙線性變換法等進行[3]386-390。脈沖響應不變法是使數字濾波器在時域上模仿模擬濾波器，其缺點是容易造成混疊失真。雙線性變換法是從頻率出發，使數字濾波器的頻率響應與模擬濾波器的頻率響應相似的一種變換法。這種方法適用具備封閉式的公式進行計算。

Matlab中的FDAtool對話框界面可以快速設計低通、高通、帶通、帶阻等濾波器，包括FIR濾波器和IIR濾波器。這里將設計兩個IIR濾波器，以顯示IIR具有非線性相位。

設計的數字濾波器仍然是帶通濾波器，采樣頻率為100Hz，截止頻率分別為6Hz和14Hz，IIR濾波器的階數為4，在FDAtool中Design Method選項中，IIR分別選擇Butterworth和Chebyshev Type I，這兩個濾波器的幅頻響應和相頻響應如圖5所示。對比圖4，IIR濾波器在階數較低的情況下，幅頻響應的性能比FIR濾波器好，IIR濾波器的相位延遲不滿足線性變化，如圖5(b)所示。

圖5 中的幅頻特性和相頻特性結果是根據式(7)得到的，其中FDAtool中導出設計好的數據SOS和G，通過函數sos2tf得到a(n)和b(n)，再計算由此求出幅頻特性和相頻特性，相頻特性先通過angle函數再用unwrap函數得到平滑曲線。

考慮一個頻率為10Hz的余弦波 分別輸入到這兩個濾波器中，濾波后的結果如圖5所示。從相頻特性中得到10Hz在Butterworth中為-0.248 332 106 920 221，在Chebyshev Type I濾波器中的相位為-0.176 160 430 570 338，將相位延遲代入余弦波中，即cos(2π×10×t-0.248 332 106 920 221)，從圖6可以看到濾波后的信號和加入相位延遲的信號是吻合的。由于Chebyshev Type I濾波器在通帶內有波紋，因此，圖6(b)的波形幅度有所減少。

圖6 表明，通過相頻特性可以得到每個頻率經過濾波后產生相位延遲或相位超期的相位值，有助于更好地理解濾波后波形變化。

4 相位延遲和群延時

在前面的例子中，圖6考慮的是單個頻率的信號作為濾波時的輸入信號，相位延遲就是指濾波后信號與輸入信號的相位偏移[10]。將濾波器的傅里葉變換記為那么相位延遲一般考慮的是時間延遲[11]。

比較容易理解的例子就是一個正弦波的峰值進入濾波器(或系統)到濾波器與濾波器輸出該峰值所對應峰值之間的時間差。相位延遲只關心單個頻率的情況。

當輸入信號包含多個頻率時，這時考慮的是群延遲[12]，群延遲的表達式如式(9)所示。

群延遲考慮的是式(9)是否為一常數，以表示包絡是否完整包含相關信息。當群延遲為一常數時，濾波器(或系統)具備線性相位特性，如具有線性相位的有限沖擊響應濾波器。在第一類線性相位中，每個頻率的相位延遲時間是相同的，只是波形全體提前到達或是延遲達到，整體的包絡波形保持不變。在第二類線性相位的情況下，所有頻率波形都同時達到，但是達到時都已經發生相同的相位偏移，因此，包絡的形狀可能會發生變化，由于相位偏移是已知的，包絡的信息不會出現失真。當群延遲不是一個常數時，若 不包含常數項，那么每個頻率的波形到達的時間不一致，假設只有一個頻率波形延遲達到，其他頻率仍然在原有的包絡中，而這個延遲的頻率所對應的波形將有一部分在當前包絡中，另一部分將跨越到下一個包絡中，這種情況造成符號干擾。在通信系統中，群延遲不是常數時會引起符號間干擾和傳輸波形失真[14]。當 包含常數項時，如同前面所說，每個頻率的波形到達時都已經發生了相同的相位偏差。

數字濾波器的設計是要使濾波器盡量具備線性相位特性，或者保證通帶內的頻率具備線性相位特性，這樣濾波后信號能夠較好地保留相應的信息，使表達效果沒有明顯的失真。圖5(b)中由Butterworth設計而來的IIR數字濾波器在通帶內群延遲近似為常數。

群延遲的計算可以通過計算相鄰頻率之間的相位微分得到。

5 結論

由于對稱序列的有限沖擊響應濾波器具有線性相位特性，而無限沖擊響應濾波器不具備線性相位特性，因此，教材沒有深入講解相位問題。本文通過例子來顯示相位對信號在信息表達上的影響，分析了有限沖擊響應帶通濾波器在四種設計方案下的相位差異，再通過單頻波經過無限沖擊響應帶通濾波器來分析信號濾波前后的相頻特性變化，最后談到相位延遲和群延遲。這些內容有助于在學習數字信號處理課程時對相位有更深刻的理解。