SVD可觀測度分析方法的改進(jìn)及組合導(dǎo)航中的應(yīng)用

周廣濤，邵劍波,2，韓少衛(wèi)，陳海南

(1.哈爾濱工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，哈爾濱 150001； 2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院，哈爾濱 150001)

在控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)矢量是根據(jù)系統(tǒng)一段時(shí)間內(nèi)的外部量測信息，通過系統(tǒng)的狀態(tài)方程以及量測方程計(jì)算得到的.可觀測性即是描述系統(tǒng)在一段時(shí)間內(nèi)能否根據(jù)量測輸入準(zhǔn)確估計(jì)出系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的能力.對(duì)于線性定常系統(tǒng)而言，可直接通過可觀測性矩陣來判斷系統(tǒng)的可觀測性.但對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)，可觀測性矩陣的計(jì)算復(fù)雜，因此可通過Goshen-Meskin等[1-2]提出分段式線性定常系統(tǒng)(PWCS)可觀測性分析理論，以提取可觀測性矩陣(SOM)替代總可觀測性矩陣(TOM)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行可觀測性分析，以簡化計(jì)算.

通過系統(tǒng)可觀測性僅能定性的判斷系統(tǒng)狀態(tài)是否可估計(jì)，但卻無法具體描述各狀態(tài)的估計(jì)效果，而狀態(tài)估計(jì)效果與其狀態(tài)特性分析密切相關(guān).例如，慣導(dǎo)系統(tǒng)中初始對(duì)準(zhǔn)精度很大程度取決于對(duì)平臺(tái)失準(zhǔn)角的估計(jì)精度，而在不同情況下，即使可觀測性矩陣的秩相同，各狀態(tài)的估計(jì)速度及精度也可能不同.因此為提高對(duì)準(zhǔn)精度，則需對(duì)平臺(tái)失準(zhǔn)角在不同情況下估計(jì)效果的變化進(jìn)行分析；在進(jìn)行反饋校正時(shí)，若將估計(jì)精度低的狀態(tài)直接對(duì)內(nèi)部參數(shù)校正，則會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)誤差發(fā)散，根據(jù)各狀態(tài)的估計(jì)效果，采用自適應(yīng)反饋校正可有效解決該問題.因此對(duì)狀態(tài)的估計(jì)效果進(jìn)行定量分析具有重要意義.

Ham等[3]提出了一種基于Kalman濾波均方誤差矩陣的特征值來描述與其特征向量相對(duì)應(yīng)的狀態(tài)向量的線性組合的可觀測度.但這種方法需要經(jīng)過Kalman濾波后得到均方誤差陣，不能直接依據(jù)狀態(tài)方程以及量測方程進(jìn)行分析.馮紹軍等[4]提出一種基于可觀測性矩陣特征值分解的方法，以系統(tǒng)可觀測性矩陣的特征值大小來描述其特征向量對(duì)應(yīng)的狀態(tài)線性組合的可觀測度.但該方法只能描述狀態(tài)組合的可觀測度，而不是獨(dú)立狀態(tài)的可觀測度.程向紅等[5]提出根據(jù)線性時(shí)變系統(tǒng)可觀測性矩陣奇異值來定性分析系統(tǒng)的可觀測度大小，而后這種基于奇異值分解(SVD)的可觀測度分析方法近年來得到廣泛的應(yīng)用[6-7].

本文由已有的基于PWCS系統(tǒng)可觀測性矩陣SVD的可觀測度分析方法入手，分析其存在的不足之處并對(duì)該方法進(jìn)行改進(jìn)，利用該方法對(duì)SINS/DVL構(gòu)建Kalman濾波器，進(jìn)行可觀測度分析，然后通過不同機(jī)動(dòng)狀態(tài)下各狀態(tài)量的估計(jì)誤差均方差曲線進(jìn)行仿真驗(yàn)證.

1 PWCS可觀測性分析理論

由于研究系統(tǒng)可觀測性不涉及外部輸入激勵(lì)，故對(duì)齊次系統(tǒng)狀態(tài)方程及量測方程進(jìn)行討論即可，線性時(shí)變系統(tǒng)模型如下：

Z(t)=H(t)X(t).

式中：A(t)∈Rn×n；H(t)∈Rm×n；X(t)∈Rn.若直接通過求算可觀測性矩陣以對(duì)該線性時(shí)變系統(tǒng)進(jìn)行可觀測性分析，則需要進(jìn)行Grammian矩陣運(yùn)算，計(jì)算量巨大.因此為簡化計(jì)算，將系統(tǒng)整個(gè)運(yùn)行時(shí)間按適當(dāng)時(shí)間間隔進(jìn)行分段，若在每個(gè)時(shí)間段內(nèi)A(t)和H(t)變化緩慢，可分別近似為常量，則在該時(shí)間段內(nèi)可視為線性定常系統(tǒng)，在整個(gè)時(shí)域內(nèi)該線性時(shí)變系統(tǒng)則可近似為分段式線性定常系統(tǒng)(PWCS).該近似對(duì)于系統(tǒng)精度以及系統(tǒng)特性分析的影響很小，并且能很大程度的簡化分析過程，因此可用PWCS替代原線性時(shí)變系統(tǒng)進(jìn)行可觀測性分析.

上述線性時(shí)變系統(tǒng)近似的PWCS從第1個(gè)時(shí)間段到第r個(gè)時(shí)間段內(nèi)的總可觀測性矩陣(TOM)為

式中：Ai為第i個(gè)時(shí)間段內(nèi)系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣常值；Δti為第i個(gè)時(shí)間段的時(shí)長；Qi為第i個(gè)時(shí)間段內(nèi)已視為線性定常系統(tǒng)的可觀測性矩陣，計(jì)算如下：

但是由于Q(r)中含有指數(shù)函數(shù)矩陣項(xiàng)，計(jì)算極為復(fù)雜，因此引入Goshen-Meskin和Bar-Itzhack提出分段式線性定常系統(tǒng)可觀測性分析定理.

若null(Qi)?null(Ai),1≤i≤r,則有

式中：null()為矩陣的零空間；rank()為矩陣的秩；Qs(r)為系統(tǒng)的提取可觀測性矩陣(SOM)，計(jì)算如下：

若PWCS滿足該定理，則可使用提取可觀測性矩陣Qs(r)代替總可觀測性矩陣Q(r)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行可觀測性分析，進(jìn)一步簡化分析過程.捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)一般都符合該定理的條件[8-11].當(dāng)使用Qs(r)對(duì)Q(r)進(jìn)行替換時(shí)，系統(tǒng)觀測方程為

Y=Qs(r)X,

(1)

2 基于可觀測性矩陣SVD的可觀測度分析

2.1 SVD可觀測度分析方法

對(duì)式(1)中的Qs(r)進(jìn)行奇異值分解可得：

(2)

根據(jù)式(2)變換可得：

(3)

ηk=σk/σo,

(4)

式中σo為可直接由外部量測信息得到的狀態(tài)分量對(duì)應(yīng)的奇異值.

2.2 SVD可觀測度方法合理性分析

將式(2)中等式兩邊同時(shí)乘以酉矩陣UT，則有

2.3 已有SVD可觀測度方法存在的問題

1)系統(tǒng)狀態(tài)的可觀測度屬于系統(tǒng)自身性質(zhì)，應(yīng)與外部量測輸入無關(guān)，但由式(3)可知，對(duì)于狀態(tài)量所對(duì)應(yīng)的奇異值的判斷需要外部量測信息.

2)系統(tǒng)內(nèi)部各個(gè)狀態(tài)的量綱不同導(dǎo)致其對(duì)應(yīng)的奇異值也不具有可比性[12]，不能以此計(jì)算狀態(tài)的可觀測度.

3)當(dāng)外部量測信息反映的狀態(tài)在數(shù)量級(jí)上差異較大時(shí)，會(huì)導(dǎo)致它們各自對(duì)應(yīng)的奇異值也相差較大，在式(4)中無法選取唯一的σo作為其他觀測度的衡量基準(zhǔn).

3 基于SVD可觀測度分析方法的改進(jìn)及應(yīng)用

對(duì)式(2)進(jìn)行變換可得：

Y=σ1Y1+σ2Y2+…+σnYn,

(5)

(6)

又由ui為酉陣U的單位列向量，故有

由vi=[vi1vi2…vin]T將上式展開可得：

(7)

通過將式(6)、(7)進(jìn)行對(duì)比，則有

θij反映了Xj在Yi中的權(quán)值大小，當(dāng)θij越大，根據(jù)Yi越容易估計(jì)出Xj；θij趨于零時(shí)，Xj在Yi中幾乎不可見.因此，θij大小可用來描述Xj在不同情況下可觀測度變化趨勢.又由式(5)知，Yi在經(jīng)過σi的加權(quán)求和后得到Y(jié)，故狀態(tài)量Xj在Y中所占權(quán)值大小由θij與σi共同決定，因此定義：

Oj的大小僅描述了系統(tǒng)在不同狀態(tài)下Xj的可觀測程度的變化，為了得到Xj的可觀測度，則需要知道Xj完全可觀測時(shí)在Y中所占權(quán)值的大小，并將其作為基準(zhǔn)值進(jìn)行比較.

文獻(xiàn)[13-14]研究分析了載體的各種運(yùn)動(dòng)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)可觀測性的影響.結(jié)論表明，當(dāng)載體做S形機(jī)動(dòng)時(shí)，捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的各狀態(tài)均可得到較好的估計(jì).因此定義Xj的可觀測度為

ηj=Oj/Osj, (j=1,2,…,n)

式中Osj為載體在做S形機(jī)動(dòng)狀態(tài)時(shí)Xj在Y中所占的權(quán)值大小的.

通過上述方法計(jì)算狀態(tài)量可觀測度，不需外部量測信息，計(jì)算簡單(通過奇異值和酉陣V各列元素的平方的乘積之和，可得到全部狀態(tài)的可觀測度矢量)，并且將狀態(tài)在不同情況下縱向比較，解決了量綱不同及基準(zhǔn)不唯一的問題.

由于Kalman濾波器為線性濾波器，故一般慣性組合導(dǎo)航系統(tǒng)均采用間接濾波方式對(duì)導(dǎo)航參數(shù)誤差進(jìn)行估計(jì)，在以估計(jì)誤差對(duì)慣導(dǎo)導(dǎo)航參數(shù)進(jìn)行校正.當(dāng)濾波器對(duì)誤差估計(jì)準(zhǔn)確時(shí)，導(dǎo)航參數(shù)可以得到準(zhǔn)確校正，但當(dāng)誤差估計(jì)較差時(shí)，進(jìn)行校正則可能導(dǎo)致導(dǎo)航參數(shù)誤差發(fā)散.因此為了得到更精準(zhǔn)的導(dǎo)航參數(shù)，則需要知道濾波器對(duì)誤差估計(jì)的準(zhǔn)確程度，然后根據(jù)其決定是否對(duì)誤差進(jìn)行反饋及反饋程度大小.間接濾波中的狀態(tài)可觀測度即是定量描述誤差估計(jì)效果的，可用來作為誤差的反饋因子，得到更精準(zhǔn)的參數(shù)估計(jì)，即

(8)

4 仿真驗(yàn)證分析

本文將SINS與DVL的速度之差作為外部量測信息，構(gòu)建Kalman濾波器，選取東北天地理坐標(biāo)系為導(dǎo)航坐標(biāo)系，選取系統(tǒng)狀態(tài)變量為

X=[δveδvnδvuφeφnφuxyzεxεyεz]T.

式中：δve、δvn、δvu分別為速度誤差；φe、φn、φu分別為平臺(tái)失準(zhǔn)角；x、y、z分別為加速度計(jì)零偏；εx、εy、εz分別為陀螺漂移.

表1表示在一定時(shí)間段內(nèi)針對(duì)一些常見機(jī)動(dòng)動(dòng)作(機(jī)體初始位置緯度45°，經(jīng)度126°；勻速100 m/s；加速運(yùn)動(dòng)a=0.1 g；轉(zhuǎn)彎角速度3°/s)，根據(jù)上述方法計(jì)算得到的狀態(tài)分量的可觀測度.

表1 常見機(jī)動(dòng)狀態(tài)下狀態(tài)可觀測度

Tab.1 Observable degree of the body under typical maneuver conditions

狀態(tài)靜止勻速直線北向加速東向加速轉(zhuǎn)彎δve1.000 0 1.000 0 1.000 0 1.000 0 1.000 0 δvn1.000 0 1.000 0 1.000 0 1.000 0 1.000 0 δvu1.000 0 1.000 0 1.000 0 1.000 0 1.000 0 φe0.858 2 0.858 1 0.945 4 0.743 6 1.038 2 φn0.900 5 0.900 3 0.784 1 0.986 0 1.068 2 φu0.000 2 0.000 3 0.332 0 0.347 4 1.171 1 ?x0.101 7 0.101 7 0.110 3 0.122 7 0.999 1 ?y0.119 1 0.119 1 0.186 5 0.183 3 0.460 1 ?z1.001 9 1.001 9 0.812 8 0.810 1 1.001 1 εx0.319 8 0.319 7 0.832 5 0.825 1 0.247 1 εy0.928 1 0.928 1 0.696 3 0.692 9 0.167 6 εz0.000 1 0.000 1 0.289 1 0.302 2 0.693 6

根據(jù)表1可知，δve、δvn、δvu在各種狀況下的可觀測度均為1，這是由于速度誤差在任何情況下均可由Kalman濾波器外量測信息得到，故保持可觀測狀態(tài)；φe、φn在各種機(jī)動(dòng)情況下均能保持較高的觀測度，通過對(duì)比還可發(fā)現(xiàn)，機(jī)體的線加速方向?qū)τ谒绞?zhǔn)角觀測度也會(huì)產(chǎn)生影響.圖1、2為水平失準(zhǔn)角估計(jì)誤差均方差曲線，根據(jù)該圖，機(jī)體的北向、東向加速運(yùn)動(dòng)會(huì)影響同方向水平失準(zhǔn)角的估計(jì)效果，并且加速度越大，估計(jì)效果越差.機(jī)體線加速、轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)均可提高φu的可觀測度，如圖3所示，同時(shí)轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)也明顯提高x和y的可觀測度，如圖4所示.機(jī)體的線加速運(yùn)動(dòng)可提高εx的可觀測度，但同轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)一樣，會(huì)降低εy的可觀測度，如圖5所示.此外，表1與文獻(xiàn)[14-15]中所分析的機(jī)體不同機(jī)動(dòng)動(dòng)作對(duì)于系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)特性的影響基本一致，表明通過該方法計(jì)算的可觀測度分析可以Kalman濾波前預(yù)見各狀態(tài)的估計(jì)特性，并且可以較為準(zhǔn)確的描述各狀態(tài)的濾波效果.

圖1 φe估計(jì)誤差均方差曲線

圖2 φn估計(jì)誤差均方差曲線

圖3 φu估計(jì)誤差均方差曲線

圖4 x估計(jì)誤差均方差曲線

圖5 εy估計(jì)誤差均方差曲線

由上述狀態(tài)可觀測度分析結(jié)果，根據(jù)式(8)中的反饋校正方法進(jìn)行仿真.載體運(yùn)動(dòng)仿真條件設(shè)為：先進(jìn)行120 s加速度為0.1 g的北向加速運(yùn)動(dòng)，然后以3°/s的角速度經(jīng)過30 s轉(zhuǎn)彎使航向向東，以勻速直線運(yùn)動(dòng)繼續(xù)行駛450 s.仿真1為速度、平臺(tái)失準(zhǔn)角完全反饋時(shí)的位置誤差，仿真2為將狀態(tài)可觀測度作為估計(jì)誤差的反饋因子時(shí)的校正，即在勻速直線時(shí)，φu不反饋；北向加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，φu與可觀測度0.332 0相乘在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行校正；轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)時(shí)φu完全反饋.其他狀態(tài)反饋校正方式相同.如圖6～圖8所示，采用依據(jù)可觀測度的自適應(yīng)反饋校正方式，可在一定程度上提高到導(dǎo)航參數(shù)精度.

圖6 緯度誤差

圖7 經(jīng)度誤差

圖8 航向角誤差

5 結(jié) 論

1)已有的基于PWCS可觀測性矩陣SVD的可觀測度分析方法計(jì)算過程中存在著狀態(tài)量綱不同、奇異值基準(zhǔn)不唯一等問題，針對(duì)這些問題提出一種改進(jìn)的基于PWCS可觀測性矩陣SVD的可觀測度分析方法.

2)該方法根據(jù)PWCS系統(tǒng)可觀測性矩陣的奇異值以及對(duì)應(yīng)的右奇異值向量來計(jì)算各狀態(tài)量的可觀測度.通過SINS/DVL組合導(dǎo)航系統(tǒng)仿真，該方法計(jì)算得到的觀測度與系統(tǒng)各狀態(tài)經(jīng)過Kalman濾波的誤差估計(jì)特性具有相符，且根據(jù)Kalman間接濾波校正原理，可將狀態(tài)可觀測度應(yīng)用于系統(tǒng)自適應(yīng)反饋校正.

3)仿真結(jié)果表明, 通過該改進(jìn)的SVD可觀測度方法計(jì)算得到的各狀態(tài)可觀測度，可以較為準(zhǔn)確的預(yù)見及定量描述系統(tǒng)對(duì)各狀態(tài)的估計(jì)效果. 將可觀測度作為反饋因子對(duì)狀態(tài)校正時(shí)，可在一定程度上提高導(dǎo)航參數(shù)精度，故在慣導(dǎo)系統(tǒng)的初始對(duì)準(zhǔn)及自適應(yīng)反饋校正等方面具有實(shí)用意義.