論經濟衰退的數學條件

趙江林

摘?要：本文通過構建一個生產依賴的貨幣需求模型來探討經濟衰退和經濟周期問題。這個模型給出了一個生產依賴的貨幣需求方程和貨幣增速方程。基于這兩個方程，我們提出經濟衰退發生的數學條件，即當貨幣增速小于產值增速時，經濟衰退就將發生。這個結論能夠成功解釋中國經濟史上的3次衰退和2020年的第4次經濟衰退，以及美國20世紀60年代以來頻繁的經濟衰退。除此之外，本文的模型也提供了關于經濟周期現象的一個新理解。

關鍵詞：經濟衰退?經濟周期

一、引論

人們沒有任何時候像今天一樣渴望對自身經濟規律的認識。僅僅時隔13年，人類又一次經歷了全球性經濟衰退，上一次還是在2007年，它由美國的次貸危機引起，波及全球。雖然這一次全球性經濟衰退的起因是出人意料的新冠肺炎疫情引起的，但是經濟學家面臨同樣的困境。新古典派和凱恩斯主義依然在爭論不休，而政府最終依然選擇凱恩斯主義者的建議，寄希望于擴張的貨幣和財政政策，但同時經濟學家們又說不清量化寬松的政策對經濟長期增長的危害，就和13年前一樣。經濟學家們仍然不能解釋經濟周期產生的原因;不知道下一次衰退會在什么時候發生;也仍然不確定政府應當采取的最佳對策是什么。

現代宏觀經濟學理論體系的缺陷在于假設。索洛在就任美國經濟學會主席的演講中就提到，新古典派的經濟學家們以假設來排除工資和價格黏性，以及市場不能出清的可能性，乃是“愚蠢的限制”。他說，“我記得自己讀到過一篇文章，說到科學家們還沒有搞清楚長頸鹿的心臟如何能向自己的頭部充分供血。但是很難想象，有人居然會就此得出結論說，這些生物的長頸并不存在。”。但實際上，凱恩斯主義又何嘗不是以假設來排除市場出清的可能性呢？

凱恩斯主義假設產品價格和勞動力價格存在黏性以至于市場不能出清。價格黏性的假設已經作為宏觀經濟學的基本假設被引入到動態隨機一般均衡理論，用來重新理解經濟的波動。然而，新古典學派認為這個假設對于理解經濟周期并不重要。盡管經濟學家給出了各種支持它的解釋，但是價格黏性假設并非永久可靠。正如保羅·克魯格曼的評論：“我們現在可以解釋價格黏性如何發生了。然而，有關它什么時候會發生、什么時候不會發生的預測，以及從菜單成本到真實菲利普斯曲線的模型，這些似乎還沒有發展出來。”

不可靠的假設往往是致命的，對物理學家而言，與其相信不必要的假設，不如不帶任何偏見直接對宏觀經濟學的過程建模。在這篇文章里，筆者主要關注貨幣的創生過程，考察了社會生產因素，即預期產業回報率，因而也是銀行貸款利率或者國債收益率在貨幣創生過程中的作用。在這個模型下，我們得到了這樣一個結論：如果一個經濟體的貨幣增速與經濟產值增速之差為負，那么，無論經濟當局采取什么貨幣和財政政策，從下一期開始的未來周期里將至少有一個周期的經濟產值增速會出現衰退。

二、生產依賴的貨幣創生模型：貨幣需求方程

我們假設一個經濟中存在銀行、企業和消費者三種角色。企業向銀行貸款，購買物料和人力，組織生產;然后企業把生產的產品售賣給消費者，實現投資的貨幣回報;企業在實現產品的貨幣價值后，再把貨幣本金和回報儲蓄到銀行里;其后，銀行再扣除掉存款準備金和一部分備用金，把剩下的資金繼續貸款給企業組織生產。

這個過程中，當企業把產品售賣給消費者時，銀行實際上也為消費者提供消費貸款，以實現社會再生產的循環。因此，對于整個經濟來講，貨幣在某一時間的創生就來自銀行的兩次貸款，一次就是銀行對企業的貸款以幫助企業組織生產，一次是銀行對消費者的貸款以幫助企業實現產品價值。而消費貸款的來源可以認為是銀行儲存的備用金，也可以認為是來自央行的“印鈔機”。

這就是本文模型假設經濟中貨幣的創生過程。簡單地說，就是在傳統的貨幣創生模型基礎上，除了存款準備金率等因素外引入了生產和消費的因素，當然消費本質上也是為生產服務的。

圖1是本文模型的示意。首先，銀行有存款M0，銀行在扣除了一定存款準備金和備用金后，把剩余資金（1-a）M0貸給企業。這里a是常數存款準備金率和常數備用金率之和。企業主在原材料和人力市場上消費掉這筆資金，也就是過程C1，企業主獲得了展開生產的物料和人力。顯然，這筆資金通過消費過程C1并不能增值。

企業主展開生產后，生產出產值為P0Y0的產品，即

其中，P0為產品的市場交易價格，Y0是產品數量，而r0是這批產品的在第0期的預期回報率。所謂預期回報率就是產品的產值相對貨幣投入的價值增長率，它不是實際銷售額帶來的回報率，而是產品產值體現出來的增長率。r0也可以認為是銀行的貸款利率，如果把產品理解為國債金融產品，則它可以理解為國債收益率。

實際上，消費者單純從生產本身獲得的財富是付不起全部產品的價值的，他們必須從銀行獲得消費貸款b*P0Y0，才能夠完成消費過程C2。這里b代表常數銷售率，也就是實際銷售額與全部產出的產值的比例。

當消費者購買產品后，生產企業就實現了產品的貨幣價值，企業主于是將本金和利潤b*P0Y0存于銀行。銀行在扣除存款準備金和備用金后，把剩余資金（1-a）*b*P0Y0繼續貸款給企業組織生產。那么，一個經濟社會的貨幣需求就來自三個部分：銀行存款，生產貸款和消費貸款。其中后兩個貸款項之和就是經濟社會創生的貨幣量。

比如，在第0期生產中，銀行創生了（1-a）M0+b*P0Y0的貨幣，考慮式（1），可以寫為（P0Y0）/（1+r0）+b*P0Y0，再加上存款M0就是第0期的貨幣需求量，即（P0Y0）/（1+r0）+b*P0Y0?+（P0Y0）/＼[（1-a）（1+r0）＼];而經濟社會的產出為P0Y0。

企業又利用貸款（1-a）*b*P0Y0生產出產值為（1-a）*（1+r1）*b*P0Y0?的產品，這里r1是第1期的產品預期回報率，其后消費者又向銀行貸款?（1-a）*（1+r1）*b2*P0Y0完成了消費。因此，第1期生產，銀行創生了（1-a）*b*P0Y0?+（1-a）*（1+r1）*b2*P0Y0，貨幣需求為b*P0Y0+（1-a）*b*P0Y0?+（1-a）*（1+r1）*b2*P0Y0，而社會的產出為（1-a）*（1+r1）*b*P0Y0。

同理，第2期銀行創造的貨幣為（1-a）2（1+r1）*b2*P0Y0+（1-a）2?（1+r1）（1+r2）*b3*P0Y0，貨幣需求為（1-a）（1+r1）b2?P0Y0+（1-a）2（1+r1）*b2*P0Y0+（1-a）2（1+r1）（1+r2）*b3*P0Y0，而社會產出為（1-a）2（1+r1）（1+r2）*b2*P0Y0。

由此可見，第n期的貨幣需求量Mn也為三部分組成，即

Mn=（1-a）1+r0n∏ni=0（1+ri）bn+1P0Y0+（1-a）1+r0n∏n-1i=0（1+ri）bnP0Y0+（1-a）1+r0n-1∏n-1i=0（1+ri）bnP0Y0?（2）

這里n=0，1，2，3…，∏…表示連乘符號。而第n期的產出為

式（2）中的第一項為消費貸款;第二項為生產貸款;第三項為銀行存款。結合式（2）和式（3），我們得到貨幣需求和產出及價格之間的關系：

式（4）可以變為連續時間下的形式：

式（5）就是生產依賴的貨幣創生模型下得到的貨幣需求方程。根據此方程，我們可以立即得到幾個結論：

（1）如果按照貨幣交易理論理解，系數b+2-a（1-a）（1+r（t））的倒數可以看作貨幣周轉速度，顯然，貨幣周轉速度與利率成正比。如果從流動性偏好的角度考慮，M/P為實際貨幣余額，那么它可以看成由兩部分組成，一部分是bY，也就是實際貨幣余額與收入成正比;另一部分是?2-a1-a*Y1+r，說明當充分就業時，實際貨幣余額與利率成反比。這兩個結論和傳統貨幣理論的基本結論是一致的。

（2）對生產依賴的貨幣需求式（5）來說，貨幣需求可以分成兩部分，即M=1+11-aPY1+r+bPY，第一部分是來自生產過程的貨幣需求，它又分為兩部分，PY1+r+11-aPY1+r。?其中，PY1+r?是組織生產所需要的初始貨幣資本，它是由銀行貸款給企業的，是創生貨幣;而?11-aPY1+r則是銀行的存款，銀行以它為基礎減去存款準備金以及其他備用金后把貸款發給企業作為生產的初始資本。第二部分是來自消費產品的貨幣需求，也來自銀行貸款。因此，在這個生產依賴的貨幣需求模型里，貨幣購買力需求M/P包括來自生產的需求F1（r，Y）和消費的需求F2（Y），即M/P=?F1（r，Y）+?F2（Y）。

（3）貨幣數量論在這個模型下不是明顯成立的，因為產品預期回報率，或者貸款利率r本身與產值PY也是有聯系的，這使得M與P的關系變得復雜。

三、動態分析：貨幣增速方程

我們現在來看一下貨幣需求與產值的動態關系。

令?ω為產值的增速，即ω=PY˙/PY，由模型可知，

我們對貨幣需求式（5）兩邊求導，并利用式（6），可得：

這里，q為貨幣需求量的增速，即M˙/M。式（7）就是貨幣需求的增速方程。我們看到貨幣需求的變化與銷售率b無關。

貨幣量增速與產值增速之間相差一個關于產值的加速量?ω˙的項。對于貨幣交易論者，q和?ω可以通過貨幣周轉速度的變化來解釋兩者之間的差額，然而在這個模型中，這個差額不是獨立的，而是和ω及其變化率有關。

特別是，我們注意到式（7）的加速項中只有產值增速的變化率?ω˙可能為負，于是，當q>ω的時候，ω˙為負;而當q<ω的時候，ω˙為正，這說明q-ω的正負決定了ω變化的方向，進而決定了加速項的變化，可見，貨幣周轉速度是不穩定的。貨幣周轉速度的不穩定性決定了貨幣數量論的復雜性。

四、經濟周期和經濟衰退

為了求解貨幣增速式（7），我們假設貨幣需求增速q為常數。這個假設是安全的，因為在現實經濟中，很多情況下q變化是緩慢的。于是，式（7）變為：

式（8）的相圖如圖2所示，注意經濟學意義上，ω>-1。由圖可知，方程在ω=-1處有一個均衡點，在ω=q處有一個不穩定的均衡點。那么它的經濟學意義又是什么呢？

我們先定義一個變量?k=q-ω?為貨幣需求的相對增速，即貨幣增速相對于產值增速的差值。它表明了經濟運行的階段，k<0表明經濟處于不穩定的加速階段;而k>0表明經濟處于不穩定的減速階段。

我們于是從式（8）可以得出以下幾個結論：

（1）貨幣的相對增速k與產值增速?ω呈線性負相關關系，斜率為-1且截距為q。我們總是希望通過降低k值來阻止經濟產值增速的下降，但是如果k值降低到小于0，那么經濟將進入不穩定的加速增長區，此時我們又希望增加k值來避免經濟滑入不穩定的加速區。因此，經濟當局應該盡力調整k值，使得經濟產值總是處于減速正增長的狀態。

（2）超長期看，只要一個經濟體的k值為正，它的產出產值就趨向歸零。索洛的增長模型一個重要的結論就是經濟收斂性，也就是越發達的經濟體的的經濟增長率越低。然而，在我們的模型里，所有經濟只要產出的產值增速跟不上貨幣增速，經濟就將趨向于一個歸0的均衡態。索洛模型無法解釋窮國經濟增長率也同樣低的原因，而在我們的模型里，窮國和富國一樣，只要經濟超長期處于k>0的條件，經濟產值增長率就會越來越小，最后進入經濟負增長階段。這個結論表明，人類自身具有改變k值的能力，使得人類社會的經濟產值能夠總是保持增長，但仍然要長期與不斷趨小的增長率斗爭。

（3）當產出產值增長率ω=q，經濟處于一個不穩定的均衡態，一般而言，當經濟升溫，ω伴隨著企業生產熱情不斷增大，經濟體總是會躍入ω>q的非均衡態。這是一個正反饋的不穩定態，現實中的產值是不可能無限大的，因此未來某一時刻經濟必然出現拐點，使得下降為負數，而也在短時間內下滑。這種情況在現實中，要么是經濟發生危機，要么是經濟出現回落。前者表現為產值增速斷崖下跌：實際產出的增長率急速下降，或者通脹率急速下降，再或者就是兩者雙雙快速下降。后者表現相對緩和，但經濟產值增速逐期放緩。因此，經濟危機或者經濟回落，也就是經濟衰退發生的數學條件就是貨幣的相對增速k<0，即q<ω。這是本文一個重要結論，稱為k值原理，后面會用數據驗證這個結論。

（4）由于經濟總是趨向一個均衡態，但是我們的模型顯示這個均衡態是ω=-1的產值毀滅態，就像熱力學的“熱寂說”一樣，因此經濟下滑是它天生的慣性。不過人類總是能夠通過各種方式，讓k值變小來反抗這種下滑的慣性。人類與經濟之間這種慣性與反慣性的斗爭就形成了經濟周期。所以，本質上說，經濟周期是由這種市場經濟運行機制本身帶來的，是不可消除的。當然，表面的原因就是產業預期回報率，利率或者國債收益率長期變小的趨勢造成的。

（5）對經濟周期具體過程而言，它包含了經濟產值繁榮和衰退兩個過程，以及“重置”A和“頂峰”B兩個拐點，如圖2中的A點和B點。當經濟從A點出發，產值ω不斷增長，經濟進入繁榮期，隨著人們對經濟預期回報的樂觀，經濟到達不穩定的均衡點ω=q點，并滑向加速增長的不穩定區域，最終在B點達到一個最大的產值增長率ωMAX，并轉而向下，也就是產值加速度

由正變負，同時產值增速?ω轉為下降。隨后經濟進入由B->A的衰退期，這個衰退期可能表現為經濟危機的劇烈形式，也可能就是經濟的一般回落。在A點，人們終于創造出新的經濟增長點，k值開始降低，阻擋了產業預期回報率和利率下滑的趨勢，重置了經濟，從而經濟又開始一個新周期的運行。當然，如果人們不能及時降低?k值，那么經濟就可能滑入絕對負增長的區域。

五、事實與數據

為了驗證關于經濟衰退的數學條件，即當k<0時，就意味著未來宏觀經濟將要發生危機或者回落，我們研究了中國和美國經濟歷史上的經濟衰退。所用的經濟數據非常常見，就是廣義貨幣M2年增長率q，GDP年增長率g?，和CPI年增長率c，因此k值就是q-（c+g）;而產值增速?ω=c+g。

中國經濟的情況如圖3所示，?k值在k=0軸以下的陰影部分解釋了不久后發生的經濟衰退。從1987年到2015年，中國經濟的k值有3次小于0，也就是1988—1989年，1994年和2007年。從數據看，k值首次小于0的當年，產值增速?ω就達到了最大值，其后經濟便進入了?ω逐年下降的衰退期，有些年份?ω還出現斷崖式下跌。對應1988—1989年k值小于0那次，產值增速?ω在1990年發生了斷崖下跌，ω由上一年的2252%下降到697%，其降速為-6907%;對應1994年k值小于0那次，產值增速?ω第二年就進入逐年下降的周期，并在1998年產值增速快速下跌，ω在1998年的年度降速為-4191%;對應2007年k值小于0那次，ω也在2009年發生了斷崖下跌，增速?ω由上一年的1552%下降到87%，其降速為-4396%。

我們知道1990年，1995—1998年和2008—2009年是中國經濟史上有名的衰退期。而這一切發生之前，宏觀經濟數據的k值就已經提前表現出來了。無獨有偶，2019年的k值再一次小于0，可以預見的是，中國的宏觀經濟又將進入一個衰退期。值得注意的是，圖3中2011年開始的?ω值衰退，看上去并沒有k<0的區域來解釋，但是實際上它仍然可看作自2007年ω達到峰值以來的衰退期。我們知道那一次衰退中，政策當局為經濟提供了4萬億元的量化寬松，使得經濟可以在短期內改變方向，但大的周期方向并沒有改變。這也可以讓我們得出這樣一個結論：如果一個經濟在某個周期里k<0，那么未來的周期里至少有一個周期的產值增速是下降的。

我們再來看一下美國的數據。如圖4所示，?k值在k=0軸以下的陰影部分能夠解釋其后發生的產值增速下降的事實，也就是k<0總是出現在產值增速下降以前。表1中，在k值上畫實線框的位置k<0，其右上方總有?ω的增長率為負的數據與其對應，它們被畫在點畫線框內。也就是，每當k<0出現，從下一期開始的未來周期里將至少有一個周期的經濟產值增速ω會出現下降。雖然ω下降的周期位置距離k<0的周期位置有長有短，這取決于宏觀貨幣和財政政策干預的強度，但是ω下降的事實總會發生。

由表1，我們能夠發現，一般在k<0出現周期的附近，經濟產值增速會達到頂峰，其后經濟進入衰退期，即產值增速?ω下降的周期。然而，經濟是以危機形式表現的衰退，還是以一般回落表現的衰退，我們的理論目前還無法確定。也就是說，k值原理實際上是一個描述經濟拐點的理論。

我們也由表1看到，美國的經濟可以在不穩定的加速區運行數年，也就是經濟連續幾年處于k<0的狀態，這個特點完全不同于中國經濟。中國經濟在不穩定的正反饋區運行的時間很短，最多就是2年（1988年和1989年）。另外，我們也看到，美國經濟衰退的頻率很高，這也決定了美國經濟無法實現高速增長，而中國經濟自1987年以來的30多年里，僅僅發生過3次衰退。

六、總結

我們的模型暗含著貨幣的創生是因為社會生產的需要。不同于馬歇爾，凱恩斯和弗里德曼從個人需求的角度思考貨幣的需求，本文是從社會的視角來討論貨幣的需求。

本文通過構建一個生產依賴的貨幣需求模型來探討經濟衰退和經濟周期問題。這個模型給出了一個生產依賴的貨幣需求方程和貨幣增速方程，基于這兩個方程，我們可以得到幾個有趣的結論。

（1）如果一個經濟體的貨幣增速與經濟產值增速之差為負，那么，無論經濟當局采取什么貨幣和財政政策，從下一期開始的未來周期里將至少有一個周期的經濟產值增速會出現衰退。

（2）市場經濟形態決定了經濟產值最終將走向負增長。無論經濟當局如何設計貨幣政策，如何構造關于貨幣增速q的微分方程?q˙（t）=Q（q，ω，ω˙），貨幣增速方程（7）告訴我們ω=-1總是經濟的均衡態。我們從歐洲發達國家和日本的經濟史可以看出，自由經濟體的經濟產值增長率確實長期是下降的趨勢。美國也是一樣。從中國40年的市場經濟史也可以看出經濟增長長期降速的趨勢。該模型（方程（6））還告訴我們，伴隨著經濟長期降速的是利率長期下降的趨勢，這一點也是符合事實的。

（3）經濟周期的原因本質上是由于市場經濟運行機制本身引起的，是不可消除的。正是由于人們反抗經濟長期下行的慣性才造成了經濟的周期性。

參考文獻

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