斜軸墨卡托投影在水利工程中的應用探討

徐建忠

（四川省水利水電勘測設計研究院測繪分院，成都610500）

1 研究背景

在水利工程建設中，為滿足施工精度，控制網的投影是一大難題。由于水系發達區都在山區，缺水區域都在平原或丘陵，灌渠高差很大，控制網平面投影改算一般采用高程面投影和高斯-克呂格正形投影。根據GB 50026—2007《工程測量規范》要求【1】，平面控制網的坐標系統應滿足測區內投影長度變形≤2.5cm/km（1/40 000），而高程面投影滿足投影變形規范的高差范圍為-159～159m，高斯-克呂格正形投影滿足投影變形距離中央子午線＜45km。高斯投影要滿足規范要求，就必須對東西走向的大型灌渠平面控制網坐標系統進行分帶投影計算，灌渠施工過程中要對不同帶的坐標系統進行頻繁轉換，不方便施工；而斜軸墨卡托投影具有中央子午線在圓柱面投影長度不變的特點，斜軸墨卡托投影在水利工程中使用就顯得極其重要。下面對CZQ 引水工程平面控制網坐標系統投影過程進行解析。

2 高程投影面的變形分析

CZQ 引水工程總長200km 左右，東西走向。此水利工程布設GPS 平面控制點58 點（CG01～CG58），CZQ 引水工程平均高程為380m，控制點最大高差105m，測區平均緯度為29.47°，測區曲率半徑為6 367 500m。

根據實測邊長水平距離歸化到測區參考橢球面上長度變形，見式（1）：

式中，ΔH為長度所在高程面對于參考橢球面的高差，m；RH為測區所在橢球曲率半徑，m。

取測區平均高程380m 為高程抵償投影面，則|δ|=1/60 642＜1/40 000，滿足規范要求。下文對斜軸墨卡托投影進行分析計算。

3 斜軸墨卡托投影參考圓球的建立

3.1 建立區域性橢球

CZQ 引水工程是比較長的帶狀灌渠，為了讓參考橢球更接近原始地形，在WGS84 橢球基礎上建立一個區域性獨立橢球，此方法為橢球變形法——E3 橢球，只要將已知參考橢球的中心和區域性橢球中心重合，并保持軸向一致。

WGS84 橢球參數：長半徑a=6 378 137m；短半徑b=6 356 752.314 2m；扁率α=1/298.257 223 6；第一偏心率平方e2=0.006 694 379 990 13；第二偏心率平方

為了滿足上述要求，必須求出已知橢球元素（a，e2）的變化量Δa、Δe2，確定區域橢球元素a（1區域橢球長半徑）和區域橢球第一偏心率），則有式（2）、式（3）：

通過計算，得到區域橢球元素見表1。

表1 區域橢球元素

通過計算，由于測區緯度改正值ΔB很小，區域橢球和圓球面經緯度上的大地坐標Bi′和Li′與WGS84 橢球上的大地坐標相同，只有高程改變，使區域橢球面更接近測區平均高程面。

3.2 圓球面經緯度到斜軸圓球面的轉換

本測區球面坐標系的建立：是以測區線路中的一個控制點CG58 作為極點，過極點CG58 至測區任一點方向為中央子午線，過極點CG58 且垂直中央子午線的圓為赤道，球面坐標網由經線和緯線組成，中間通過球面極坐標轉換為斜軸球面上的經緯度。

斜軸墨卡托投影按照球面三角形正弦和五元素求球面極坐標（ai，zi），計算公式見式（4）、式（5）：

式中，φi為圓球面大地坐標緯度；Δλi為測區控制點圓球面大地坐標經度與極點經度差；φ0為圓球面大地坐標極點緯度；ai為極角；zi為極距。

測區球面極坐標見表2。

表2 圓球面極坐標成果

3.3 測區球面極坐標到斜軸墨卡托投影經緯度的轉換

下面采用斜軸圓柱投影轉換為正軸圓柱投影，測區線路中CG58 控制點作為極點，線路中央子午線方位角a0通過優化計算求得，斜軸圓球上的各個控制點以CG58 控制點為極點的極坐標為：ai′=ai-a0+π/2，zi′=zi。

求出各個控制點的斜軸圓球極坐標（ai′，zi′）后，依據球面大地主題正算，計算出斜軸球面各控制點新的大地坐標（Φi′，λ′），公式如式（6）、式（7）：

式中，Φ0′、λ0′為極點CG58 新大地坐標。

極點CG58 新大地坐標取值：Φ0′=0，λ0′=0。

線路CG58 為極點中央子午線的確定：

測區寬度為83km，中央子午線在測區中間的投影變形為2.1cm/km，滿足規范要求的2.5cm/km，通過測區寬度和長度確定斜軸墨卡托投影中央子午線方位角范圍。通過優化計算，選擇起算方位角a0=117.031 90。

測區斜軸墨卡托投影的平面直角坐標成果見表3。

表3 平面直角坐標成果

從表3 計算成果可以看出，中央子午線的選擇是合理的，測區斜軸墨卡托投影的邊長變形完全滿足2.5cm/km 的規范要求。

3.4 測區綜合投影分析

斜軸墨卡托投影和高程投影綜合變形，采用式（8）進行計算，對測區綜合投影是否滿足規范要求進行評價：

式中，δ綜為綜合變形；δ 為歸化邊長高程投影變形系數；μ1為斜軸墨卡托投影變形系數。

測區綜合投影計算成果見表4。

表4 測區綜合投影長度變形計算成果

綜合投影變形最大控制點CG47 為2.498cm/km，滿足規范要求（2.5cm/km）。

3.5 斜軸墨卡托投影邊長與WGS84 平差橢球平距比較分析

斜軸墨卡托投影邊長與WGS84 平差橢球平距對比見表5。

表5 斜軸墨卡托投影邊長與WGS84 平差橢球平距對比表

通過斜軸墨卡托投影邊長與WGS84 平差橢球平距的對比，邊長的相對誤差均＜1/40 000，說明本測區斜軸墨卡托投影的中央子午線方位角選擇合理，斜軸墨卡托投影的平面控制坐標成果可靠。

4 結語

大型水利工程建設中，本工程測區具有東西走向、高差和橫向跨度適中的特點，適合采用抵償高程面投影和斜軸墨卡托投影相結合的方法來解決測區投影的綜合變形，雖然計算比較復雜，但斜軸墨卡托投影能解決東西走向測區不分帶投影的變形問題，減少了施工中坐標頻繁轉換計算。在水利工程建設中，根據工程的特點，采用斜軸墨卡托投影解決測區投影變形是可行的，能使整個測區綜合變形得到控制，并統一測區平面控制系統。