隨機非線性多智能體系統一致性研究

孫艷鵬 彭世國 陳珂熙

摘要：為解決多智能體系統領導一跟隨一致性問題，針對有向拓撲下存在時變通信時滯隨機發生問題，考慮系統魯棒性及時滯對一致性的影響，設計分布式控制協議，并對該協議的有效性進行理論分析。首先，根據每個智能體的動力學模型及控制協議，通過模型變換建立誤差系統，將多智能體系統一致性問題轉變為誤差系統穩定性問題;其次，構造合適的Lyapunov-Krasovskii泛函，基于Lyapunov穩定性理論和線性矩陣不等式理論，給出系統實現一致性的充分條件，并求解線性矩陣不等式得到控制增益矩陣。最后，通過MATLAB軟件進行數值仿真，驗證結果的有效性。

關鍵詞：領導者;時變時滯;隨機非線性;多智能體系統;一致性

DOI： 10. 11907/rjdk.191751

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

中圖分類號：TP301

文獻標識碼：A

文章編號：1672-7800（2020）004-0125-06

Leader-following Consensus of Multi-agent Systems with Randomly Nonlinearities

SUN Yan-peng， PENG Shi-guo， CHEN Ke-xi

（Sch.ool of Autonzation ， Cuangdorzg Un iversity of Tech.nology ， Cua ngzhou 5 1 0006 . Ch.ina ）Abstract： Considering the influence of robustness and time delay， the main purpose of this paper is to study the leader-following con-sensus problem of multi-agent systems. In this paper， a distributed control protocol is proposed for multi-agent systems with randomlyoccurring nonlinearities and time-varying communication delay in a directed topology. At f'irst. according to the dynamic model of eachagent and the designed control protocol， the error system is established by model transformation. and the consensus problem of'multi-agent systems is transfonned into the stability of' error system. Then. based on Lyapunov stability theory and linear matrix in-equality theory， sufficient conditions are ohtained to achieve consensus by constructing a suitable Ly apunov-Krasovskii functional.and the control gain is obtained to solves the linear matrix inequality . Finally， a MATLAB numerical simulation is presented to verifythe ef'f'ectiveness of the theoretical results.Key Words ： leader; time-varying delay; randomly nonlinearities; multi-agent system; consensus

O 引言

近年來，多智能體系統協同控制理論獲得了快速發展，產生了大量的理論成果。多智能體系統一致性在不同領域廣泛應用，已成為熱點研究課題[1-2]，如分布式傳感器網絡中的協同目標跟蹤、車輛及移動機器人編隊控制等。一般來說，根據系統中領導者數量，一致性問題大致分為無領導者的一致性和有領導者的一致性，后者也稱為分布式跟蹤問題，其目標是使各跟隨者的狀態與領導者狀態保持一致[3]。過去數十年來，許多研究者從多種視角研究不同動力學模型的領導一跟隨一致性，并涌現出許多有價值的成果。

在許多物理系統，如通訊及工業控制系統中，由于信息傳輸速度受限、傳輸通道擁堵等原因，時滯在網絡化多智能體系統中總是不可避免地出現[4]。時滯的出現對整個系統的性能影響很大，例如系統穩定性、收斂速度等。因此，研究存在時滯的多智能體系統一致性問題非常必要。文獻[5-7]研究僅含有通信時滯的一致性問題。通信時滯主要指某個智能體與其鄰居之間信息傳遞過程中產生的時間延遲;文獻[8-9]研究僅帶有輸入時滯的系統一致性問題;文獻[10]對帶有輸入時滯及通信時滯的系統進行一致性分析;文獻[11-12]對含有常數通信時滯的二階多智能體系統進行一致性分析，并求得達到一致性的充分條件。從兩類時滯角度看，上述研究更關注線性系統和常數時滯。但是，由于在復雜控制系統中時滯具有不確定性，時變時滯更具有研究價值。文獻[13]使用脈沖控制方法研究了具有不確定和隨機發生非線性的多智能體系統一致性;文獻[14]研究了具有非線性輸入項的非線性多智能體系統的領導一跟隨一致性，且該分布式控制協議保證系統一致性;文獻[15]研究具有時變輸入時滯的線性多智能體系統分布式一致性;文獻[16]研究具有時變通信時滯的非線性多智能體系統一致性;文獻[17-19]基于模型簡化法研究多常數時滯的多智能體系統一致性問題，將系統轉化為不含時滯的系統。然而對帶有時變時滯的非線性多智能體系統的一致性問題研究成果相對較少。

控制系統在工作過程中時常發生故障，且不可避免，如控制輸入傳輸故障15及執行器失效等。執行器失效[16]可能影響系統的滿意性能，破壞系統穩定性。基于系統的安全需求及更高的可靠性和魯棒性，設計一個有效的分布式控制協議十分重要。由于外部環境的不確定性及外部干擾的出現，每個智能體的內部動力學模型一般是動態變化的，故隨機非線性出現在所難免。但多智能體系統存在隨機發生非線性行為和執行器失效情況，而在現有文獻中未發現被研究。

受上述文獻啟發，本文主要研究含有隨機發生非線性行為及時變時滯的多智能體系統。通信拓撲采用有向圖，在系統存在執行器故障情況下設計合理的分布式控制協議，保證系統的領導一跟隨一致性。與文獻[16]相比，本文在智能體模型中加入隨機非線性行為更具有普遍意義。相較于文獻[15]，本文執行器故障是隨時間改變不斷變化的，且時變時滯發生在信息傳輸過程中，其應用范圍更廣。與以往文獻不同的是，無論系統中的執行器是否完好，系統都能在控制器作用下達到理想的一致性效果。

1 預備知識

1.1圖論

智能體之間的信息傳遞用有向拓撲圖表示，即 ，其中G中包含Ⅳ個跟隨智能體， ， 是有向圖的節點。 表示邊集，G的有向邊 表示智能體i向J傳遞信息。 是G的加權鄰接矩陣 的元素含義如下：若 ，那么 ，否則 。假設G中無重復邊即 ，

2， 另外 是節點V;的相鄰節點集。拉普拉斯矩陣定義為 ，，節點o表示向其它智能體發送信息的領導智能體。其中，領導者與跟隨者的通信拓撲用有向圖G表示。圖G的結構用矩陣 表示 ， ，若（0，i）是G的邊，則 ，否則 。

1.2相關引理

引理1[20]：存在任意對稱正定矩陣 ，使以下不等式成立。

引理2[21]（柯西不等式）：對于任意適當維數的對稱正定矩陣 ，使得以下不等式成立：

引理3[21]（schur補定理）：對于一個給定對稱矩陣

等價。

2模型描述

隨機發生非線性及時變時滯的多智能體系統N個跟隨智能體動力學模型如下：

其中 ，表示智能體i的狀態; 是表征智能體白身動力學行為的非線性函數， 是伯努利分布序列，A，B是已知的實常數矩陣，UF（t）表示智能體i在執行器失效情況下的控制輸入。領導者動力學模型如下：

表示領導者狀態， 表示領導者白身動力學行為的非線性函數。

假設1： （2）r（t）具有以下性質：概率的取值用r表示，取值范圍是r∈[0，1]，E{r（t）-r）=0。

假設2：非線性函數f （xl（f），f）對任意向量x，y∈RN，存在非負常數s，滿足 ，則稱該函數滿足Lipschitz條件。

定義：如果對任意初始條件 成立，那么誤差系統（6）是漸近穩定的，從而多智能體系統能實現領導一跟隨一致性。

為了保證各個跟隨者狀態與領導者一致，設計帶有時變通信時滯的分布式控制協議形式如下：

從上述協議可以看出，各智能體通過與鄰居智能體或領導者進行信息交換更新當前狀態信息。其中，d（t）表示通信時滯且滿足以下條件：0≤d（t）≤d，d（t）≤U<1，K表示控制增益矩陣。

將式（3）代人式（1）得到動力學模型（4）。

令領導者和跟隨者的狀態誤差表示為 xN（t），基于公式（4）可得到以下誤差系統表達式：

其中， 。

綜上所述，將系統模型簡化為如下誤差動力學模型：

其中， 表示誤差狀態向量，表示非線性函數， 代表時變故障函數。

3 主要結果

定理：給定任意常數 ，存在正定矩陣 ，和任意矩陣Z，使以下不等式成立：誤差系統（6）在控制協議作用下是漸近穩定的，從而使多智能體系統中的跟隨者狀態與領導者保持一致。其中：

計算函數沿著系統（6）的解軌跡導數：

根據假設2可以得出：

將式（6）代入上式：

應用引理2，對于任意對稱正定矩陣 ，保證以下兩個不等式成立。

綜上可得：

則矩陣各元素表示如下： 其余的元素項取值是0。

由于控制增益K的影響，H不是線性矩陣不等式，令 ，矩陣H分別左乘和有乘6次，根據P= ，得到公式（7）的左邊矩陣。若 .則 。由此可以得出結論，誤差系統是漸近穩定的，證畢。

4數值仿真

假設多智能體系統具有一個領導智能體0和跟隨智能體1，2，3，4，系統拓撲如圖l所示。

各智能體初始狀態取值 隨機變量取值為l時其概率r=0，5，時變時滯取值為 ，非線性函數表示成，使函數滿足Lipschitz條件。假設故障函數是 ，其中 ，是2x2的單位矩陣，令系統矩陣為：

結合上述給出的系統參數，利用MATLAB軟件的LMI工具箱求解不等式（7），并驗證其可行性。然后從求解式（7）可以得到狀態反饋增益矩陣。

根據以上參數和增益矩陣K，得出誤差系統的狀態響應曲線如圖2所示。

圖2表明：隨時間的增加，各個智能體與領導者的狀態誤差逐漸減小并趨于零，最終穩定于零。這表明在控制協議（3）作用下，該多智能體系統也實現了領導一跟隨一致性，協議有效件得到驗證。

5 結語

本文主要研究了存在有界時變時滯的隨機非線性多智能體系統領導一跟隨一致性問題。基于Lyapunov穩定性理論和線性矩陣不等式理論得到系統實現一致性的分布式控制協議及控制參數。最終的數值仿真證明了控制算法的有效性。未來將研究含有常數輸入時滯及分布式時滯多智能體系統的一致性問題，并在設計控制器時引入脈沖控制及事件觸發控制等，使控制效率更高，收斂速度更快，以有效降低控制成本。

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收稿日期：2019-05-23

基金項目：廣東省自然科學基金項目（ S2013010013034）

作者簡介：孫艷鵬（1992-），女，廣東工業大學自動化學院碩士研究生，研究方向為多智能體系統分布式一致性;彭世國（1967-），男，博

士，廣東工業大學自動化學院教授，研究方向為非線性復雜網絡同步;陳珂熙（1994-），男，廣東工業大學自動化學院碩士研

究生，研究方向為多智能體系統異步一致性。