淺議導數在競賽中的解題應用策略

郭銘紀

(福建省泉州第一中學 362000)

一、夯實基礎，正確求導

解答該類試題的策略一般應牢記以下內容：其一，保證求導結果的正確性.同時，注意函數的定義域，為后面的解題奠定基礎.其二，在涉及參數的函數中，進行分類討論.

(1)設a>1，討論f(x)在區間(0，1)上的單調性.

(2)設a>0，求f(x)的極值.

二、靈活應變，巧妙轉化

解答部分高中數學競賽試題時，需要在認真審題基礎上，融匯貫通所學，突破慣性思維，才能找到解題思路.一方面，深入分析題干問題，能夠透過現象看本質，結合問題形式，大膽設想，通過構造函數，運用導數進行分析.另一方面，解題時應認真推理，確保上下推理的嚴謹性，尤其有“=”存在時，應明確“=”成立的條件.

例2(2019年全國數學聯賽福建賽區預賽)已知f(x)=ex.

(1)略；(2)求證：當x>0時，f(x)>4lnx+8-8ln2.

解析令g(x)=ex-4x，則g′(x)=ex-4.當x∈(-∞，ln4)，g′(x)<0;當x∈(ln4，+∞)，g′(x)>0.則g(x)的最小值為g(ln4)，即g(x)≥g(ln4)=4-4ln4，即g(x)=ex-4x≥4-4ln4，則ex≥4x+4-8ln2，當且僅當x=ln4時取“=”.

∴f(x)-4lnx-8+8ln2≥(4x+4-8ln2)-4lnx-8+8ln2=4x-4lnx-4，當且僅當x=ln4時取“=”.

綜上f(x)-4lnx-8+8ln2≥4x-4lnx-4≥0，且“=”成立的條件不同，∴當x>0時，f(x)>4lnx+8-8ln2.

三、注重拓展，提升能力

為使學生能夠運用導數順利解答高中競賽中一些難度較大的題目，一方面，深入講解導數表示的幾何含義，理解導數的本質，保證在解題中正確運用.另一方面，適當為學生講解一些拓展內容，如為學生講解導數的導數，并結合相關競賽試題的講解，使學生牢固掌握，在競賽中能夠迅速找到解題思路.

例3(2018年河北高中數學競賽)已知曲線f(x)=ex-1和曲線g(x)=lnx，分析兩個曲線的公切線的條數.

消元得到ea-1-aea-1+a=0，方程根的個數即為兩曲線公切線條數.

令m(x)=ex-1-xex-1+x，則m′(x)=1-xex-1，m″(x)=(-1-x)ex-1.

當x<-1時，m″(x)>0，m′(x)為增函數，當x>-1時，m″(x)<0，m′(x)為減函數，且當x<0時，m′(x)>1，m′(1)=0，即，x=1是m′(1)=0的根.

綜上可知方程ex-1-xex-1+a=0有兩個不同的根，因此，兩條曲線的公切線共有兩條.