海外工程UTM坐標投影變形的特點及消除方法

孫洪瑞，吳衛平

(中交第三航務工程勘察設計院有限公司，上海 201612)

隨著中國綜合國力和工程技術水平的不斷提高，以及一帶一路倡議規劃的需要，海外工程測量越來越多，尤其是在亞非拉等欠發達地區。有些國家甚至沒有大中比例尺地形圖和國家控制網，給坐標系的建立和選擇帶來一定的難度。目前世界上有一百多個國家與地區在使用通用橫墨卡托(universal transverse Mercator，UTM)投影的坐標，如剛果(布)的國家坐標系統為CONGO60，參考橢球為克拉克1880 IGN，為UTM投影坐標；加蓬國家坐標系采用UTM投影坐標，參考橢球為GRS80；東南亞的孟加拉國、緬甸、菲律賓等國家坐標系也是采用UTM投影坐標。了解UTM坐標的特點，采取有效方法消除投影后的長度變形，確保測量成果滿足設計與施工規范的要求，即投影長度變形值小于2.5 cmkm[1]，變形因子小于140 000，這對今后海外工程建設具有非常重要的參考意義。

1 UTM坐標的定義

UTM坐標是指采用通用橫軸墨卡托投影方式得到的坐標。UTM投影的坐標，角度沒有變形，中央子午線為直線，且為投影的對稱軸，按經度分為60個帶，每帶6°，從180°W起算，兩條標準子午線距離中央子午線180 km左右[2]。UTM坐標系統是美國編制世界各地軍用地圖和地球資源衛星圖像所采用的坐標系統，是世界上常用的地圖投影方式，有別于我國的高斯投影坐標系統。

2 UTM投影與高斯投影的區別

UTM投影與高斯投影都是橫軸墨卡托投影演變而成的投影方式，但兩者之間卻有明顯的區別，其主要區別包括4點：

1)投影法則不同。UTM投影采用等角橫軸割圓柱投影，而高斯投影采用等角橫切圓柱投影。

2)中央子午線長度比不同。UTM投影中央子午線的投影長度比為0.999 6，中央子午線長度直接縮小0.000 4；而高斯投影中央子午線投影長度比為1，投影后尺寸未變。UTM投影變形比例因子為1的地方是在割線上(距離中央經線約±1°40′)，即距離中央子午線約±180 km。

UTM投影坐標與高斯投影坐標可采用近似的換算關系：xUTM=0.999 6x高斯，yUTM=0.999 6y高斯，換算誤差約為1 m左右[3]。

3)分帶編號(Zone)不同。UTM投影帶號是從180°W開始起記，間隔6°為一帶，由西向東計數，故第1帶的中央經度L0=-177°W；高斯投影自零子午線起每隔6°為一帶，第1帶的中央經度L0=3°。

4)平面坐標加常數不同。高斯投影的平面坐標x不變，y坐標統一加上500 km，即x實=x，y實=y+500；而UTM投影的平面坐標對于南北半球區別對待，換算關系如下：

(1)

3 UTM投影變形分析

3.1 變形原理

地圖投影是將橢球面各元素(包括坐標、方向和長度)按一定的數字法則投影到平面上。這一數學法則的方程式表示為[4]：

(2)

式中：(L，B)為橢球面上某點的大地坐標，其中L、B分別為經度、緯度；(x,y)為該點投影后的平面直角坐標。

等角投影滿足的特征方程為：

(3)

式中：r為參考橢球面卯酉圈曲率半徑；M為參考橢球面子午圈曲率半徑。

由于UTM投影的中央子午線投影長度比m0=0.999 6，UTM投影長度比m、長度變形量V的實用簡化計算公式如下[5]：

(4)

式中：ym為測量邊橫坐標的平均值；Rm為參考橢球面的平均曲率半徑。

3.2 變形定量分析

長度投影變形值由以下兩部分組成：

1)地面實際邊長AB歸算到參考橢球面邊長的改正(高程歸化改正)，見圖1，其改正值為：

(5)

式中：Hm為測量邊的平均高程值；H0為投影面的高程值；R為地球半徑。

圖1 高程歸化改正原理

2)參考橢球面投影至平面的改正(投影改正)，其改正值為：

(6)

(7)

綜上，測量邊長按照UTM投影后的長度總變形量為：

(8)

3.3 消除投影變形的基本原則

為消除或降低投影變形，通常通過建立合適的坐標系來解決，其基本原則為:

1)在滿足測繪行業規范要求的基礎上，為使測量結果一測多用，應采用國家統一的平面坐標系，即建設工程的測量控制網應同國家測量系統一致。

2)當長度的歸算改正不能滿足上述要求時，為確保測量結果可以直接利用或方便計算，可采用任意帶的獨立平面坐標系。

3.4 解決變形的兩種方法

1)工程測量規范中給的消除投影變形的基本方法，即通過選擇合適的高程參考面和中央子午線來建立獨立坐標系，具體做法為：

①通過調整Hm從而選擇合適的高程參考面，抵償分帶投影變形，但是一般高程參考面不得高于測區平均高程。

施工流程為：土方開挖、回填→土工布鋪設→土工籠袋鋪設→土工籠袋裝填→土工籠袋封蓋。鉛絲石籠在施工區域外成型后運至鋪設區域內。人工將岸坡鉛絲石籠從護腳處開始至坡頂依次錯縫向上碼放，并用鉛絲將籠體與相鄰籠體進行固定。成品土工石籠袋放入鉛絲石籠內時將袋口處先拉高10cm，將底部四方平均撐開，袋口用綁絲與鉛絲石籠簡單連接加固，防止填料時袋子變形。采用長臂挖掘機進行土料袋填，完成后人工將機械未填滿的袋子進行補填，土工石籠袋封口前，填充較小石料使袋頂高出8cm再封口。

②調整ym，即平移中央子午線，以抵償由高程面的邊長歸算至參考橢球面上的投影變形。

③不僅調整Hm(改變高程參考面)，而且調整ym(移動中央子午線)，綜合抵消兩項改正變形。

根據上述做法，假設R=6 371 km，在高差變化較小的平坦地區，選擇測區平均高程面作為投影面時(即Hm=H0)，如果要使投影變形的絕對值小于2.5 cmkm，即變形比例小于140 000，通過式(8)可算出橫坐標ym的經差取值范圍為[1°42′,1°49′]或[-1°49′,-1°42′]，即在中央子午線東西兩旁各有一塊帶狀區域滿足長度投影變形限值。

對于港口與航道工程，由于港址大多選擇在沿海近岸地區，盡管部分區域位于島嶼上(如洋山港與舟山港等)，但碼頭與后方堆場的高差基本很小，為消除投影變形不能采用抵償面(改變Hm)的方法，而是只能采用平移中央子午線(改變ym)的方法來消除投影變形的影響。至于航道工程高差變化更小，也只能采用平移中央子午線來建立坐標系。

2)本文根據工程范圍中心點的地面比例因子，整體縮放測量控制網，獲得近似于國家坐標系的獨立坐標，從而消除投影變形。

采用工程測量規范消除投影變形方法所建立的坐標系，雖然消除了投影變形，使施工放線能夠滿足規范的精度要求，但其坐標數值與國家坐標系的數值相差較大，與已有規劃圖紙拼接使用麻煩(經圖紙換算)，也不容易被非專業人士理解和使用。本文提出一種更為容易消除變形的方法，就是采用工程范圍中心點的地面比例因子對整個控制網進行縮放(控制網必須覆蓋整個工程范圍)。選定控制網的中心控制點為投影中心，其地面比例因子m的計算公式[6]為：

m=DD0

(9)

通過式(9)計算所得m，或通過軟件獲取(如天寶的TBC軟件)，結合其他邊長在參考橢球面的投影長度，縮放計算出各控制點的坐標，雖然各控制點位置較國家標準坐標有一定的偏差，甚至達到數米級，但是整體坐標數據變化不大，滿足工程施工的規范要求，且與鄰近小比例尺圖拼接時誤差可以忽略不計。

4 工程案例分析

4.1 實例1

剛果(布)黑角新港一期工程位于剛果(布)西部沿海的南端，瀕臨大西洋的東側，在原黑角港西北側，測圖采用的平面坐標系統為CONGO 60坐標系，中央子午線經度為9°E(Zone-32)，投影方式采用UTM投影，參考橢球為克拉克 1 880 IGN，測區中心位置概略經度為11°48′(與中央子午線經差為2°48′)，測區平均高程約5 m。按上述參數進行UTM投影建立平面坐標系統，根據式(8)計算可得測區中心位置邊長平均變形量為73 cmkm，遠大于規范要求投影變形限差2.5 cmkm的要求，可直接判定采用國家坐標系不能滿足設計與施工的精度要求，必須進行換帶計算或采用獨立坐標系統。調閱資料發現，2013年承接的剛果(布)黑角新港一期工程建立了一套港區獨立坐標系(北向坐標為A，東向坐標為B)，并提供港區獨立坐標系與CONGO 60坐標系(北向坐標為X,東向坐標為Y)之間的換算關系，通過使用該港區的獨立坐標系以及其與CONGO 60坐標系換算關系，確保測量成果能夠滿足設計與施工的精度要求。

4.2 實例2

圣多美集裝箱碼頭一期工程可行性研究階段測量，目的是為港址選擇、碼頭設計提供高精度的地形圖資料。考慮到非洲地區普遍采用UTM投影方式建立坐標系統，故本工程也優選UTM投影。在選擇UTM標準分帶投影時，中央子午線應當選定為9°E(Zone-32)，參考橢球選擇WGS-84橢球，但由于本次工程測區中心位置經度為6°40′E(與中央子午線經差為-2°20′)，故不能直接采用9°E為中央子午線進行UTM投影建立坐標系。又由于找不到其他基礎測繪資料，為滿足設計與施工的要求與使用方便，在具體實施時建立了兩套坐標系，一套為高斯投影坐標系(L0=6°40′E)，供設計與施工使用，另一套為標準UTM投影坐標系(L0=9°E)，供將來收集到基礎資料后進行轉換或者與周邊測圖拼接使用，表1為投影長度變形消除前后對比，分析可知，采用工程測量規范中的方法可以消除投影變形。

表1 坐標反算長度與全站儀實測長度檢核對比

4.3 實例3

孟加拉巴里薩爾市 2×350 MW燃煤電站工程地形測量，目的是為電廠選址、碼頭設計提供高精度的地形圖資料，工程中心經度約為90°4′E。孟加拉國家坐標系統是采用UTM投影方式，帶號為46，即L0=93°E。本項目GPS控制網見圖2。

該項目若采用標準國家坐標系，坐標反算長度較實際的變形量遠遠超過規范要求，故為了消除投影變形，又確保坐標數值與國家坐標系接近，本項目坐標系采用本文提出的方法建立，坐標值差異見表2。

采用F017為投影中心，投影所得各點坐標反算長度與全站儀實測長度進行比較，見表3，所有邊長均不超限，滿足后期工程施工的需要。

注：GPS222和GPS5898為國家基準點，其他GPS點是新布設的控制點。

圖2 GPS控制網

表2 似國家坐標系與國家坐標系的坐標值差異

表3 坐標反算長度與全站儀實測長度檢核對比

5 結語

1)本文給出UTM投影變形的定量分析公式，并給出兩種消除變形的有效方法。

2)對于海外工程，其測區中心位置與國家或原有坐標系統的中央子午線的經差在[1°42′,1°49′]或[-1°49′,-1°42′]時，可以采用國家坐標系或者原有坐標系統進行設計與施工，否則必須進行換帶計算或者建立獨立坐標系。同時，可以把經差范圍作為判別海外工程項目是否需要消除投影變形的簡易方法。

3)當采用獨立坐標系時，可以采用變化投影方式或者平移中央子午線的方式構建，但坐標值與原國家坐標系相差較大；也可以采用似國家坐標系的方式構建，坐標值與原國家坐標系相差很?。淮送膺€可以采用高斯投影構建獨立坐標，在使用過程中比較方便，適用于國內的測繪儀器和軟件，且中央子午線經度選擇測區的中心位置經度，容易理解。