在空間動態(tài)背景下要會建系解題

■錢浩鵬(指導老師：褚人統(tǒng))

作者單位：浙江省天臺中學2018級10班

大家在求解空間旋轉類數(shù)學問題時，若僅憑直觀感覺，則很難獲得正確結論；若采用代數(shù)方法，則過程煩瑣難解；若能建立合適的空間直角坐標系，將動態(tài)變化問題轉化成向量問題，則能夠獲得清晰的解題思路，順利求得最終結果。下列舉例分析。

例1如圖1所示，在△ABC中，AC⊥BC，BC=1，AC=a，D是AB的中點，將△BCD沿直線CD翻折，若在翻折過程中存在某個位置，使得CB⊥AD成立，則a的取值范圍是____。

圖1

解：建立空間直角坐標系及坐標標注情況如圖2所示。在翻折過程中，始終有|BC|=1，|BD|=。當CB⊥AD，即時，有x2+，即，解得。

圖2

評注：上述解法雖有一定的運算量，但思路清晰，思考量小，遠勝于傳統(tǒng)的思維方法。

例2如圖3所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為線段AD，BC上的點，∠ABE=20°，∠CDF=30°。將△ABE繞直線BE、△CDF繞直線CD各自獨立旋轉一周，則在所有旋轉過程中，直線AB與直線DF所成角的最大值為____。

圖3

直覺推理：按照題意就會得到兩個圓錐，即以BE為軸的圓錐和以DC為軸的圓錐，在兩個圓錐上各任意取一條母線，這兩條母線(大多是異面直線關系)所成的角就是題意所求。根據(jù)異面直線所成角的定義，只能改變(平移)圓錐的位置求解。嘗試把以DC為軸的圓錐平移，并進行反向延長，得圖4。當兩母線分別是BA1，BM1的時候，所求的夾角為70°，為最大。

圖4

進一步問：當直線AB與直線DF在什么情況下所成角最小呢?

圖5

解：如圖5，建立空間直角坐標系，不妨設正方形的邊長為1。在圓C上任意取一點P，由，得，在圓O1上任意取一點Q(x，y，z)，其中P，Q是兩個相互獨立的運動點。分析Q點，Q點可由|BQ|=1和來確定，其中，O1(cos20°sin20°，0，cos220°)，所以Q點 是由方程組確定的。

由0°≤α≤40°，顯然有；又由t的獨立性，要使等號成立，需要；顯然當α=40°且sin(t+β)=1 時，式子達到最小值，即，即θ取到最大值70°；當α=40°時，由Q點滿足的方程組可得z=cos40°，x=sin40°，y=0，從而有β=90°，t=0°，即Q點與A1點重合，P點與N點重合。又在中，令sin(t+β)=-1，則cosθ=sin(α+60°)，取α=30°，可得cosθ的最大值為1，即θ取到最小值0°。此時z=1+cos30°，x=2tan 70° sin215°，y=。再求β的值。然后由sin(t+β)=-1可求得t的值，即證明了“θ取到最小值0°”的確定(存在)性，這就驗證了兩個圓錐面的公共部分應該是直線(公共母線)。

綜上可知，直線AB與直線DF所成角的范圍為0°～70°。

評注：求解空間動態(tài)問題，建立合適的空間直角坐標系，將動態(tài)問題轉化為向量問題，可以獲得事半功倍的效果。