以全國卷為例探究高考題中的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)

■王瑞丁

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017 年版)》提出數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析。而數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)是六大核心素養(yǎng)之首，它既是數(shù)學(xué)的基本思想，也是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，它反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征并貫穿于數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展與應(yīng)用的整個過程中。要求學(xué)生能夠在熟悉的情境中直接抽象出數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，能夠在特例的基礎(chǔ)上歸納并形成簡單的數(shù)學(xué)命題，能夠模仿學(xué)過的數(shù)學(xué)方法解決簡單問題。下面筆者以兩道高考題為例具體探究高考數(shù)學(xué)題中的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)。

例1(2017年全國Ⅲ卷理科數(shù)學(xué)第12題)在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上。若，則λ+μ的最大值為( )。

圖1

解析：由題意，畫出圖1。設(shè)BD與☉C切于點E，連接CE。以A為原點，AD為x軸正半軸，AB為y軸正半軸建立平面直角坐標系，則各點坐標為A(0，0)，B(0，1)，C(2，1)，D(2，0)。因為|CD|=1，|BC|=2，所以。因為BD切☉C于點E，所以CE⊥BD，所以CE是Rt△BCD中斜邊BD上的高。所以，即☉C的半徑為。因為P在☉C上，所以P點的軌跡方程為。

接下來求解λ+μ的最大值，采用兩種方法進行解答。

方法一：設(shè)P點坐標為(x0，y0)，由題易知，結(jié)合題意可知(x0，y0)=(0，λ)+(2μ，0)=(2μ，λ)，則，令，則x0+2y0-2z=0。因為點P在圓(x-2)2+上，則圓心到直線的距離d小于等于圓的半徑r，即，解得1≤z≤3，則zmax=3。

方法二：設(shè)P點坐標為(x0，y0)，P點坐標滿足的參數(shù)方程為而。因為(2μ，λ)，所以。兩式相加得λ+μ=1+。當且僅當時，λ+μ取得最大值3。

小結(jié)：應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算。用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量形式，再通過向量的運算來解決。在求解最值問題時，可以先轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃求最值或者轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程，然后構(gòu)造函數(shù)求最值。

例2(2016年全國Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第21題)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點。

(1)求a的取值范圍。

(2)設(shè)x1，x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2＜2。

解析：(1)a的取值范圍為a＞0(解題過程略)。

(2)由(1)知，若x1，x2是f(x)的兩個零點，則a＞0。不妨令x1＜x2，則x1＜1＜x2。要證x1+x2＜2，只要證x1＜2-x2。因為x2＞1，所以2-x2＜1，當a＞0 時，f(x)在(-∞，1)上遞減，且f(x1)=0，f(1)＜0，所以只要證f(2-x2)＜0。f(2-x2)=-x2e2-x2+a(1-x2)2，又f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0，所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2。令y=-xe2-x-(x-2)ex(x＞1)，y′=-e2-x+xe2-x-ex-，因為x＞1，所以x-1＞0，e2＜e2x，所以y′＜0。所以y=-xe2-x-(x-2)ex在(1，+∞)上遞減，當x=1 時，y=0。因為x＞1，y＜0，即f(2-x2)＜0成立，所以x1+x2＜2成立。

小結(jié)：對于含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性、極值、零點問題，通常要根據(jù)參數(shù)進行分類討論，要注意分類討論的原則是不缺、不漏、最簡。解決函數(shù)不等式的證明問題的思路是構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或極值破解。這里構(gòu)造函數(shù)來解決問題，突出了對數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的考查。