深挖細究 避免再錯

■李建波 馮躍輝

作者單位：北京師范大學(珠海)附屬高級中學

在一類待定系數法求取值范圍的題目中，運用不等式“同向可加性”很容易產生一種錯誤的解法，而錯解中的邏輯錯誤隱藏得很深，難以被發現。下面用例題來分析深含其中的邏輯錯誤。

例題如果1≤a+b≤5，-1≤a-b≤3，求a+2b的取值范圍。

錯解：因為所以0≤2a≤8，所以0 ≤a≤4 ①。又因為所以-2≤2b≤6 ②。綜上，因為所以-2≤a+2b≤10 ③。這是同學們經常犯的錯誤分析過程。過程①是利用不等式“同向可加性”和“可乘性”，過程②同理使用“同向可加性”“可乘性”，過程③是利用“同向可加性”。每一步推理都運用不等式的基本性質作依據，也就是說推理過程沒有問題，并且計算過程也沒有問題，那為什么這是一種錯誤解法呢?我們先看看正確解答。

正解：設a+2b=u(a+b)+v(a-b)，則解得故a+2b=。因為所以④。所以0 ≤，即0≤a+2b≤8 ⑤。正解過程④利用不等式“可乘性”，過程⑤利用“同向可加性”。

錯解、正解兩種計算結果無非都是利用“同向可加性”和“可乘性”，那為什么會有不同的結果呢?若令集合P正解={x|0≤x≤8}，P錯解={x|-2≤x≤10}，用同一數軸表示這兩個集合，如圖1所示。由圖1 可知，錯誤解法求得的范圍擴大了，用邏輯與集合的關系可以表示為P正解?P錯解，即P正解?P錯解。對此，仔細思考可以發現錯解中存在一種很隱蔽的邏輯錯誤——不等式“同向可加性”是一種“單向”推理過程，即a＞b且c＞d?a+c＞b+d，反過來推導是錯誤的。不妨舉例說明，當a=10，c=1，b=3，d=2時，滿足a+c＞b+d，但不滿足a＞b且c＞d。

圖1

把正解、錯解過程中的一些技術性工作忽略掉，利用不等式“可乘性”的“雙向”推理與“同向可加性”的“單向”推理的邏輯思想，重新梳理下兩種解答過程中的邏輯核心部分，如下：

正解：因為①?②?0≤a+2b≤8 ③。

錯解：因為④，?⑤?0≤a+2b≤8 ⑥。

正解中，不等式組①利用“可乘性”得到不等組②，屬于“雙向推導”，即兩個不等式組①和②是等價關系。因此不等式組②利用“同向可加性”等價于不等式組①利用“同向可加性”得到不等式③。而錯解中，不等式組④利用“同向可加性性”得到不等式組⑤，屬于單向推導，也就是說不等式組④與不等式組⑤是不等價的；而不等式組⑤再次利用“同向可加性”得到不等式組⑥，犯了邏輯上的錯誤。