高中物理解題中極限思想的應用

■佟魁星

作者單位：遼寧省大連市第二十四中學

同學們在面對一些不能直接進行驗證或實驗的物理題目時，可以用極限思想梳理題目中的物理規律和物理意義，分析物理定律的適用條件。極限思想運用的要點是在分析的過程中將某個物理量可能發生的變化推到最大、最小或臨界值，根據物理量和其他變量的合理關系分析假設是否準確，下面舉例分析。

一、運用極限法尋找思維突破口

例1如圖1所示，質量m=50kg的直桿豎直放在水平面上，直桿和地面間的動摩擦力因數μ=0.3。將一根繩索一段固定在地面上，另一端拉住直桿上部，保持兩者之間的夾角θ=30°。設水平力F作用于桿上，桿長為L，力F距離地面，要保證桿子不滑倒，則F的最大值為多少?(取g=10m/s2)

圖1

解析：面對這樣的問題，很多同學找不到解題的切入點，無從下手。而運用極限法能輕松地找到思維突破口。在分析直桿不滑倒這一條件時，應該從兩方面考慮，一是直桿和地面的靜摩擦力處在極限狀態，二是h和力的大小之間的關系。

直桿的受力情況如圖1所示，根據平衡條件可知，F-Tsinθ-f=0，N-Tcosθ-mg=0，F(L-h)-fL=0。根據以上三式可知，當水平力F增大時，摩擦力f也會隨之增大，而當f增大到等于最大靜摩擦力時，直桿就會滑倒，此時摩擦力fmax=μN，解得Fmax=。當無限接近于0，即h0=0.66L時，h就無法對F形成限制。當時，解得Fmax=382.5N。

二、運用極限法提高解題效率

例2如圖2所示，某滑輪裝置處于平衡狀態，此時如果將AC換成一條長繩，讓C移到C′，AB保持豎直，滑輪仍舊處于平衡狀態，那么AC′繩受到的力T和AB桿受到的壓力N同之前相比有什么樣的變化?

圖2

解析：用常規解法求解這道題時，需要先考慮以點A為分析對象，綜合考慮點A受到的AC繩的拉力T′、AB桿的支撐力N′和AD繩的拉力T0共三個力的作用時處于平衡狀態，列出方程，求出T′和N′的大小，再運用牛頓第三定律得出T和N的大小，然后分析T和N大小之間的關系。不僅過程煩瑣，而且計算麻煩，稍不注意還有可能出現計算錯誤，影響正確判斷。而運用極限法求解，不用設立方程，只要考慮極限狀態下T和N的大小就可以。設AC繩和水平面間的夾角為θ，當θ無限趨近于0時，N=0，T=G；當θ=90°時，N增大，T=N也會增大。所以當θ減小時，T和N都會減小。

三、運用極限法精確分析物理過程

例3如圖3所示，質量為m的木塊疊放在質量為m0的木板上，兩者之間的動摩擦因數為θ1，木板和地面之間的動摩擦因數為θ2，在木板上施加一個水平外力F，當F為多大時，可以從木塊下方將木板順利抽走?

圖3

解析：運用常規法求解本題，要綜合考慮木塊和木板的運動狀態，以及二者在運動中的狀態變化。而運用極限法只需分析出木塊、木板所對應的極限狀態和最大加速度、最大靜摩擦力。能從木塊下方順利將木板抽走的臨界狀態是木板和木塊之間的摩擦力為最大靜摩擦力fmax，這時兩者共同運動的最大加速度，由牛頓第二定律得F0-μ·2(m+m0)g=(m0+m)amax，解得F0=(m0+m)(μ1+μ2)g。因此當F＞F0時，可以將木板從木塊下順利抽走，即F＞(m0+m)(μ1+μ2)g。